2024年七年级数学下册培优——平行线中的拐角问题

2024年七年级数学下册培优——平行线中的拐角问题
在七年级的平行线的学习中，经常会遇到一些拐角的问题，会出现一个拐点甚至多个拐点的问题，人们往往会根据拐角的形状分为4到5个基本模型，针对各种模型会得出不同的结论，但在实际应用中，往往一部分同学只会记住结论而忽视了学习数学的方法，应该更重要的是找出其中所蕴含的方法，淡化模型与结论。

在本文中将与大家一起探讨一下这一类问题。

在拐角问题中，往往有以下几种基本图形：
这一类图形的主要特点是在一组平行中存在一个点E，而形成了一个“拐角”。

我们将利用的是平行线的性质探讨图形中几个角之间存在怎样的数量关系，一般的处理方法是在拐点处作平行线，再利用平行线的性质来解决：
（1）如图，过E 作AB 的平行线MN ，
（平行线的传递性）MN CD MN AB CD AB //////⇒⎭
⎬⎫21212//1//∠+∠=∠⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒BED BED D MN CD B MN AB （2）过点E 作EF//AB
（平行线的传递性）EF CD EF AB CD AB //////⇒⎭
⎬⎫︒
=∠+∠+∠⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∠+∠=∠︒=∠+∠⇒︒=∠+∠⇒360211802//1801//D B BED BED D EF CD B EF AB （3）过点E 作EF//AB
（平行线的传递性）EF CD EF AB CD AB //////⇒⎭
⎬⎫B CDE BED DEF BED DEF CDE EF CD B
EF AB ∠-∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠-∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒1//1//（4）过点E 作EF//AB
（平行线的传递性）EF CD EF AB CD AB //////⇒⎭
⎬⎫D B BED BEF BED D EF CD B BEF EF AB ∠-∠=∠⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∠-∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒11////
综合应用：
例1：如图，已知直线21//l l ，直线3l 交1l 于点C ，交2l 于点D ，P 是直线C D 上的一个动点，当P 在直线CD 上运动时，请你探究321∠∠∠，，之间的关系。

分析：在本题中要注意两个关键点：（1）点P 在直线CD 上运动，这里说的是直线上运动，所以需要考虑分类讨论，点P 在C 的上方，点P 在CD 之间，点P 在D 的下方三种情况；（2）点P 为一个拐点，所以这里属于“拐角问题”，通解通法是过拐点P 作平行线，再利用平行线的性质来解决问题。

过程如下：
①当点P 运动到CD 之间时，如图所示，过点P 作1l 的平行线MN
（平行线的传递性）MN l l l MN l //////2211⇒⎭
⎬⎫3
1223//1//21∠+∠=∠⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒BPM APM BPM MN l APM MN l ②当点P 运动到C 的上方时，如图所示，过点P 作1l 的平行线MN
（平行线的传递性）MN l l l MN l //////2211⇒⎭
⎬⎫
1
3223//1//21∠-∠=∠⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∠-∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒APM BPM BPM MN l APM MN l ③当点P 运动到D 的下方时，如图所示，过点P 作1l 的平行线MN
（平行线的传递性）MN l l l MN l //////2211⇒⎭
⎬⎫3
1223//1//21∠-∠=∠⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∠-∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒BPM APM BPM MN l APM MN l 例2：如图，CD AB //，ABE ∠与CDE ∠两个角的平分线相交于点F
（1）如图①，若︒=∠80E ，求BFD ∠的度数；
（2）如图②，ABF ABM
∠=∠31，CDF CDM ∠=∠31，写出M ∠与E ∠之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若ABF n ABM ∠=∠1，CDF n
CDM ∠=∠1，设︒=∠m E ，直接用含有n ，︒m 的代数式表示_____
=∠M 分析：这里需要注意三个关键点：（1）这里存在拐角问题；（2）由于ABF ABM ∠=∠3
1，图①图②
CDF CDM ∠=∠3
1，所以这里可能需要用到“整体思想”来解决；（3）这里存在从特殊值过渡到一般性的问题，所以可能渗透了“从特殊到一般”的数学思想。

分析过程如下：
（1）过点E 作AB
EM //（平行线的传递性）CD EM AB EM CD AB //////⇒⎭
⎬⎫2808036080211802//1801//=-=∠+∠⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=∠+∠=∠=∠+∠⇒=∠+∠⇒CDE AEB BED CDE CD EM ABE AB EM 过点F 作AB
FN //（平行线的传递性）CD FN AB FN CD AB //////⇒⎭
⎬⎫140)(2143280214//213//=∠+∠=∠+∠=∠⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∠+∠∠=∠=∠⇒∠=
∠=∠⇒CDE ABE BFD CDE ABE CDE CDF CD FN ABF ABF AB FN （2）类似第（1）小问的求解过程
E E CDH AB
F E
CDF ABF ∠-=∠-=
∠+∠⇒∠-=∠+∠2
1180)360(21360过点M 作AB MH //（平行线的传递性）CD MH AB MH CD AB //////⇒⎭
⎬⎫
E CDE ABE BMD E CDE ABE CDE CD MH AB
F AB MH ∠-=∠+∠=∠+∠=∠⇒⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬⎫∠-=∠+∠∠=∠=∠⇒∠=∠=∠⇒6160)(3187211803167//3158//所以M ∠与E ∠之间的数量关系为E M ∠-=∠6
160（3）类似第（2）的求解过程可得n
m M 2360-=
∠理由如下：m E CDH ABF E
CDF ABF 2
1180)360(21360-=∠-=
∠+∠⇒∠-=∠+∠过点M 作AB MH //（平行线的传递性）CD MH AB MH CD AB //////⇒⎭
⎬⎫n m m n BMD m CDE ABE CDE n CD MH ABF n AB MH 2360)21180(187********//158//-=-=∠+∠=∠⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=∠+∠∠=∠=∠⇒∠=
∠=∠⇒所以n
m
M 2360-=∠结言：在平行线中的拐角问题中，我们没有必要死记硬背其中有什么模型和有什么公式，我们只需要知道解决这一类问题的原理是过拐点作平行线，再利用平行线的性质找同位角，内错角，同旁内角之间的关系来解问题即可，从这两道例题中可以看到数学思想是无时无刻渗透在题目之中，我们要做好数学的压轴题，掌握通解通法和数学思想是非常重要的。