等比数列的前n项和公式-公开课

课题：等比数列的前n 项和

教材：人教版必修五§2.5.1 授课教师： 杨卉

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前

n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思

维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；

教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式；

（2）等比数列的前n 项和公式的应用；

教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程：

一、复习提问（课前给出复习：等比数列的定义及性质）

回顾等比数列定义，通项公式。 （1）等比数列定义：

q a a n n

=-1

（2n ≥，)0≠q （2）等比数列通项公式：)0,(11

1≠=-q a q a a n n

（3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、创设问题情景 一、问题引入：

八戒西天取经后，担任了高老庄集团的董事长，因急需大量的资金投入，于是找悟空帮忙，悟空一口答应：“行！我以1万为基准，每天再加1万，也就是第一天1万，第二天2万，第三天3万…依次连续（30天），但从投资的第一天起，第一天必须还给我1分，第二天还给我2分，第三天还给我4分…”八戒心里打起了小算盘：“第一天：支出1分，收入1万；第二天：支出2分，收入2万；第三天：支出4分，收入3万！哇！发财了！”心里越想越美，再看看悟空的表情，心里又犯嘀咕：“这猴子老欺负我，会不会又在耍我？” 【设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来】 二、 启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型：

学生直觉认为八戒可以向悟空借钱，教师引导学生自主探求，得出： 八戒30天借到的钱：

4652

30

)301(3021'30=⨯+=

+++= T （万元）

八戒30天需要还的钱：

=++++=292302221 S ?

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

教师紧接着把如何求=++++=29

2

302

221 S ？的问题让学生探究，

师：我们从这些数可以发现，等比数列的各项不能直接相加，也没有直接的公式。但单项式与单项式的求和是同类项可以相加减， 那么怎样创造出同类项呢？

三、问题探讨：

问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式

=n S 123n a a a a ++++

22111111--=+++++ n n a a q a q a q a q

回顾：等差数列的前n 项和公式的推导方法。 倒序相加法。

等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321 根据等差数列的定义1+-=n n a a d

[]111

1()(2)（n -1)=++

+++

++ n S a a d a d a d （1）

[]()(2)-（n-1)=+-+-++ n n n n n S a a d a d a d （2）

（1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()

2

+=

n n n a a S 探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？

=n S 123n a a a a +++

+

221

11111--=+++++ n n a a q a q a q a q

221

--=+++++

n n n n

n n n n a a a a S a q q q q

学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n 项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n 项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：

1

)（++=∈n n

a q n N a 变形：1+=n n a q a

具体：12=a q a 23=a q a 34=a q a …… 学生分组讨论推导等比数列的前n 项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比q 都等于其后一项。

所以将这一特点应用在前n 项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++ （1） 23111111-=

+++++ n n n qS a q a q a q a q a q （2）

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

11(1)(2)(1)n n q S a a q ∴--=-得：

当q=1时，1na S n =

当1≠q 时，q

q a S n n --=1)1(1

学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。

由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当1≠q 时， 11-=-n n a a q

S q

四.知识整合:

1．等比数列的前n 项和公式：

当q=1时，1na S n =

当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 11-=-n a a q

q

2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑1q = 与1q ≠ 两种情况。

⑵当1q ≠时，等比数列前n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n 项和公式涉及五个量，1,,,

,n n a q n a S ，

五个量中“知三求二”（方程思想）。

3．等比数列前n 项和公式推导方法：错位相减法。

五、例题精讲：

例1．求等比数列里的前n 项的和： 解：

6

,2,31===n q a []

2

12136

6--⨯=

∴S .

891=6

,2,31===n q a 其中