人教版九年级数学下册《锐角三角函数》

值是唯一确定的.
这几个比值都是锐角∠A的函数,记作sin A,cos A,tan A,
sin A =
∠A的对边 斜边
=ca
cos
A
=
∠A的邻边 斜边
=cb
B
∠A
的
对
边c
∠A的邻边b
A
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦统称为锐角∠A的三角函数. ∵c＞a,c＞b, ∴锐角三角函数值都是正实数,并且0<sin A<1,0<cos A<1.
3
锐角 三角 函数
定义：sinA,cosA
性质
0<sin A<1,0<cos A<1.
2
2
据此,小明猜想:
对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立.
(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
解:(1)成立.
当α= 30°时,
sin2α+ sin2(90°- α)= sin230°+ sin260°
AB AB
AB2
AB2
如图1，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的
值为( D )
【解析】 D 如图，过点B 作BD⊥AC (点D正好在格点外)，如
图2，由勾股定理，得AB=
，AD＝
所以
cosA＝
1.如图,在4×4的正方形方格中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格
5
点上,则∠BAC的正弦值是 5 .
思考 在Rt△ABC中,当锐角A取其他确定值时,∠A的对边与邻边的比值还会是一
个固定值吗?
观察图中的Rt△AB1C1,Rt△AB2C2和RtB△3AB3C3, B2
B1
A
C1 C2 C3
∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3,
B1C1
B2C2
B3C3
AC1
AC2
AC3
∴在Rt△ABC中,对于锐角∠A的每一个确定的值,其对边与邻边的比
求△ABC的周长和cosA的值．
5
B
BC 4
解：在Rt△ABC中，sinA＝ AB 5
设BC＝4k，AB＝5k(k＞0)．
由勾股定理可得：(4k)2＋92＝(5k)2.
∴k＝3. ∴BC＝12，AB＝15.
C
A
∴AB＋BC＋AC＝36.
cosA＝
AC AB
=
9 15
=
3 5
小明在某次作业中得到如下结果:
“神舟”十号载人飞船与“天宫”一号成功实现手控交会对接，对接成 功后，将增进人类对太空的了解，解开天宫的神秘面纱．其实，在“神 舟十号”发射和对接的过程中，三角函数的测量伴随着航天活动的始终， 今天我们就来揭开锐角三角函数的面纱吧！
上一节,我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度,其中都出现了两个相似的 直角三角形,即△ABC∽△A`B`C`.按5010 的比例，就一定有：
∴锐角三角函数公式： sin2 A cos2 A 1
锐角三角函数的性质
1. 0<sin A<1,0<cos A<1 2. 锐角三角函数公式：sin2 A cos2 A 1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15,BC＝8, 试求出∠A的正弦和余弦.
B
8
A
15
C
如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 4，AC＝9，
人教版九年级下册
锐角三角函数
学习目标
1．掌握三角函数边与角的对应关系； 2．探索正弦、余弦、概念的过程,掌握运用sin A,cos A表示直角 边的比； 3．培养学生良好的数形结合的能力，激发学生的求知欲和学 习 的自信心.
重点：学会运用正弦、余弦、正切的概念解决实际问题. 难点：学会运用正弦、余弦、正切的概念解决实际问题.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,如果CD=3,BD=2,那么cos A
3 13
的值是 13 .
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A 3，BC=6，则 AB的长为 （ D ） 5
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
4. 在△ABC 中，∠C=90°，如果sin A 1 ，AB=6，那么BC=_2____.
B`C` A`C` 1 BC AC 500
∴ 根据比例的性质可以得到：
B`C` BC A`C` AC
如图Rt△ABC可表示为： B
∠A
的
对
边
∠A的邻边
A
由前面的结论启示：在Rt△ABC中,只要一个锐角的大小不变(如∠A=34°),
那么不管这个直角三角形的大小如何,该锐角的对边与邻边的比值是一
个固定的值.
值是唯一确定的.
在Rt△ABC中,对于锐角∠A的每一个确定的值,其对边与邻边的比值是
唯一确定的.哪么对边与斜边的比值是否也是唯一确定的 B3
B1 B2
A
C1 C2 C3
∵Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3,
B1C1
B2C2
B3C3
AB1
AB2
AB3
∴在Rt△ABC中,对于锐角∠A的每一个确定的值,其对边与斜边的比
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.994 5,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.001 8,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.987 3,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.000 0,
sin245°+sin245பைடு நூலகம்=( )2+2 ( )2=2 1.
= (1 )2+ ( 3 )2= 1 + 3 = 1,
2
2
44
所以当α= 30°时,
sin2α+ sin2(90°- α)= 1 成立.
解:(2)小明的猜想成立.
证明:如图,在△A B C 中,
∠C = 90°,
设∠A = α,
则∠B = 90°- α,
∴sin2α+ sin2(90°- α)= (BC )2+ (AC )2= BC2 AC2 = AB2 = 1.