2021年天津市南开区中考数学二模试卷-普通用卷

2021年天津市南开区中考数学二模试卷（带答案解析）Math CL
题号 一 二 三 四 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 计算结果与|2−3|相等的算式为( )
A. |−2|−|−3|
B. (−2)−(−3)
C. (−3
8)×8
3
D. (−15)÷(−3)
2. cos45°的相反数是( )
A. −√22
B. √22
C. −√2
D. √2
3. 据人民网5月20日电报道：中国森林生态系统年涵养水源量4947.66亿立方米，相当于12个三峡水库
2009年蓄水至175米水位后库容量，将4947.66亿用科学记数法表示为( )
A. 4.94766×1013
B. 4.94766×1012
C. 4.94766×1011
D. 4.94766×1010
4. 我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 无数
5. 下边物体的左视图是( )．
A.
B.
C.
D.
6. 估计√2+√3×√6的值应在( )之间．
A. 3和4
B. 4和5
C. 5和6
D. 6和7
7. 解方程组{x +y =10
x −2y =5
时，消去x ，得到的方程是( )
A. −y =15
B. −y =5
C. 3y =15
D. 3y =5
8. 已知方程x 2+2017x −m =0的两个根α、β满足1
α+1
β=1，则m 的值是( )
A. 2016
B. 2017
C. 2018
D. −2017
9. 如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D(a,b)在反比
例函数y =k
x 的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE =4，则k 的值为( )
A. −16
B. −8
C. −4
D. −2
10. 如图，已知△ABC 中，
AC =BC ，∠ACB =90°.直角∠DFE 的顶点F 是AB 中点，两边FD ，FE 分别交AC 、BC 于点D ，E 两点．当∠DFE 在△ABC 内绕顶点F 旋转时(点D 不与A 、C 重合)，给出以下个结论：①CD =BE ；②AD 2+BE 2=
DE 2；③四边形CDFE 不可能是正方形；④△DFE 是等腰直角三角形；⑤S 四边形CDEF =1
2S △ABC ，上述结论正确的个数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11. 如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，
点B 落在点B′处，若∠1=115°，则图中∠2的度数为( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
12. 若二次函数y =x 2−6x +d 的图象过A(−1,a)，B(2,b)，C(5,c)，则下列正确的是( )
A. a >b >c
B. a >c >b
C. b >a >c
D. c >a >b
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知x =−4，y =1
4，则x 3⋅x 4n ⋅(y n+1)4= ______ ． 14. 计算：
①(−√15)−2= ______ ；
②(√15+4)2015(√15−4)2016= ______ ； ③(√2−1)−1= ______ ．
15. 在句子“新时代新思想新征程”中，随机抽取一个字，抽到“新”字的概率是______．
16.一次函数y=kx+b(k≠0,k，b为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≤
0的解集为______ ．
17.三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)证明了勾股定理．在这幅“勾股圆
方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形
EFGH组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则
大正方形ABCD的面积是_______．
18.已知等腰三角形ABC的腰长为13，底边长为10，则△ABC 的面积为．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19.气象台发布的卫星云图显示，代号为“明星”的台风在某海岛(设为点)的南偏东方向的点生
成，测得.台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经2.5ℎ后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以25km/h的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图所示的直角坐标系．
(1)台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点C的坐标为；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心25km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市(设为点)位于点的正北向且
处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.解不等式组：{
3(x−2)≥x−4
2x+1
3
>x−1在数轴上表述出解集，并写出它的所有的整数解．
21.为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班
级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下(成绩得分均为整数)：
组别成绩分组频数频率
147.5～59.520.05
259.5～71.540.10
371.5～83.5a0.2
483.5～95.5100.25
595.5～107.5b c
6107.5～12060.15
合计40 1.00
根据表中提供的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a=______，b=______，c=______；
(2)已知全区八年级共有200个班(平均每班40人)，用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀
的人数约为______，72分及以上为及格，预计及格的人数约为______，及格的百分比约为______；
(3)补充完整频数分布直方图．
