广西柳铁一中、南宁三中2013届高三9月联考数学理试题

柳铁一中、南宁三中2012－2013学年度上学期高三联考数学试题（理） 2012-9-28命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组一、选择题（每小题5分，共60分）1．设全集{}{}{}2,4,6,8,8,1,4,6I I A a C A ==-=，则实数a 的值为（ ）A ．－3B ．1C ．－3或1D ．3或－12．函数2log (1) (1)a y x x =++>-的反函数为（ ）A ．2 1 (2)x y a x -=->B ．2 1 ()x y a x R -=-∈C ．2 1 (2)x y a x +=->D ． 2 1 ()x y a x R +=-∈3．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）A ．3πB ．32π C ．3 D ．24．函数)421tan(2)(π+=x x f 的图像的一个对称中心为（ ）A ．)0,(πB ． 3(,0)2πC ． )0,4(π-D ．)0,0(5．已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数（πθ<<0），其图像与直线y=2的某两个交点横坐标为12,x x ,若12x x -的最小值为π，则（ ）A ．2,2πωθ==B ．1,22πωθ==C ．1,24πωθ==D ．2,4πωθ==6．设23παπ<<，54sin -=α，则αααα2cos cos 2sin sin 22++的值为（ ）A ．20B ．-20C ．4D ．-47．已知n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且51013S S =，则520S S =（ ）A ．110B ．19C ．18D ．138．已知31)6sin(=-πα，则)3cos(απ+的值为（ ）A ．322B ．322-C ．31 D ．31-9．已知40πα<<，设ααααααcos sin sin )(sin ,)(cos ,)(sin ===z y x ，则（ ）A ．y z x <<B ．y x z <<C ．x z y <<D ．z y x <<10．定义在R 上的函数()f x ，若()f x 与(1)f x +都是偶函数，则（ ） A ．)3(+x f 是奇函数 B ．(1)f x -是奇函数C ．(2)f x +是偶函数D ．(3)()f x f x +=11．定义在R 上的偶函数()f x 满足[]()(2),3,4f x f x x =+∈当时，()2,f x x =- 则有（ ） A ．11(sin)(cos)22f f <B ．(sin )(cos )33f f ππ>C ．(sin 1)(cos1)f f <D ．33(sin)(cos)22f f >12．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意a ，b R ∈满足()()(),f a b af b bf a ⋅=+(2)2,f =(2),nn f a n=(2),()2nn nf b n N *=∈，考察下列结论：①(0)(1)f f = ②()f x 为偶函数 ③数列{}n a 为等比数列 ④{}n b 为等差数列， 其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．①④ 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知__________2tan ,54cos ),0,2(==-∈x x x 则π。

14．函数)54(log 22--=x x y 的单调增区间为_____________。

15. 等差数列}{n a 共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________/ （用数字作答） 16．函数⎪⎩⎪⎨⎧≠+==-1,1)21(1,)(1x x a x f x ，若关于x 的方程03)()32()(22=++-a x f a x f有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_______________。

三、解答题（共70分）17．（本小题10分）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.18．（本小题12分）在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bc a BC -=3cos cos .（1）求sinB 的值；（2）若b=42，且a =c ，求△ABC 的面积．19．（本小题12分）已知函数22()cos cos sin .f x x x x x =+- （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）在A B C ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =()1f A =，求b c +的最大值.20．（本小题12分）已知函数21()()(1).1x f x x x -=>+，（1）求)(x f 的反函数);(1x f-（2）若不等式)()()1(1x a a x fx ->--对一切]41,161[∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。

21．（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和14122.333n n n S a +=-⨯+（1）求通项n a . （2）设1223,2nn n nT T T T S =+++<证明:.22．（本小题12分）已知数列}{n a 满足.0*),,2(12,41111≠∈≥⋅-=+=--n n n nn n a N n n a a a a a ）（（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+nn a )1(1是等比数列，并求}{n a 的通项公式; （2）设2)12(sinπ-⋅=n a b n n ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：对任意的*N n ∈有127<n T成立.高三联考数学试题（理）答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1．选D 解析： 12,31a a -=∴=-或2．选B 解析：y x a x x a y y ,,1,122-=∴+=--互换，得R x a y x ∈-=-,12故选B3．选C 解析：由正弦定理得3260sin 2a a R ==3a R =⇒，33==a a α.4．选B 。

