方阵问题基本公式
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A. 54 B. 48 C. 45 D. 39 ［答案］C ［解析］根据公式：全部渡过需 要49-17-1＝486＝8 次，前七次渡河需要往返各一次；第八 次渡河则只需过河一次，所以八次渡河共需过十 五次河（即 15个单程），每次过河需 要3分 钟，所以共需要 45 分钟。 【例 3】有 42 个人需要渡河，现仅有一只小船，每次只能载 6人，但需要 3 个人划船。请问 一共需要几次才能 渡完？（） http://www.gwygo / A. 10 次 B. 11 次 C. 12 次 D. 13 次
过河问题基 本知识点 1.M 个人过河 ，船上能载 N 个人，由于需要一人划船，故共需过河 M-1N-1次（分子、分母分 别减 “1”是因为需要 1个人划船 ，如果需要 n 个人划船就要同时减去 n）； 2.“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程 ； 3.载人过河的时候，最后一次不再需要返回 。 【例 1】（广东 200 5 上-10）有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5人，需要 几次才 能渡完？（） A. 7 次 B. 8 次 C. 9 次 D. 10 次 ［答案］C ［解析］根据公式：37-15-1＝364＝9 次。 【例 2】（北京应届 2 006-24）49 名探险队员过一条小河，只有一条可 乘7人的橡皮船，过一 次河需 3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟 ？（）
4x-4=48 4y-4=24x=13
y=7 因此外层每 边13人，内部空心部 分每边 7-2＝5 人，根据“逆向法思维 ”：共有 132 -52=144 人。 ［解二］总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是 36 的倍 数，直接锁定 B 。 ［解三］根据公式：相邻两圈相 差8，因此很容易得到这几圈 分别为 48 、40、32、24，直接 加起来 即可。 【例 12】有若干人，排成一个空层数由原来的四层变成 八层，则共有（）人。
A. 160 B. 1296 C. 640 D. 1936 ［答案］C ［解析］设调整前最 外层每边 x 人，调整后每边 y人，根据“逆向法思维 ”：
x-y=16 x2-（x-8）2=y2-（y-16）2x=44
y=28 因此：442-（44-8）2=640（人）。
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A. 251 B. 253 C. 1000 D. 1008 ［答案］D ［解一］设外层有 m 盆，内层有 n 盆 ，根据公式：m-n=8。则： m-n=8 m+n=2008m=1008 n=1000 ［解二］设该方阵外 层每边 x 盆，根据“逆向法思维 ”：x2-（x-4）2=2008x=253，外层每 边有 253 盆，根据公式：外层共有 2 53×4-4=1008。 【例 10】（江苏 200 9-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵 ，外层共有 6 8人，中间一层共 有44人，则该方阵士兵的总人数 是（）。 A. 296 人 B. 308 人 C. 324 人 D. 348 人 ［答案］B ［解一］最外层 68 人，中间一层 4 4人，则最内层为 44×2－68＝20 人（成等差数列）。因此 一共有 ：68-208＋1＝7（层），总人数为 4 4×7＝308。
A. 15 B. 17 C. 19 D. 22 ［答案］C ［解析］由于 9 时开始渡河，往返一次需 5分钟，9 点、9 点 5 分、9 点 10 分 、9 点 15 分， 船各运一批人过河，所以一共运 了4 次（其中第 4 次 还在路上）。因此，共有“4×（4-1） +1=13 人”已经离开了出发点，因此至少有 32-13＝19 人等待 渡河。
［答案］D ［解析］根据公式：42-36-3＝39３＝13 次。 【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4米晚上又 滑下3米， 则这只青蛙经过多少天可以从井中 跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］A ［解析］除最后一天外，青蛙每天白 天跳上 4 米，而晚上又滑 下3米，一昼夜来回 共上升 1 米，所以第六天 到了“第 6 米”的地方，第七天的时候，再向上跳四米，那么白天就可以跳 出井外，所以答案应 该选择 A。 ［注释］本题相当于 一个“过河问题”，一共 10 个人，船上能承载 4个人，但需要 3 个人划 船，所以共需要 10-34-3=7 天。 【题 5】有一只青蛙掉入一口深 20米的井中。每天白天这只青蛙跳上 5米晚上又 滑下3米， 则这只青蛙经过多少天可以从井中 跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］C ［解析］看作“过河问题”，20-35-3=8.5，所以需要 9 天。 【例 6】（国家 200 7-54）32 名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载 4人（其 中需 1 人划船），往返一次需 5分钟，如果 9 时整 开始渡河，9 时 17 分时，至少有（）人还 在等待 渡河。 #中国公务员考试信息网
A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5
