2018年5月青岛市高考二模文科数学试题及答案

2018年青岛市高考模拟检测
数学（文科）
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|ln },{|A x y x B x y ====
，则A B =
A ．{|02}x x <≤
B ．{|02}x x ≤<
C ．{|12}x x ≤<
D ．{|12}x x <≤ 2．在复平面内，设复数1z ，2z 对应的点关于虚轴对称，112z i =+（i 是虚数单位）， 则12z z =
A ．5
B ．5-
C ．14i --
D ．14i -+ 3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．
215π B ．320π C ．2115π- D ．3120
π-
4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 A ．2?k > B ．2?k <
C ．3?k >
D ．3?k <
5．若函数()sin()12
f x x π
α=+-为偶函数，
则cos2α的值为
A. 1
2- B.
1
2
C. 2
-
D.
2
6．已知函数1
()ln 1
f x x x =--，则()y f x =的图像大致为
7．若,x y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
，则3z x y =+的取值范围是
A. (,2]-∞
B. [2,3]
C. [3,)+∞
D. [2,)+∞ 8．将函数()=2sin(2+
)3f x x π
图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
再将所得图像向左平移12
π
个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，
离原点最近的对称轴方程为 A ．24
x π
=-
B ．4
x π
=
C ．524x π=
D ．12
x π=
A
B D
9．某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
A ．4
B ．2
C ．
43 D ．23
10．已知直线20x y a -+=与圆O ：2
2
2x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），
则“a =
0OA OB ⋅=”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，
则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+= A ．2log 5
B ．2log 5-
C ．2-
D ．0
12．已知函数2
2
()()(ln 2)f x x m x m =-+-，当()f x 取最小值时，则m = A ．12 B ．1
ln 22
-- C ．
12ln 2105- D ．2ln2-
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分． 13．已知||2,||3a b ==，a 与b 的夹角为
23
π
，且0a b c ++=，则||c = ； 14．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A
B C 、、的对边，若2sin sin sin ,B A C =+ 3
cos 5
B =
且4ABC S ∆=，则b 的值为 ； 15．已知三棱锥A BCD -中，BC ⊥面ABD
，3,1,4AB AD BD BC ====，则
三棱锥A BCD -外接球的体积为 ；
正视图 侧视图
16．已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且
3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AA CF
的面积为p 的值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．
17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4120S =，且43a 是
6a ，5a -的等差中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求12
11
1n
T T T +++
.
18．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆy
bx a =+； （2）预测该路口 7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让
参考公式：1
1
2
22
1
1
()()
ˆˆˆ,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i i
i i x y nx y x x y y b
a
y bx x nx
x x ====---==
=---∑∑∑∑. 2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++（其中n a b c d =+++）
19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，14BB =，
AB BC ⊥，且4AB BC ==，点,M N 分别为棱,AB BC 上的动点，且AM BN =.
（1）求证：无论M 在何处，总有11B C C M ⊥； （2）求三棱锥1B MNB -体积的最大值.
20．（12分）在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的
左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点3
(1,)2
在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与
动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PF QF
的周长为. （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）已知动直线:l y kx m =+与轨迹P 交于不同的两点M N 、, 且与圆
223
:2
W x y +=
交于不同的两点G 、H ，当m 变化时，||||MN GH 恒为定值，
求常数k 的值.
A
B C
1B 1A
1C
M
N
21．（12分）已知函数,)(a x ae x f x
--= 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数. （1）讨论函数)(x f 的单调性;
（2）若)(x f 恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修44-：坐标系与参数方程（10分）
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长
度单位，曲线1C 的极坐标方程为2
sin 4cos 0ρθθ-=，曲线2C 的参数方程是
12cos 2sin x y ϕ
ϕ=-+⎧⎨
=⎩
（ϕ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程及2C 的普通方程；
（2）已知点1(,0)2P ，直线l
的参数方程为1222
x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设直线l 与曲线1C
相交于,M N 两点，求
11||||
PM PN +的值．
23．选修45-：不等式选讲（10分） 已知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值k ；
（2）在（1）的结论下，若正实数,a b
满足
11a b +，求证：2212
2a b
+≥.
