2024年中考数学总复习考点突破第20课时矩形、菱形、正方形

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10．[2023·武威] 如图， 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥ AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝ ___2__3____cm.
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11．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由 三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块 小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小 图形的面积之和”是该原理的重要内容之一. 如图，在矩形 ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点 E 为BC 边上的一个动点，EF⊥AC， EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则 60 EF＋EG＝___1_3___.
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2．[2022·鞍山]如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°， 对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接 EF，则EF的长为____21_3__.
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3．[2023·盘锦] 如图，四边形ABCD 是矩形，AB＝ 10，AD＝
4 2，点P是边AD上一点(不与点A，D重合)，连接PB， PC ， 点 M ， N 分 别 是 PB ， PC 的 中 点 ， 连 接 MN ， AM ， DN ， 点 E 在 边 AD 上 ， ME ∥ DN ， 则 AM ＋ ME 的 最 小 值 是
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12．[新视角·操作计算题]如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作 ∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE 的长为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
点拨：如图，连接EF，设AE交BF于点O. ∵ AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠DAG. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC. ∴∠AEB＝∠DAG. ∴∠BAG＝∠AEB. ∴ AB＝BE.
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由作图可知AB＝AF，∴ BE＝AF. ∵ AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形. ∵ AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形. ∴ OB＝OF＝3，AE⊥BF，OA＝12AE. ∵ AB＝5，∴ OA＝ AB2－OB2＝ 52－32＝4. ∴ AE＝2OA＝8.
答案： C
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5 ． [2023·乐 山 ] 如 图 ， 菱 形 ABCD 的 对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点 O，E为边BC的中点，连接OE. 若AC＝6，BD＝8，则OE＝
(B) A. 2
B.
5 2
C. 3
D. 4
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6．[2023·杭州] 如图， 矩形ABCD 的对角线AC，BD相交于点
13．[新考法·特殊位置法]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90 °， AC＝8，AB＝6， 点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E， PF⊥AC于点F，点M为EF的中点，则AM的最小值是( )
A.
8 3
B.
12 5
C.
9 4
D.
13 6
点拨：如图，连接MP. ∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6， ∴ BC＝ 62＋82＝10. ∵ PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形. ∴ EF＝AP，且EF与AP互相平分.
如图，延长 BA 至点B' ，使AB' ＝AB， 连接B'C 交AD 于点P， 此时PB＋PC 最小，为B'C 的长，
易知B'C＝ (2 10)2＋(4 2)2＝6 2. ∴ AM＋ME 的最小值为3 2.
答案： C
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4．[2023·沈阳] 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的 中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交 AD的延长线于点F，连接BF，CE. 求证：四边形BECF是菱形．
第四部分 图形的性质 第20课时 矩形、菱形、
正方形
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1．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一 个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是 _A_B__＝__B_E_(_答__案__不__唯__一__)_(写出一个即可).
O. 若∠AOB＝60 °，则ABCB＝( D )
A.
1 2
B.
3－1 2
C.
3 2
D.
3 3
提分练AD∥BC，AB＝CD. 下列
说法能使四边形ABCD 为矩形的是( C )
A. AB ∥ CD
B. AD＝BC
C. ∠A＝∠B
D. ∠A＝∠D
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8．[2023·常德] 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接 AF，DE. 若∠ FAC＝15°，则∠ AED 的度数为( C ) A. 80° B. 90° C. 105° D. 115°
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9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添 加一个条件__A_B_＝__A__D_(_答__案__不__唯__一__)__，使得矩形ABCD 为正 方形.
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证明：∵ AB＝AC，AD 是BC 边上的中线， ∴ AD 垂直平分BC. ∴ EB＝EC，FB＝FC，BD＝CD. ∵ CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD.
∠BED＝∠CFD， 在△EBD 和△FCD 中，ቐ∠EBD＝∠FCD，
BD＝CD， ∴△ EBD ≌△ FCD(AAS). ∴ BE＝ FC. ∴ EB ＝ BF ＝ FC ＝ EC. ∴四边形 EBFC 是菱形.
()
A. 2 3
B. 3
C. 3 2
D. 4 2
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点拨：∵四边形ABCD 是矩形，AD＝4 2， ∴ AD∥BC，∠ ABC＝90°，BC＝AD＝4 2. ∵点M，N 分别是PB，PC 的中点， ∴ AM＝12PB，DN＝12PC，MN 是△ PBC 的中位线. ∴ MN∥BC. ∵ AD∥BC，∴ MN∥AD. 又∵ ME∥DN，∴四边形 MEDN 是平行四边形. ∴ ME＝DN＝12PC.∵ AM ＋ ME＝12PB＋12PC＝12(PB＋PC)， ∴当 AM＋ME 取最小值时，PB＋PC 有最小值.