［答案］C ［解析］重叠点思维：假设每张纸 条有x厘米长，总长度应该 是10x，但一共有 9 个接口，每 个接口处 都重叠 1 厘米，因此重复计 算了 9厘米 ，据此可得：10x-9=61x=7。 【例 6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行 一列，则 要减少 4 9人，则参加团体操表演的运 动员共（）人。 A. 576 B. 625 C. 676 D. 2401 ［答案］B ［解析］重叠点思维：假设每边有 x人，则一行一列 共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉 点上的人被重复计算了两 遍），有方程：2x-1=49，解得 x=25。共有 252 =625 人。 【例 7】（广东 200 5 下-11）要在一块边 长为 48 米的正方形地里种树苗，已知每横行 相距 3 米，每竖列相距 6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗 ?（） A. 128 棵 B. 132 棵 C. 153 棵 D. 157 棵 ［答案］C ［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1。边长为 48 米，每横行相距 3米，共有 48÷3+1=17 行；边长为 48 米，每横行相距 6米，共有 48÷6+1=9 列；可得：17×9=153（棵），一共可 种树 苗153 棵 。 bbs.gwygo 【例 8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列 变换后，增加了 6 行 ，减少了 10 列， 恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。则原长方形 阵共有（）人。 A. 196 B. 225 C. 256 D. 289 ［答案］B ［解析］设该正方形 阵每边 x 人，则原长方形 阵为（x-6）行，（x+10）列。x2=（x-6）（x+10） x=15，因此共有 1 52=225 人，选择 B。 【例 9】奥运会前夕，在广场中心 周围用 20 08 盆花围成了一个两层的空心方 阵。则外层有 （）盆花。
强华教育公务员考试辅 导
［解二］中间一层共 44 人，总人数是＝44×层数，是 44 的倍数，结合选项直 接锁定 B。 【例 11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人 数共 48 人，最内层人数 为24 人，
则该方阵共 有（）人。
A. 120 B. 144 C. 176 D. 194 ［答案］B ［解一］设最外层每 边x人，最内层每边 y人，根据公式：
基本公式： （1）N 排 N 列的实心方阵人 数为 N2 人 ； （2）M 排 N 列的实心长方阵 人数为 M×N 人； （3）N 排 N 列的 方阵，最外层有 4 N-4 人； （4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈 多8 人； （5）空心正 M 边 形阵，若每边有 N 个人，则共有 MN -M 个人； （6）方阵中：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2。 方阵问题两大常见思维 方法： （1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需 要再减去重叠点个数，才是最终的 全部数目； （ 2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内 部的数目是一种常用的思维 方法。 【例 1】（国家 200 2A 类-9、国家 200 2B 类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人 数是 60 人，问这个方阵共有学生多 少人？（） A. 256 人 B. 250 人 C. 225 人 D. 196 人 ［答案］A ［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2＝（60÷4＋1）2＝256（人）。 【例 2】（浙江 200 3-18）某校的学生刚好排成一 个方阵，最外层的人 数是 96 人，则这个学校 共有学生（）。 A. 600 人 B. 615 人 C. 625 人 D. 640 人 强华教育公务员考试辅 导 ［答案］C ［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2＝（96÷4＋1）2＝625（人）。 ［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选 项，选择 C。 【例 3（】广西 200 8-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人 数是80 人，问这个方 阵共有官兵多 少人？（） A． 441 B. 400 C. 361 D. 386 ［答案］A ［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2＝（80÷4＋1）2＝441（人）。 【例 4】（国家 200 5 一类-44、国家 200 5 二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围 成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条 边比三角形的每 条边少用 5 枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多 少？（） A. 1 元 B. 2 元 C. 3 元 D. 4 元 ［答案］C ［解一］设正方形每 边x枚硬币，三角形每边 y枚硬币，一共有 N 枚硬币，根据公式可 得方 程组： N=4x－4 N=3y-3N=60 y-x=5，因为每枚硬 币5分，所以总价值 3元。 ［注释］ 这里围成的三角形和正方形都指的 是空心的。 ［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数 是 3 的倍数→硬币的价值可 以三等分→根据选项选 择C。 公务员考试 网 【例 5】（北京社招 2 006-16）用 10 张同样长的纸条粘接成一条 长61 厘米的纸条，如果每个 接头处都重叠 1厘米，那么每条纸条长多少厘 米？（）
