郑州市2015年高三第一次质量检测数学试卷及答案(理)

##省##市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试卷
一、选择题：
1.已知集合{}|12M x x =-<<,{}|N x x a =<,若M N ⊆,则实数a 的取值X 围是< > A. ()2,+∞ B. [2,)+∞ C.(),1-∞- D. (,1]-∞-
2.在复平面内与复数512i
z i
=
+所对应的点关于虚轴对称的点为A ,则A 对应的复数为〔〕 A. 12i + B. 12i - C. 2i -+ D. 2i +
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且336,0S a ==,则公差d 等于〔〕
A. 1-
B. 1
C. 2
D. 2-
4.命题:p "2a =-〞是命题:q "直线310ax y +-=与直线6430x y +-=垂直〞成立的〔〕 A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知点(),P a b 是抛物线2
20x y =上一点,焦点为F ,25PF =,则ab =〔〕
A. 100
B.200
C.360
D.400
6.已知点(),P x y 的坐标满足条件1
1350x y x x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+-≤⎩
,那么点P 到直线34130x y --=的最小
值为〔〕
A.
115 B. 2 C. 9
5
D. 1 7.某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy 的最大值为〔〕
A. 32
B. C.64
D. 8.如图,函数()()sin f x A x ωϕ=+〔其中0,0,2
A π
ωϕ>>≤
〕与坐标轴的三个交点
,,P Q R 满足()1,0P ,(),2,24
PQR M π
∠=
-为线段QR 的中点,则A 的值为〔〕
A.
B.
3
C. 3
D. 9.如图所示的程序框图中,若()()2
1,4f x x x g x x =-+=+,且()h x m ≥恒成立,则m 的最大值是〔〕
A. 4
B.3
C. 1
D. 0
10.设函数()()2
24,ln 25x
f x e x
g x x x =+-=+-,若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点,
则〔〕
A. ()()0g a f b <<
B. ()()0f b g a <<
C. ()()0g a f b <<
D. ()()0f b g a <<
11.在Rt ABC ∆中,3CA CB ==,,M N 是斜边AB 上的两个动点,且MN =,则CM CN
⋅的取值X 围为〔〕
A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. []2,4
C. []3,6
D. []4,6
12.设函数()()()122015,log ,1,2,,20152015
i i
f x x f x x a i ===
=…,记 ()()()()2132k k k k k I f a f a f a f a =-+-+…()()20152014k k f a f a +-,1,2k =,则〔〕
A. 12I I <
B. 12I I =
C. 12I I >
D. 无法确定 二、填空题：
13.已知等比数列{}n a ,前n 项和为n S ,12453
,64
a a a a +=
+=,则6S = 14.已知20cos a xdx π
=⎰,在二项式5
2a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中,x 的一次项系数的值为
15.设函数()y f x =的定义域为D ,若对于任意的12,x x D ∈,当122x x a +=时,恒有
()()122f x f x b +=,则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到
()19120f f ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭…()19120f f ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
16.给定方程：1sin 102x
x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
,下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程
有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根,则
01x >-. 正确命题是
三、解答题：
17.〔本小题满分12分〕在ABC ∆中,,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边,D 为边AC 的中
点,4
a ABC =∠=
〔1〕若3c =,求sin ACB ∠的值； 〔2〕若3BD =,求ABC ∆的面积.
18.〔本小题满分12分〕某学校为了丰富学生的业余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取题目,背诵正确加10分,背诵错误减10分,只有"正确〞和"错误〞两种结果,其中某班级的正确率为23p =,背诵错误的的概率为1
3
q =,现记"该班级完成n 首背诵后总得分为n S 〞.
〔1〕求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率； 〔2〕记5S ξ=,求ξ的分布列与数学期望.
19.〔本小题满分12分〕如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD BC ,PD ⊥底面ABCD ,1
90,1,22
ADC BC AD PD CD ∠=︒====,Q 为AD 的中点,M 为棱PC 上一点.