22.如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．
(1)请仅用无刻度的直尺在图(1)中作出∠BAC的平分线；
(2)请仅用无刻度的直尺在图(2)中作出△ABC的中线AP．
23.我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽
车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：
①设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
②如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
③若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
湘莲品种A B C
每辆汽车运载量(吨)12108
每吨湘莲获利(万元)342
24.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD=13，AD=11，BC=21，E是BC的中点，P是
AB上的任意一点，连接PE，将PE绕点P逆时针旋转90°得到PQ．
(1)如图2，过A点，D点作BC的垂线，垂足分别为M，N，求sin B的值；
(2)若P是AB的中点，求点E所经过的路径弧EQ的长(结果保留π)；
(3)若点Q落在AB或AD边所在直线上，请直接写出BP的长．
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)的对称轴为直线x=3，抛物线与
x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B的坐标为(8,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN//y
轴，求MN的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出符合点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|2−3|=|−1|=1，
A、原式=2−3=−1，不相等；
B、原式=−2+3=1，相等；
C、原式=−1，不相等；
D、原式=5，不相等，
故选：B．
原式各项计算得到结果，比较即可．
此题考查了有理数的乘除法则，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：cos45°=√2
2
，
相反数为：−√2
2
．
故选A．
根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
3.【答案】C
【解析】解：4947.66亿=4947.66×108=4.94766×1011．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．1亿=108．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：如图所示：平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形
对称轴条数为2条．故选：B．
直接利用轴对称图形的性质画出对称轴即可．
此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】本题考查简单几何体的三视图．
从左边看可以得到上下两个相邻的正方形，所以D正确．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：原式=√2+3√2=4√2，
∵1.4<√2<1.5，
∴5.6<4√2<6，
故选：C．
先进行二次根式的计算，在根据√2的取值范围确定结果的取值范围．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出√2的范围是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组两方程相减消去x得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：{
x+y=10①
x−2y=5②
，
①−②得：3y=5，
故选D．
8.【答案】B
【解析】解：∵方程x2+2017x−m=0的两个根α、β，∴α+β=−2017，αβ=−m，
∵1
α+1
β
=α+β
αβ
=1，
∴−2017
−m
=1，
∴m=2017，
故选：B．
首先根据根与系数的关系得到α+β=−2017，αβ=−m，再根据题干条件得到m的值．
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系用α和β表示出m的值，此题难度不大．9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用．
由D(a,b)，得出CO=−a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是4，得出BC×OE=8，最后根
据AB//OE，得出BC
OC =AB
EO
，即BC⋅EO=AB⋅CO，求得ab的值即可．
【解答】
解：D(a,b)，则CO=−a，CD=AB=b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=k
x
(x<0)的图象上，∴k=ab，
∵△BCE的面积是4，
∴1
2
×BC×OE=4，即BC×OE=8，
∵AB//OE，
∴BC
OC =AB
EO
，即BC⋅EO=AB⋅CO，
∴8=b×(−a)，即ab=−8，
∴k=−8，
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：连接CF，如图，
∵AC=BC，∠ACB=90°.点F是AB中点，∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠A=∠BCF=45°，
∵∠AFD+∠CFD=90°，∠CFD+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CFE，
∴△AFD≌△CFE(ASA)，
∴AD=CE，DF=EF，
∴CD=BE，所以①正确；
在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，
∴AD2+BE2=DE2；所以②正确；
当FD⊥AC时，四边形CDFE为矩形，
而FE=FD，则此时四边形CDFE是正方形，所以③错误；
∵DF=EF，∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以④正确；
∵S
四边形CDEF
=S△CDF+S△CEF，
而△AFD≌△CFE，
∴S
四边形CDEF
=S△CDF+S△ADF=S△ACF，