过河问题基 本知识点 1.M 个人过河 ，船上能载 N 个人，由于需要一人划船，故共需过河 M-1N-1次（分子、分母分 别减 “1”是因为需要 1个人划船 ，如果需要 n 个人划船就要同时减去 n）； 2.“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程 ； 3.载人过河的时候，最后一次不再需要返回 。 【例 1】（广东 200 5 上-10）有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5人，需要 几次才 能渡完？（） A. 7 次 B. 8 次 C. 9 次 D. 10 次 ［答案］C ［解析］根据公式：37-15-1＝364＝9 次。 【例 2】（北京应届 2 006-24）49 名探险队员过一条小河，只有一条可 乘7人的橡皮船，过一 次河需 3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟 ？（）
4x-4=48 4y-4=24x=13
y=7 因此外层每 边13人，内部空心部 分每边 7-2＝5 人，根据“逆向法思维 ”：共有 132 -52=144 人。 ［解二］总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是 36 的倍 数，直接锁定 B 。 ［解三］根据公式：相邻两圈相 差8，因此很容易得到这几圈 分别为 48 、40、32、24，直接 加起来 即可。 【例 12】有若干人，排成一个空层数由原来的四层变成 八层，则共有（）人。
A. 160 B. 1296 C. 640 D. 1936 ［答案］C ［解析］设调整前最 外层每边 x 人，调整后每边 y人，根据“逆向法思维 ”：
x-y=16 x2-（x-8）2=y2-（y-16）2x=44
y=28 因此：442-（44-8）2=640（人）。
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A. 251 B. 253 C. 1000 D. 1008 ［答案］D ［解一］设外层有 m 盆，内层有 n 盆 ，根据公式：m-n=8。则： m-n=8 m+n=2008m=1008 n=1000 ［解二］设该方阵外 层每边 x 盆，根据“逆向法思维 ”：x2-（x-4）2=2008x=253，外层每 边有 253 盆，根据公式：外层共有 2 53×4-4=1008。 【例 10】（江苏 200 9-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵 ，外层共有 6 8人，中间一层共 有44人，则该方阵士兵的总人数 是（）。 A. 296 人 B. 308 人 C. 324 人 D. 348 人 ［答案］B ［解一］最外层 68 人，中间一层 4 4人，则最内层为 44×2－68＝20 人（成等差数列）。因此 一共有 ：68-208＋1＝7（层），总人数为 4 4×7＝308。
A. 15 B. 17 C. 19 D. 22 ［答案］C ［解析］由于 9 时开始渡河，往返一次需 5分钟，9 点、9 点 5 分、9 点 10 分 、9 点 15 分， 船各运一批人过河，所以一共运 了4 次（其中第 4 次 还在路上）。因此，共有“4×（4-1） +1=13 人”已经离开了出发点，因此至少有 32-13＝19 人等待 渡河。
［答案］D ［解析］根据公式：42-36-3＝39３＝13 次。 【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4米晚上又 滑下3米， 则这只青蛙经过多少天可以从井中 跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］A ［解析］除最后一天外，青蛙每天白 天跳上 4 米，而晚上又滑 下3米，一昼夜来回 共上升 1 米，所以第六天 到了“第 6 米”的地方，第七天的时候，再向上跳四米，那么白天就可以跳 出井外，所以答案应 该选择 A。 ［注释］本题相当于 一个“过河问题”，一共 10 个人，船上能承载 4个人，但需要 3 个人划 船，所以共需要 10-34-3=7 天。 【题 5】有一只青蛙掉入一口深 20米的井中。每天白天这只青蛙跳上 5米晚上又 滑下3米， 则这只青蛙经过多少天可以从井中 跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］C ［解析］看作“过河问题”，20-35-3=8.5，所以需要 9 天。 【例 6】（国家 200 7-54）32 名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载 4人（其 中需 1 人划船），往返一次需 5分钟，如果 9 时整 开始渡河，9 时 17 分时，至少有（）人还 在等待 渡河。 #中国公务员考试信息网
A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5
