线代常用的一些结论

A1 2 设 A
A2
o
, 则有 A A A A . 1 2 s As
o
若 Ai 0i 1,2,, s , 则 A 0, 并有
A11 1 A
A2
1
o

o
. 1 As
(1) | AT | | A | ;
( 2) | A | | A | ;
n
( 3) | AB || A | | B | ;
注意 1) | A B || A | | B |
2) AB BA , 但有 | AB || BA | .
伴随矩阵
AA A A A E .

A1 0 0 0 A2 0 (3) 0 0 A s
0 A1 B1 0 A2 B2 0 0
B1 0 0 B2 0 0
0 0 . As Bs
T
1 1
T 1
A .
1 T
*
A 5 若A可逆 ,则有 A A .（注：
A
n-1
） .
六、解矩阵方程
矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1 C B1
七、方阵多项式
设 记
( x ) a0 a1 x am x m ,
a11 kai 1 a n1 a12 a1n a11 a12 a1n a i 2 a in a n 2 a nn
an 2 ann
a n1
kai 2 kain k a i 1
推论
行列式的某一行（列）中所有元素的公因
定理2 向量组B : b1 , b2 , , bl能由向量组 : a1 , A a2 , , am 线性表示的充分必要条 件是矩阵 A (a1 , a2 , , am )的秩等于矩阵 A, B ) (a1 , a2 , , ( am , b1 , b2 , , bl )的秩，即 R( A) R( A, B ).

五.逆矩阵的运算性质
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1 1 1

A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A 1 .
1
1

3 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
1 1 A B 1 B A
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
1
1
A1CB 1 , 1 B
或
A C
O A 1 B 1CA1 B
O . 1 B
A O A 1 (6) D , 则 D A B , D 1 O O B
O . 1 B
o
o
称为下（上）三角分块矩阵
三角分块矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A A C (5) 设 D , 或 D C O B
O , B
其中A、B分别为 r 阶、k 阶可逆方阵，则有：
A O C A 1 O B
一、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
二、行列式按行(列)展开法则
1、定理３(Laplace展开定理1)
乘积之和，即
D a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 a in Ain
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
行列式等于它
的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式
0 0 Bs
A1 A12 A1 s A1 A2 A2 s A21 A2 , 或 A (4) 设 A , As A A A s1 s2 s
O B 7 设 D , A O 其中A、B分别为 m 阶、n 阶可逆方阵，则有：
D
O A
O B A O
1
( 1)mn A B ,
A 1 . O
B O 1 B O
九、初等矩阵
1、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵. 2、初等矩阵均可逆
定理：n元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 R A n.
十二、向量组
定理 1 向量 b 可由向量组 1 , 2 , m 线性表示
矩阵A ( 1 , 2 , , m )的秩等于矩阵 B ( 1 , 2 , , m , b )的秩
定理 ：n 元非齐次线性方程组 Amn x b :
1) 无解的充要条件 R( A) R A, b ; 2) 有唯一解的充要条件 R( A) R A, b n ;
3) 有无穷多解的充要条件R( A) R A, b n .
定理：线性方程组Ax b有解的充分必要条件 是 R( A) R( B )
8. 若 Amn Bnl O , 则 R( A) R( B ) n , 9、
n 则有 R( A ) 1 0
R( A) n R( A) n 1 R( A) n 2
十一、线性方程组有解的判定条件
三、转置矩阵的运算性质
(1) ( AT )T A ;
( 2) ( A B )T AT BT ; ( 3) (A)T AT ;
(4) ( AB ) B A .
T T T
可推广 ( ABC )T C T BT AT .
四、方阵行列式的运算性质 (设 A、B 均为 n 阶方阵)
i 1,2,, n
j 1,2,, n
注：在实际展开时: (1) 常按含“0”元较多的行或列展开（以简 化计算）。 （2）还可先利用性质将某一行（或列）化为 仅含一个非零元再按此行（或列）展开，降 为低一阶行列式，如此继续，直到化为三阶 或二阶行列式计算。
关于代数余子式的重要性质
-1 k k -1
( A) a0 E a1 A am A P ( ) P .
m -1
(1 ) ( 2 ) 4. ( ) a0 E a1 am m ( n ) 其中 diag(1 , 2 , , n ).
E ( ij ( k )) 1 E ( ij ( k )) . 则
3、利用初等行变换求逆阵的方法：
( A , E ) 初等行变换 ( E , A1 ).
初等行变换 ( A , B ) ( E , A1 B ).
十、矩阵的秩的性质
1. 0 R( Amn ) min{ m , n} ;
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm x1 b1 x2 b2 X , b , 系数矩阵为 A (aij ) , x b n 线性方程组可记为：AX b n
为 x 的 m 次多项式 , A为 n 阶方阵 ,
( A) a0 E a1 A am Am ,
则称 ( A) 为方阵 A 的 m 次多项式.
运算性质：
1. ( A) f ( A) f ( A) ( A)
2.A的几个多项式可以像数x的多项式一样 相乘或因式分解.
3. 如果A P P , 则A P P , 从而
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 ,当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i D a 21 a 2 i a n1 a ni a1 n a2n a nn a11 a1i a 21 a i 2 a n1 a1 n a2n
a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
例如
a 21 a 2 i a11 ci kc j a n1 a ni a2 j k a nj a2 j a nj a1n anj
(a1i ka1 j ) a1 j
a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j an1 (ani kanj ) anj
2. R( AT ) R( A) ;
3. 若 A ~ B , 则 R( A) R( B) ; 4. 若 P、Q 可逆 , 则 R( PAQ ) R( A) ;
R( PAQ ) R( PA) R( AQ ) R( A) 5. max( R( A), R( B )) R( A , B ) R( A) R( B ) 6. R( A B ) R( A) R( B ) ; 7. R( A) R( B ) n R( AB ) min( R( A), R( B )) ;
变换 ri r j 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) 1 E ( i , j ) ;
1 变换 ri k 的逆变换为 ri ， k 1 1 则 E ( i ( k )) E ( i ( )); k 变换 ri kr j 的逆变换为 ri ( k )r j，
八、分块矩阵的运算
A11 A1r , 1 设 A Asr As 1
T T A11 As 1 T 则 A . T AT sr A1 r
T T A11 As1 T 则 A . AT AT sr 1r
子可以提到行列式符号的外面． 性质４ 行列式中如果有两行（列）元素对应
成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n a 21 a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 例如 2 D a n1 a n 2 (a ni a ) a nn ni