∴S
四边形CDEF
=1
2
S△ABC，所以⑤正确．
故选：C．
连接CF，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC，∠ACB=90°.点F是AB中点，先证明△AFD≌△CFE，则AD=CE，DF=EF，于是可对①②④⑤进行判断；由于FD⊥AC时，四边形CDFE为矩形，利用FE=FD 可判断四边形CDFE是正方形，则可对③进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定与性质．
11.【答案】A
【解析】解：∵∠1=115°，
∴∠EFB′=∠1=115°，∠EFC=65°，
∴∠CFB′=50°，
又∵∠B=∠B′=90°，
∴∠2=90°−∠CFB′=40°，
故选：A．
由邻补角概念和翻折变换性质得出∠EFB′=∠1=115°，∠EFC=65°，据此知∠CFB′=50°，结合∠B=
∠B′=90°知∠2=90°−∠CFB′，从而得出答案．
本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质．
12.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y =x 2−6x +d ，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x =3．
∵点A(−1,a)，B(2,b)，C(5,c)都在二次函数y =x 2
−6x +d 的图象上， 而三点横坐标离对称轴x =3的距离按由远到近为： (−1,a)、(5,c)、(2,b)， ∴a >c >b ， 故选：B ．
二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为x =3.根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据二次函数关系式，找出对称轴的位置．
13.【答案】−1
4
【解析】解：∵x =−4，y =1
4， ∴xy =−1， ∴x 3⋅x 4n ⋅(y n+1)4， =x 3⋅x 4n ⋅y 4n ⋅y 4， =(xy)4n ⋅x 3⋅y 4， =(−1)4n ⋅(−4)3⋅(1
4)4，
=−1
4
．
故答案为：−1
4．
先计算xy ，再将所求的代数式化简，代入即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及其逆运算，理清指数的变化是解题的关键．
14.【答案】1
15；4−√15；√2+1
【解析】解：①(−√15)−2=(−√15)2=1
15； ②(√15+4)2015(√15−4)2016 =(√15+4)2015(√15−4)2015(√15−4) =[(√15+4)(√15−4)]2015(√15−4) =−(√15−4) =4−√15；
③(√2−1)−1=
√2−1
=√2+1．
故答案为1
15；4−√15；√2+1．
①根据负整数指数幂的意义进行计算即可； ②化成积的乘方的形式进行二次根式的运算；
③根据负整数指数幂的意义进行计算，然后进行化简即可．
此题考查了负整数指数幂的运算和二次根式的混合运算，注意在计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算．
15.【答案】1
3
【解析】解：由于一共有9个字，其中“新”字有3个，
则抽到“新”字的概率为1
3， 故答案为：1
3
直接利用概率公式求解可得．
本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
16.【答案】x ≥2
【解析】解：一次函数y =kx +b ，当y ≤0时，图象在x 轴上以及x 轴下方， ∴函数图象与x 轴交于(2,0)点， ∴不等式kx +b ≤0的解集为x ≥2， 故答案为：x ≥2．
根据图象可确定y ≤0时，图象所在位置，进而可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．
17.【答案】100
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的面积以及正方形的面积有关知识，由BF=BE+EF结合“小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论．
【解答】
解：∵EF=2，BE=6，
∴BF=BE+EF=8，S
正方形ABCD =4⋅SΔBCF+S
正方形EFGH
=4×1
2
×6×8+2×2=100．
故答案为100．
18.【答案】60
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，难度不大．
根据等腰三角形的性质和勾股定理求出高AD，再根据三角形面积求解即可．
【解答】
解：设在等腰三角形ABC中，腰长AB=AC=13，底边BC=10，设底边的中点为D，那么BD=CD=5，且AD⊥BC，
在Rt△ABD中，由勾股定理知，AD=√AB2−BD2=12，则S△ABC=1
2
BC×AD=60．故答案为60．
19.【答案】解：(1)，；
(2)作CD⊥AO于D，则CD=km，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°−60°=30°，
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间是2.5+(100−25)÷2.5=5.5(小时)．【解析】本题考查点的坐标的确定和解直角三角形的应用．
(1)根据B点的方位角及BC⊥x轴(东西方向线)，可以求出其坐标；
(2)过点C作CD⊥AO于D，通过解Rt△ACD求出AC的长，进而算出台风要经过多长时间开始侵袭该城.不过最后要注意：台风是从距离该城25km处开始侵袭的．
20.【答案】解：{
3(x−2)≥x−4①
2x+1
3
>x−1②，
由①得，x≥1，
由②得，x<4，
所以，不等式组的解集是1≤x<4，
在数轴上表示如下：
故整数解为1，2，3．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
21.【答案】(1)8;10;0.25;
(2)1200人;6800人;85%;
(3)补全频数分布直方图如下：
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为40人，
∴a=40×0.2=8，b=40−(2+4+8+10+6)=10，c=10÷40=0.25，
故答案为：8、10、0.25；
(2)∵全区八年级学生总人数为200×40=8000人，
∴预计优秀的人数约为8000×0.15=1200人，预计及格的人数约为8000×(0.2+0.25+0.25+0.15)= 6800人，及格的百分比约为8+10+10+6
40
×100%=85%，
故答案为：1200人、6800人、85%；
