人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章锐角三角函数 专题：求锐角三角函数常用的3种方法(一题多变)

∴BD＝CD＝k，AD＝2k. ∴tanA＝BADD＝12.
方法总结：作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊 角(30°，45°，60°)，如下展示部分常见构造方 法：
题型二 不含特殊角的非直角三角形 3．(1)[延长＋连接线段构造直角三角形]如图，在正 方形网格中，已知△ABC 的三个顶点均在格点上， 则∠ACB 的正切值为（ D ）
◆类型一 构造直角三角形求解 题型一 含特殊角的非直角三角形 1．如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠A＝75°， AC＝8，求 BC 和 AB 的长． 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D. ∵在 Rt△ABD 中，∠B＝45°， ∴∠BAD＝45°，BD＝AD，AB＝ 2AD. ∵∠BAC＝75°，
2
2
∴AE＝125x.
∴tan∠CAD＝EACE＝15.
◆类型三 利用等角转化求解【转化思想】 7．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，AC＝8， BC＝6，则 cos∠BCD 的值是（ D ） A.3 B.3 C.4 D.4
543 5
8．如图，在△ABC 中，AC＝BC，过点 C 作 CD⊥AB，
(3)[利用垂径定理构造直角三角形]如图，⊙O 为△ABC
的外接圆，⊙O 的半径为 5，BC＝8，则 cosA 的值为
3 5
.
10．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝2 5，E 是 BC 的中点，将△ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 CF，求 cos∠ECF 的值．
A．2
B.2 5 5
C.
5 5
D.12
(2)如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格线的交 点处，将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到△AB′C′. 若 A，C，B′三点共线，则 tan∠B′CB＝ 2 ；
(3)[作垂线构造直角三角形＋面积法](2022·淮安区
模拟改编)如图，△ABC 的顶点都在边长相等的小正
BD＝
5
2
+
2
15 8
2＝25. 8
∴AD＝5－285＝185.∴ABDD＝35.
◆类型二 设参法求解
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 是
BC 边上的中线．如果 A
.
6．如图，在 Rt△BAD 中，延长斜边 BD 到点 C， 使 DC＝12BD，连接 AC.若 tanB＝53，求 tan∠CAD 的值．
方形的顶点上，则 sin∠BAC 的值为
10 10
.
4．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝34. (1)求边 AC 的长；
解：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. 在 Rt△ABE 中，tan∠ABC＝ABEE＝34，AB＝5， ∴AE＝3，BE＝4.∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.
在 Rt△AEC 中，根据勾股定理得 AC＝ 32 + 12＝ 10.
(2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求AD DB
的值．
解：如图，作 BC 的垂直平分线 DF，交 BC 于点 F， 连接 DC.则 BD＝CD，BF＝CF＝52.
∵tan∠DBF＝DBFF＝34，∴DF＝185. 在 Rt△BFD 中，根据勾股定理得
垂足为点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E，若 BD
＝12，AE＝10，则 sin∠EDC 的值为
3 5
.
9．(1)[利用圆周角定理转换角]如图，在正方形网格图 中，每个小正方形的边长均为 1，则∠1 的正切值为 2 ；
3
(2)[利用直径构造直角三角形]如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD.若 AC＝2，则 tanD＝ 2 2 ；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°. ∵E 是 BC 的中点，BC＝2 5， ∴BE＝CE＝12BC＝ 5.
∴AE＝
2 + 2＝ 22 + 5 2＝3.
由翻折的性质得∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝ 5， ∴EF＝CE.∴∠EFC＝∠ECF. ∵∠BEF＝∠EFC＋∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF.∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝BAEE＝ 35.
解：如图，过点 C 作 CE⊥AD，交 AD 的延长线于 点 E，则∠CED＝90°.
又 ∵∠BAD ＝ 90 ° ， ∠ ADB ＝ ∠CDE， ∴△CDE∽△BDA. ∵DC＝12BD， ∴CABE＝DADE＝CBDD＝12. ∵tanB＝53， ∴设 AD＝5x，AB＝3x.
∴CE＝3x，DE＝5x.
∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝30°. ∵在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，AC＝8， ∴CD＝12AC＝4，AD＝ 23AC＝4 3. ∴BD＝4 3，AB＝4 6. ∴BC＝BD＋CD＝4 3＋4.
2．如图，在△ABC 中，BC＝ 2AC，∠BCA＝135°， 求 tanA 的值． 解：如图，过 B 点作 BD⊥AC 交 AC 的延长线于 D 点， 则∠BCD＝180°－∠BCA＝45°. ∴BD＝CD＝ 22BC. 设 AC＝k，则 BC＝ 2k.