〔1〕试确定点M 的位置,使得//PA 平面BMQ ,并证明你的结论； 〔2〕若2PM MC =,求二面角P BQ M --的余弦值.
20.〔本小题满分12分〕已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =,设动点P 的轨迹为曲线E ,过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点,直线
:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点,与线段AB 相交于一点〔与,A B 不重合〕
〔1〕求曲线E 的方程；
〔2〕当直线l 与圆2
2
1x y +=相切时,四边形ABCD 的面积是否有最大值,若有,求出其最大值,与对应的直线l 的方程；若没有,请说明理由.
21.〔本小题满分12分〕已知函数()()
222ln 2f x x x x ax =-++. 〔1〕当1a =-时,求()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程；
〔2〕当0a >时,设函数()()2g x f x x =--,且函数()g x 有且仅有一个零点,若
2e x e -<<,()g x m ≤,求m 的取值X 围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.〔本小题满分10分〕选修4-1：几何证明选讲：
如图所示,EP 交圆于,E C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F . 〔1〕求证：AB 为圆的直径；
〔2〕若,5AC BD AB ==,求弦DE 的长.
23.〔本小题满分10分〕选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C 的极坐标方
程为4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭,
直线的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩〔为参数〕,直线和圆C 交于
,A B 两点,P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.
〔1〕求圆心的极坐标；
〔2〕求PAB ∆面积的最大值.
24.〔本小题满分10分〕选修4-5：不等式选讲： 已知函数()121f x m x x =---+. 〔1〕当5m =时,求不等式()2f x >的解集；
〔2〕若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点,##数m 的取值X 围.
参考答案
一、选择题
1-12：BCDA DBCC BADA 二、填空题 13.
63
4
14.10- 15.82 16.②③④ 三、解答题
17.解：<Ⅰ> 4
2
cos 23=
∠=ABC a ，,3=c , 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222
=184
23232)23(32
2=⨯⨯⨯-+,………………………………2分 ∴23=b ． ……………………………………………………………………4分
又(0,)π∠∈ABC ,所以4
14cos 1sin 2
=∠-=∠ABC ABC ,
由正弦定理：ABC b
ACB c ∠=
∠sin sin , 得4
7
sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分
<Ⅱ> 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ,如图,则
4
2
cos cos -
=∠-=∠ABC BCE ,…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中,
D
E
由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)4
2(23218362
-
⨯⨯⨯-+=CE CE , 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以4
7
9sin 21=∠=
∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：<Ⅰ>当206=S 时,即背诵6首后,正确个数为4首,错误2首,………………2分 若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分
若第一首正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵对1首, 此时的概率为：
81
1631)32(323132)31()32()32(21
322242=
⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分 〔2〕∵5S =ξ的取值为10,30,50,又21
,,32p q ==…………………6分
∴81
40)31()32()31()32()10(32252
335=
+==C C P ξ, 5505
552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分
∴ξ的分布列为：
∴81
815081308110=
⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：〔1〕当M 为PC 中点时,//PA 平面BMQ ,…………………2分 理由如下：连结AC 交BQ 于N ,连结MN ,
因为090ADC ∠=,Q 为AD 的中点,所以N 为AC 的中点．
当M 为PC 的中点,即PM MC =时,MN 为PAC ∆的中位线, (4)
故//MN PA ,又MN ⊂平面BMQ ,
所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分 〔2〕由题意,以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴, 建立空间直角坐标系,…………………6分
则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分
y
由MC PM 2=可得点)3
2,34,
0(M , 所以
)3
2
,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM QB PQ , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =,则11
20,2,
0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ,…………………9分
同理平面MBQ 的法向量为)1,0,3
2
(2=n ,…………………10分 设二面角大小为θ
,.65
65
7cos =
=
n n θ…………………………………………12分 20.解：<1>.设点),(y x P ,由题意可得,2
2
|2|)1(22=