［答案］C ［解析］重叠点思维：假设每张纸 条有x厘米长，总长度应该 是10x，但一共有 9 个接口，每 个接口处 都重叠 1 厘米，因此重复计 算了 9厘米 ，据此可得：10x-9=61x=7。 【例 6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行 一列，则 要减少 4 9人，则参加团体操表演的运 动员共（）人。 A. 576 B. 625 C. 676 D. 2401 ［答案］B ［解析］重叠点思维：假设每边有 x人，则一行一列 共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉 点上的人被重复计算了两 遍），有方程：2x-1=49，解得 x=25。共有 252 =625 人。 【例 7】（广东 200 5 下-11）要在一块边 长为 48 米的正方形地里种树苗，已知每横行 相距 3 米，每竖列相距 6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗 ?（） A. 128 棵 B. 132 棵 C. 153 棵 D. 157 棵 ［答案］C ［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1。边长为 48 米，每横行相距 3米，共有 48÷3+1=17 行；边长为 48 米，每横行相距 6米，共有 48÷6+1=9 列；可得：17×9=153（棵），一共可 种树 苗153 棵 。 bbs.gwygo 【例 8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列 变换后，增加了 6 行 ，减少了 10 列， 恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。则原长方形 阵共有（）人。 A. 196 B. 225 C. 256 D. 289 ［答案］B ［解析］设该正方形 阵每边 x 人，则原长方形 阵为（x-6）行，（x+10）列。x2=（x-6）（x+10） x=15，因此共有 1 52=225 人，选择 B。 【例 9】奥运会前夕，在广场中心 周围用 20 08 盆花围成了一个两层的空心方 阵。则外层有 （）盆花。
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［解二］中间一层共 44 人，总人数是＝44×层数，是 44 的倍数，结合选项直 接锁定 B。 【例 11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人 数共 48 人，最内层人数 为24 人，
则该方阵共 有（）人。
A. 120 B. 144 C. 176 D. 194 ［答案］B ［解一］设最外层每 边x人，最内层每边 y人，根据公式：
基本公式： （1）N 排 N 列的实心方阵人 数为 N2 人 ； （2）M 排 N 列的实心长方阵 人数为 M×N 人； （3）N 排 N 列的 方阵，最外层有 4 N-4 人； （4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈 多8 人； （5）空心正 M 边 形阵，若每边有 N 个人，则共有 MN -M 个人； （6）方阵中：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2。 方阵问题两大常见思维 方法： （1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需 要再减去重叠点个数，才是最终的 全部数目； （ 2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内 部的数目是一种常用的思维 方法。 【例 1】（国家 200 2A 类-9、国家 200 2B 类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人 数是 60 人，问这个方阵共有学生多 少人？（） A. 256 人 B. 250 人 C. 225 人 D. 196 人 ［答案］A ［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2＝（60÷4＋1）2＝256（人）。 【例 2】（浙江 200 3-18）某校的学生刚好排成一 个方阵，最外层的人 数是 96 人，则这个学校 共有学生（）。 A. 600 人 B. 615 人 C. 625 人 D. 640 人 强华教育公务员考试辅 导 ［答案］C ［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2＝（96÷4＋1）2＝625（人）。 ［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选 项，选择 C。 【例 3（】广西 200 8-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人 数是80 人，问这个方 阵共有官兵多 少人？（） A． 441 B. 400 C. 361 D. 386 ［答案］A ［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数 ÷4＋1)2＝（80÷4＋1）2＝441（人）。 【例 4】（国家 200 5 一类-44、国家 200 5 二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围 成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条 边比三角形的每 条边少用 5 枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多 少？（） A. 1 元 B. 2 元 C. 3 元 D. 4 元 ［答案］C ［解一］设正方形每 边x枚硬币，三角形每边 y枚硬币，一共有 N 枚硬币，根据公式可 得方 程组： N=4x－4 N=3y-3N=60 y-x=5，因为每枚硬 币5分，所以总价值 3元。 ［注释］ 这里围成的三角形和正方形都指的 是空心的。 ［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数 是 3 的倍数→硬币的价值可 以三等分→根据选项选 择C。 公务员考试 网 【例 5】（北京社招 2 006-16）用 10 张同样长的纸条粘接成一条 长61 厘米的纸条，如果每个 接头处都重叠 1厘米，那么每条纸条长多少厘 米？（）