解析：2,1,2,2421πππππ==-=∴=+x k k x k x 。

故选B5．选A 。

解析：2sin()y x ϖθ=+为偶函数，2πθ=，π=T ，2=∴ω。

6选A 。

解析：23παπ<<，54sin -=α，∴ 34tan =α。

20)34(2342)34(tan 2tan 2tan sin cos 2cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 222222222=-⨯+=-+=-+=++αααααααααααα。

故选A 。

7．选A 。

解析：510515102015,,,S S S S S S S ---也成等差数列，设5S x =，则5105151020155202012,3,4,10,10S S S x S s x S S x S x S x S -=-=-=∴==∴=8．选D 。

解析：31)]6(2cos[)3cos(),6(2)3(-=-+=+∴-+=+παπαππαπαπ，选D9．选B 。

解析：1cos sin 0,40<<<<<ααπα，z x y >>∴.故选B 。

10．C ：由()f x 与(1)f x +都是偶函数，可知T=2，)2()2(),()(+=+-∴=-x f x f x f x f11．C 解：由已知得周期[][]2,1,043,4T x x =∈-+∈当时，()(4)2,f x f x x ∴=+=+[](0,1)1,0x x ∴∈∈-时-，此时()()2f x f x x =-=-0c o s 1s i n 11∴<<<且()2f x x =- 在[]0,1上单调递减知选C 。

12．选B 。

解析：①(00)0(0)0(0),(0)0f f f f ⋅=+∴=(1)1(1)(1)2(1),(1)0,(f f f f f f f =+=∴==故 ①正确②[1(1)](1)(1),(1)2(1),(1)0,(1)0f f f f f f f -⨯-=----=--=∴-= (1())()()(f x f x x f -⨯-=--+--∴()()(1)()f x f x xf f x =----=-- ()()f x f x ∴-=- 为奇函数，故②不正确 ④1111(22)2(2)2(2)2(2)2n n n n nf f f f ----⋅=+=+，11(2)(2)1,22nn nn f f ---= (2)2nnf ∴为等差数列， 故④正确 1(2)(2)(1)1(2)222nnnn f f n n f n =+-⨯=∴=⋅ 11(2)(1)2n n f n ++=+⋅③1111(2)(2)(1)212(2)1(2)12n n n n n n n nf a n f n n n f a n f n n n+++++⋅+==⋅=⋅=++⋅ {}n a ∴为等比数列，③正确，故选B二、填空题（每小题5分，共20分） 13．724-解析：724tan1tan 22tan ,43tan ,53sin 2-=-=-=∴-=xx x x x14．),5(+∞。

解析：0542>--x x 得51>-<x x 或。

由复合函数单调性可知5>x 。

15．29 解析：1121)1(2))(1(+++=++=n n a n a a n S 奇；1222)(+=+=n n na a a n S 偶，2903191=+=nn S S 偶奇解得10=n / 答案/ 第11项a 11=29（注明：只要写29就可以了）16．)2,23()23,1( 。

解析：03)()32()(22=++-a x f a x f 得a x f x f ==)(,23)(。

03)()32()(22=++-a x f a x f 有5个不同的解，即)(x f y =与a y y ==,23共有5个不同的解。

三、解答题（共70分） 17、解（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，222Tππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=-又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故（2）[,],122x ππ∈ 72[,]636x πππ∴+∈当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+= 即2x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]18.解：（1）由正弦定理，得BCA BC sin sin sin 3cos cos -=即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB∴sin(B+C)=3sinAcosB ∵A+B+C=180°∴sinA=3sinAcosB ∵0°<A<180° ∴cosB=31 ∴sinB=232（2）由余弦定理，cosB=,2222acbc a -+ 再由b=42,a =c, cosB=31得c 2=24∴S △ABC =21a csinB=21c 2sinB=8219．（1）()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+，∴()f x 的最小正周期为T π=，所以()f x 的增区间为222262k x k πππππ-≤+≤+，即[,]36k k ππππ-+，k Z ∈。