-+-x y x ,…………………2分 整理可得：122
2=+y x .曲线E 的方程是12
22=+y x .………………………5分 <2>.设),(11y x C ,),(22y x D ,
由已知可得：||AB =
当0=m 时,不合题意. …………………6分 当0≠m 时,由直线l 与圆12
2
=+y x 相切,可得：
11
||2=+m n ,即221.m n +=
联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++=1
22
2y x n
mx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分
02)1)(2
1
(4422222>=-+-=∆m n m n m ,122,1222
221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以,122
2,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x
||||2
1
12x x AB S ACBD
-=四边形=12||2121222
222+=++-m m m n m
=21
2
2||||
m m ≤
+
10分 当且仅当|
|1||2m m =
,即22±=m 时等号成立,此时26±=n ,经检验可知,
直线2622-=
x y 和直线2
622+-=x y 符合题意. ………………………………12分 21.解：〔1〕当1a =-时,2
2
()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞,
()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分
(1)3f '∴=-,又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分
〔2〕令()()20,g x f x x =--=则()
222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x x
a x
--⋅=
令1(2)ln ()x x
h x x
--⋅=
, …………………5分
则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x
---'=-
-+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22
()1x t x x x
--'=--=,()0t x '<,()t x 在(0,)+∞上是减函
数,又
()()110t h '==,
所以当01x <<时,()0h x '>,当1x <时,()0h x '<,
所以()h x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,()max (1)1h x h ∴==.………8分 因为0>a ,所以当函数()g x 有且仅有一个零点时,1a =. 当1a =,()()
222ln g x x x x x x =-+-,若2
,(),e
x e g x m -<<≤只需证明max (),
g x m ≤
…………………9分
()()()132ln g x x x '=-+,
令()0g x '=得1x =或3
2
x e -
=,又2e x e -<<,
∴函数()g x 在32
2
(,)e e --上单调递增,在32
(,1)e -上单调递减,在(1,)e 上单调
递增,10分
又3332
21()22
g e e e ---=-+,2
()23,g e e e =-
即
32
()()g e g e -
<,2max ()()23,g x g e e e ==-223.m e e ∴≥- ………12分
22．证明：<1>因为PD PG =,所以PGD PDG ∠=∠.
由于PD 为切线,故DBA PDA ∠=∠,…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠,所以DBA EGA ∠=∠, 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠, 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分
又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ,所以 90=∠BDA , 故AB 为圆的直径．…………………5分 <2>连接BC ,DC .
由于AB 是直径,故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.
在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB ＝BA ,AC ＝BD ,从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB , 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分
又因为∠DCB ＝∠DAB ,所以∠DCB ＝∠CBA ,故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ,所以DC ⊥EP ,∠DCE 为直角,…………………9分
所以ED 为直径,又由<1>知AB 为圆的直径,所以5==AB DE .…………………10分 23.解：<Ⅰ>圆C 的普通方程为0222
2
=+-+y x y x ,即2
2
(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为〔1,-1〕,
圆心极坐标为7)4
π
；…………………5分 <Ⅱ>直线l 的普通方程：0122=--y x ,圆心到直线l 的距离
3
2
23
1
122=
-+=
d ,…………………7分 所以,3
1029822=-
=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3
2
53222=+
=
+d r …………………9分 9
5
10325310221max =⨯⨯=
S .…………………10分 24.解：〔Ⅰ〕当5=m 时,,1,3411,21
,63)(⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分
由2)(>x f 易得不等式解集为)0,3
4(-∈x ；………………………5分 〔2〕由二次函数2)1(322
2
++=++=x x x y ,该函数在1-=x 取得最小值2,
因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪
=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩
在1-=x 处取得最大值2-m ,…………………7分
所以要使二次函数322
++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点,只需22≥-m , 即 4.m ≥.……………………………10分。