(3)见答案
(1)根据第一组的频数和频率结合频率=频数
总数
，可求出总数，继而可分别得出a、b、c的值．
(2)根据频率=频数
总数
的关系可分别求出各空的答案．
(3)根据(1)中a、b的值即可补全图形．
本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=频数
总数
．22.【答案】解：(1)如图1，AD为所作；
(2)如图2，AP为所作．【解析】(1)利用切线的性质得OD//AC，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠CAD；
(2)连接点A和EF与OD的交点即可，根据圆周角定义得到∠AFE=90°，则OD垂直平分EF，然后根据平行线分线段成比例定理证明BP=CP．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和切线的性质．
23.【答案】解：(1)设装A种为x辆，装B种为y辆，则装C种为10−x−y辆，
由题意得：12x+10y+8(10−x−y)=100
∴y=10−2x．
(2)10−x−y=10−x−(10−2x)=x
故装C种车也为x辆．
∴{x≥2
10−2x≥2
解得2≤x≤4.x为整数，
∴x=2，3，4
故车辆有3种安排方案，方案如下：
方案一：装A种2辆车，装B种6辆车，装C种2辆车；
方案二：装A种3辆车，装B种4辆车，装C种3辆车；
方案三：装A种4辆车，装B种2辆车，装C种4辆车．
(3)设销售利润为W(万元)，则
W=3×12x+4×10×(10−2x)+2×8x=−28x+400
∴W是x的一次函数，且x增大时，W减少，
∴x=2时，W max=400−28×2=344(万元)．
【解析】(1)根据题意列式：12x+10y+8(10−x−y)=100，变形后即可得到y=−2x+10；
(2)根据装运每种水果的车辆数都不少于2辆，x≥2，y≥2，解不等式组即可；
(3)结合题意，设最大利润为W(万元)，依题意可列出表示式，W=−28x+400，可知函数为减函数，即可得出当x=2时，W最大．
本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．
24.【答案】解：(1)如图1中，作AM⊥CB用M，DN⊥BC于N．
∴∠DNM=∠AMN=90°，
∵AD//BC，
∴∠DAM=∠AMN=∠DNM=90°，∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，
∵AB=CD=13，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴BM=CN，
∵AD=11，BC=21，
∴BM=CN=5，
∴AM=√AB2−BM2=12，
在Rt△ABM中，sinB=AM
AB =12
13
．
(2)如图2中，连接AC．
在Rt△ACM中，AC=√AM2+CM2=√122+162=20，∵PB=PA，BE=EC，
∴PE=1
2
AC=10，
∴EQ⏜的长=90×π×10
180
=5π．
(3)如图3中，当点Q落在直线AB上时，∵△EPB∽△AMB，
∴PB
BM
=BE
AB
=PE
AM
，
∴PB
5
=
21
2
13
=PE
12
，
∴PB=105
26
，PE=126
13
，
∴PQ=126
13
，
如图4中，当点Q在DA的延长线上时，作PH⊥AD交DA的延长线于H，延长HP交BC于G．
设PB=x，则AP=13−x．
∵AD//BC，
∴∠B=∠HAP，
∴PG=12
13
x，PH=12
13
(13−x)，
∴BG=5
13
x，
∵△PGE≌△QHP，
∴EG=PH，
∴21
2
−5
13
x=12
13
(13−x)，
∴BP=39
14
．
综上，满足条件的BP的值为105
26
或39
14
．
【解析】(1)作等腰梯形的双高，把问题转化为矩形，全等三角形即可解决问题；
(2)如图2中，连接AC.利用勾股定理求出AC，再利用三角形的中位线定理求出PE，利用弧长公式即可解
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决问题；
(3)分两种情形分别讨论求解即可解决问题；
本题考查四边形综合题、等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4(a ≠0)的对称轴为直线x =3，
∴−b
2a =3， ∴b =−6a ，
∴抛物线的解析式为y =ax 2−6ax +4(a ≠0)， ∵点B(8,0)在抛物线上， ∴64a −48a +4=0， 解得a =−1
4， ∴b =−6×(−14)=3
2
，
∴抛物线的解析式为y =−1
4x 2+3
2x +4； (2)当x =0时，y =4， ∴C(0,4)．
设直线BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)， 将B(8,0)，C(0,4)代入得{8k +b =0
b =4，
解得{
k =−1
2b =4
，
∴直线BC 的解析式为y =−1
2x +4．
∵点M 为线段BC 上方抛物线上的一点，点N 为线段BC 上的一点，若MN//y 轴， ∴设M(x,−1
4x 2+3
2x +4),N(x,−1
2x +4)，其中0<x <8，
∴MN =(−14x 2+32x +4)−(−1
2x +4)
=−14x 2+32x +4+1
2
x −4
=−1
4(x −4)2+4，
∴当x =4时，MN 的值最大，最大值为4； (3)存在．理由如下：
令y =−1
4x 2+3
2x +4中y =0，解得x =−2或x =8，
则A(−2,0)，
由勾股定理得，AC =√22+42=2√5， 过点C 作CD ⊥对称轴于D ，则CD =3，D(3,4)，
①AC =CQ 时，DQ =√CQ 2−CD 2=√(2√5)2−32=√11， 点Q 在点D 的上方时，此时点Q(3,4+√11)， 点Q 在点D 的下方时，此时点Q(3,4−√11)， ②点Q 为对称轴与x 轴的交点时，AQ =5， CQ =√32+42=5， ∴AQ =CQ ， 此时，点Q(3,0)，
③当AC =AQ 时，∵AC =2√5，点A 到对称轴的距离为5，2√5<5， ∴这种情形不存在．
综上所述，符合条件的点Q 的坐标是(3,4+√11)或(3,4−√11)或(3,0)．
【解析】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，是较难题． (1)利用对称轴以及点B 的坐标求得a 、b 的值，即可确定函数关系式；
(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b ，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN 的长度，然后根据二次函数的最值问题解答；
(3)利用勾股定理列式求出AC ，然后分三种情况求解即可．。