圆锥曲线的常用方法_王莫梅

课题：解圆锥曲线问题常用方法
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、设而不求法
解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）)0(122
22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有
020
20=+k b
y a x 。

（2）)0,0(122
22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有
020
20=-k b
y a x
例1、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '或准线作出来考虑问题。

解：（1）4-5
设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。

（2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2
1
， ∴PH PF PH PF ==
2,2
1
即 ∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142
=-=-A x c
a 例2、已知椭圆
)52(11
2
2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D “投影”到x 轴上，立即可得防
()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---= )()(2D A C B x x x x +-+=
)(2C B X x +=
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆
11
2
2=-+m y m x 中，a 2=m ，b 2=m-1，c 2=1，左焦点
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-
)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)()(2)(2121-⋅
=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
（2）)1
21
1(2121122
)(-+=-+-=
m m m m f
∴当m=5时，92
10)(min =
m f 当m=2时，3
2
4)(max =
m f 点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得
01
00=⋅-+k m y
m x ，将y 0=x 0+1，k=1代入得01100=-++m x m x ，∴1
20--=m m x ，可见122--=+m m x x C B
当然，解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。

7、实数x 、y 满足3x 2
+2y 2
=6x ，则x+y 的最大值为 3、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2
”,令
d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“
23+-x y ”，令2
3
+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……
4、参数法
（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。

如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。

除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

5、代入法
这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。

不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

例1、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5
设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。

（2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2
1， ∴PH PF PH PF ==
2,2
1
即 ∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142
=-=-A x c
a 例2、已知椭圆
)52(11
2
2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D “投影”到x 轴上，立即可得防
()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---= )()(2D A C B x x x x +-+=
)(2C B X x +=
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆
11
2
2=-+m y m x 中，a 2=m ，b 2=m-1，c 2=1，左焦点则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-
)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)()(2)(2121-⋅
=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
（2）)1
21
1(2121122
)(-+=-+-=
m m m m f
∴当m=5时，92
10)(min =
m f 当m=2时，3
2
4)(max =
m f 点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得
01
00=⋅-+k m y
m x ，将y 0=x 0+1，k=1代入得01100=-++m x m x ，∴1
20--=m m x ，可见122--=+m m x x C B
当然，解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。

例3：已知点P(x,y)是圆x 2
+y 2
-6x-4y+12=0上一动点，求x
y
的最值。

解：设O （0，0），则
x y 表示直线OP 的斜率，由图可知，当直线OP 与圆相切时，x
y 取得最值，设最值为k ，则切线：y=kx,即kx-y=0
圆(x-3)2
+(y-2)2
=1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得
11
|23|2
=+-k k ,
∴4
3
3±=
k ∴433,433max
min +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
⎪⎭⎫
⎝⎛x y x y
例4：直线l ：ax+y+2=0平分双曲线
19
162
2=-y x 的斜率为1的弦，求a 的取值范围. 分析：由题意，直线l 恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M 与点P 的连线的斜率即-a 的范围。

解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是双曲线上的点，且AB 的斜率为1，AB 的中点为M(x 0,y 0)
则： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-19
161
916
22
2
22
12
1y x y x
①-②得
019
16,0916002
2122212=⋅-=---y x y y x x 即 即M(X 0,y 0)在直线9x-16y=0上。

由 9x-16y=0 得C ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
-
79,7
16,D ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛79,716
19
162
2=-y x ∴点M 的轨迹方程为9x-16y=0(x<-
7716或x>7
7
16) k PD =
167
297
16079
2,16729716079
2+=-
-
-=-=++
-PD k 由图知，当动直线l 的斜率k ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-16729,169169,16729时，l 过斜率为1的弦AB
的中点M ，而k=-a ∴a 的取值范围为：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
16972,169169,16729 点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB 中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。

再利用图形中的特殊点（射线的端点C 、D ）的属性（斜率）说明所求变量a 的取值范围。

例5：在圆x 2
+y 2
=4上，有一定点A （2，0）和两动点B ，C （A ① ②
当B ，C 两点保持∠BAC=3π
时，求△ABC 的重心的轨迹。

分析：圆周角∠BAC=3
π可转化为圆心角∠BOC=32π
，选用“角参数”，
令B （2cos θ，2sin θ）则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+3
2π
))
则重心可用θ表示出来。

解：连OB ，OC ，∵∠BAC=3
π，∴∠BOC=32π
设B （2cos θ,2sin θ）(0<θ<34π),则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+3
2π
))
设重心G （x ，y ），则：
x=)]32cos(2cos 22[31πθθ+++
y=)]32sin(2sin 20[31π
θθ+
++ 即： x=)]3cos(1[32πθ++ )3cos(123π
θ+=-x
y=)3sin(32πθ+ )3sin(23π
θ+=y
θ+)35,
3(3π
ππ∈ ∴1)23()123(22
=+-y x 。

（x<21）
即)2
1(94)32(2
2<=+-x y x
点评：要注意参数θ的范围，θ+3π∈（3
π，35π
）它是一个旋转角，因此最终的轨迹是一
段圆弧，而不是一个圆。

【同步练习】
1、若实数x 、y 满足x 2
+y 2
-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ） A 、5 B 、10 C 、9 D 、5+25
2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 （ ） A 、)33
,33(-
B 、)3,3(-
C 、⎥⎦⎤ ⎝
⎛-
0,33D 、⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、方程03)1()3(2
2
=+---++y x y x 表示的图形是（ ）
A 、椭圆
B 、双曲线
C 、抛物线
D 、以上都不对
4、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ）
A 、双曲线x 2
-y 2
=1 B 、双曲线x 2
-y 2
=1的右支 C 、半圆x 2
+y 2
=1(x<0) D 、一段圆弧x 2
+y 2
=1(x>
2
2
) 5、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2
=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为
6、设P(a,b)是圆x 2
+y 2
=1上的动点，则动点Q(a 2
-b 2
,ab)的轨迹方程是 7、实数x 、y 满足3x 2
+2y 2
=6x ，则x+y 的最大值为
8、已知直线l ：2x+4y+3=0，P 是l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分OP 为1：2，则点Q 的轨迹方程为
9、椭圆19
162
2=+y x 在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBO S 四边形的最大值为
10、实数x 、y 满足3x 2
+2y 2
=6x ，则x+y 的最大值为
11、已知实数x 、y 满足x+y=4，求证：2
25
)1()2(2
2≥-++y x
12、△ABC 中,A(3,0)2=BC ，BC 在y 轴上，且在[-3,3]间滑动，求△ABC 外心的轨迹方程。

13、设A 、B 是抛物线y 2=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O 为原点）。

求证：直线AB 过定点。