2018年青岛市高考模拟检测
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A B C D C B D A D A B C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13
14
15．125
6
π 16
． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．
17. （本小题满分12分） 解：（1）
43a 是6a ，5a -的等差中项，4656a a a ∴=-,
设数列{}n a 的公比为q ，则3541116a q a q a q =-
260q q ∴--=，解得3q =或2q =-（舍）
；…………………………………………3分 4141(1)
401201a q S a q -∴===-，13a ∴=
所以3n
n a =…………………………………………………………………………………6分
（2）由已知得21
3log 3
21n n b n +==+； 所以3521(2)n T n n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+，………………………………………………8分
11111
()(2)22n T n n n n ==-++ 1231111n T T T T +++⋅⋅⋅+1111111[()()()2132435=-+-+-1111()()]112n n n n ⋅⋅⋅+-+--++ 1231111n T T T T ∴
+++⋅⋅⋅+1311()2212
n n =--++………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由表中数据知，3,100x y ==，…………………………………………………1分
∴1
2
21
n
i i
i n
i i x y nx y
b x nx
==-=
-∑∑14151500
8.55545
-=
=--，……………………………………………4分
ˆ125.5a
y bx =-=， ∴所求回归直线方程为ˆ8.5125.5y
x =-+ ………………………………………………6分 （2）由（1）知，令7x =，则ˆ8.57125.566y
=-⨯+=人. …………………………8分 （3）由表中数据得22
50(221288)50302030209
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 5.556 5.024≈>，
根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）要证明无论M 在何处，总有11B C C M ⊥
只要证明1B C ⊥面1AC B 即可
1BB ⊥底面ABC
1BB AB ∴⊥，又AB BC ⊥，1BC B B B =
∴AB ⊥面11BCC B ，……………3分
1B C AB ∴⊥
11BCC B 为正方形11B C BC ∴⊥
又1AB
BC B =
1B C ∴⊥面1AC B
原命题得证…………………………………………………………………………6分
（2）11B MNB B BMN V V --=11
432
BM BN =
⋅⋅⋅ 2228
()3323
BM BN BM BN +=⋅≤⋅=
∴三棱锥1B MNB -体积的最大值为8
3
……………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）设点1F 、2F 分别为(,0),(,0)(0)c c c -> 由已知
2c
a
=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-= A
B C
1B 1A
1C
M
N
又因为点3(1,)2在双曲线C 上，所以22
9
1
41a b -= 则222294b a a b -=，即2249334a a a -=，解得2
14a =，12
a =
所以1c =………………………………………………………………………………………3分 连接PQ ，因为12,OF OF OP OQ ==，所以四边形12PF QF 为平行四边形
因为四边形12PF QF
的周长为
所以21122PF PF F F +=>=
所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点，
长轴长为
可得动点P 的轨迹方程为：2
21(0)2
x y y +=≠…………………………………………5分 （2）设11(,)M x y ,22(,)N x y ,由题意：22
12
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得：
0224)21222=-+++m kmx x k （，
所以2121222
422
,1+21+2km m x x x x k k -+=-=又0∆>；………………………………………6分
所以MN ==
2
2222)21()
21)(1(22k m k k +-++=……………………………………………………………8分
又直线m kx y l +=:到定圆23
2
2
=+y x 圆心的距离为21k
m d +=，
所以GH ==
…………………………………………………10分 因为MN GH = 所以设22222222
(1)(12)
((12)(332)
k k m k k m λλ++-=++-为定值) 化简得22222222222
[2(12)(1)](1)(12)3(12)(1)0k k m k k k k λλ+-++++-++=
所以22
22
2(12)(1)0k k λ+-+=且22
2
22
2
(1)(12)3(12)(1)0k k k k λ++-++= 解得1k =±…………………………………………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）1)(-='x
ae x f , ……………………………………………………………………1分
当0≤a 时,，01)(<-='x
ae x f
所以(,),()0,()x f x f x '∈-∞+∞<在(,)-∞+∞上单调递减；…………………………2分
当0>a 时,，01)(=-='x
ae x f 得ln x a =-；
所以(,ln ),()0,()x a f x f x '∈-∞-<在(,ln )a -∞-上单调递减；
(ln ),()0,()x a f x f x '∈-+∞>，在(ln )a -+∞，上单调递增；…………………………4分 （2）由题（1）知： 当0≤a 时,所以)(x f 在(,)-∞+∞上单调递减；
又知 0)0(=f ，所以)(x f 仅有1个零点； ……………………………………………5分 当10<<a 时,0)0(=f , 所以0)ln (<-a f ，
取,ln 21)ln 2(a a a a f -+=-再令函数,ln 21
)(a a a a g -+=得,0)1()(2
2<--='a a a g
所以()(1)0,g a g >=
所以0ln 21
)ln 2(>-+=-a a a
a f 得)(x f 在)ln 2,ln (a a --上也有1个零点………8分
当1=a 时,,0)0()(=≥f x f 所以)(x f 仅有1个零点， ………………………………9分 当1>a 时,0)0(=f 所以0)ln (<-a f ，
令函数1,ln )(>-=a a a a h 得,01
1)(>-='a
a h 所以()(1)0,h a h >>
所以a a a a ln ,ln -<-∴>
取,0)(>=--a
ae a f 得)(x f 在)ln ,(a a --上也有1个零点
综上知：若)(x f 恰有2个零点，则(0,1)(1,)a ∈+∞. ………………………………12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 解：（1）因为2sin 4cos 0ρθθ-=，
所以22sin 4cos 0ρθρθ-=，所以24y x = ……………………………………………2分 因为12cos 2sin x y ϕ
ϕ
=-+⎧⎨
=⎩，所以22(1)4x y ++=……………………………………………4分
（2）将直线l
的参数方程12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =
得，240t --=
设,M N 两点对应的参数为12,t t
11 / 11
则12124t t t t +==-……………………………………………………………………6分 所以1212121212||||||1111||||||||||||
t t t t PM PN t t t t t t +-+=+==
12==…………………………………………………………………10分 23．
（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 解：（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=
所以函数()f x 的最小值为3…………………………………………………………………5分
（2）由（1
）知，
11a b
+= 因为2222222222()()()2()0m n c d mc nd m d n c mcnd md nc ++-+=+-=-≥
所以22222121(
)[1](13a b a ++≥⨯+= 所以22122a b
+≥ ……………………………………………………………………………10分。