高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.2 汽车行驶的路程达标练习(含解析)新

第一章 导数及其应用

1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程

A 级 基础巩固

一、选择题

1.

⎝ ⎛⎭

⎪⎫15i n ·5n 的含义可以是() A ．由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5

x

围成的图形的面积

解析：将区间[0，5]等分成n 个小区间，则每个小区间的长度均为5

n

.因为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫15i n ·5n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3·5i n ·5n ，所以原式可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0

和直线y ＝3x 围成的图形的面积．

答案：C

2．求由曲线y ＝1

x

与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]

等分成n 个小区间，则第i 个区间为()

A.⎣⎢

⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n

C ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

i n ，

i ＋1n 解析：每个小区间的长度都是1n

，每i 个区间的左端点为1＋i －1n

＝n ＋i －1

n

，右端点为1＋i n ＝

n ＋i n ，所以第i 个区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n .

答案：B

3．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝

()

解析：因为ΔS i ＝f (ξ1)·b －a

n

，所以S ＝ΔS i ＝f (ξi )·

b －a

n

. 答案：D

4．汽车以10 m/s 的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s 2

刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为()

A ．80米

B ．60米

C ．40米

D ．30米

解析：由题意知，v (t )＝v 0＋at ＝10－2t .令v (t )＝0，得t ＝5，即t ＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5] 5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(m)．

答案：D

5．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2

＋1围成的曲边梯形，将区间[0，2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )

A ．3.92，5.52

B ．4，5

C ．2，51，3.92

D ．5.25，3.59

解析：将区间[0，2]5等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，25，⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，85，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤85，2，以小区间左端点对应的函数值为高，得S 1＝

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1×25＝3.92，

同理S 2＝

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1＋22＋1× 2

5＝5.52.故选A. 答案：A 二、填空题

6．在区间[0，8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．

解析：在区间[0，8]上插入9个等分点后，将区间[0，8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤165，4. 答案：45⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

165，4

7．若 x i =1,则 (2x i ＋1)=______.

解析：(2x i ＋1)＝2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5＝2×1＋5＝7.

答案：7

8．在求由y ＝0，x ＝a ，x ＝b (0<a <b )，与曲线y ＝f (x )＝x 2

围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成

n 个小曲边梯形，以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积和为S ′，下列说法：

①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和大于S ； ③n 个小矩形的面积和S ′小于S ； ④n 个小矩形的面积和S ′等于S .

其中，所有正确结构的序号为________(填序号)．

解析：n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S ，①正确；由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积小于小曲边梯形的面积，所以小矩形的面积和S ′小于曲边梯形的面积S ，③正确，②④错误．

答案：①③ 三、解答题

9．求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝1

x

2围成的图形的面积S .

解：(1)分割：将区间[1，2]等分成n 个小区间，记第i 个区间为⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤1＋

i －1n ，1＋i

n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋

i －1n ＝1n

.每个小区间对应的小曲边梯形的面积

记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形的和为S ＝∑i ＝1

n

ΔS i .

(2)近似代替：因为1＋

i －1n

< ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋i n <1＋i n ，所以可用f ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔS i