2019年高中数学人教A版必修4 2.3.1 平面向量基本定理 作业练习本 Word版含解析

[A.基础达标]
1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) A.AB →，DC → B.AD →，BC → C.BC →，CB → D.AB →，DA →
解析：选D.由于AB →，DA →
不共线，所以是一组基底．
2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )
A ．不共线
B ．共线
C ．相等
D ．不确定
解析：选B.∵a ＋b ＝3e 1－e 2，
∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．
3. 如图，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →
＝( )
A.1
2(5e 1＋3e 2) B.1
2(5e 1－3e 2) C.1
2(3e 2－5e 1) D.1
2
(5e 2－3e 1) 解析：选A.OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)＝12(BC →＋DC →
)＝12
(5e 1＋3e 2)．
4．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43
CA →＋λCB →
，则λ＝( )
A.23
B.13
C ．－13
D ．－23
解析：选C.∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →
)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－1
3
.
5．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →
＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b
C ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ
1＋λ
b
解析：选D.因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→
＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →，
所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→
，
所以OP →
＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λ
b .
6．如果3e 1＋4e 2＝a,2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________.
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3e 1＋4e 2，
b ＝2e 1＋3e 2，
解得e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .
答案：3a －4b 3b －2a
7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.
解析：∵CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ， ∴BD →＝CD →－CB →
＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b .
∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →，
∴2a ＋k b ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝2，k ＝－2λ， ∴k ＝－4. 答案：－4
8. 如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一
点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →
，则m ＋n 的取值范围是________．
解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →
.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →
＝－λμ·OA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以
m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1
μ∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .
解：∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，
则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－2，
∴c ＝a －2b .
10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE 与BF 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →.
解：连接AE ，AF ，(图略).DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →
＝a ＋12b －b ＝a －12
b ，
BF →＝AF →－AB →＝AD →＋DF →－AB →
＝b ＋12a －a ＝b －12
a .
因为G 是△CBD 的重心，
所以CG →＝13CA →
＝－13AC →＝－13
(a ＋b )．
[B.能力提升]
1．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0
B ．对空间任意向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈R
C ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D ．对于平面α内任意向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选A.B 错，这样的a 只能与e 1，e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．
2．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于点H ，记AB →
，BC →分别为a ，b ，则AH →
＝( )
A ．－25a －45b B.25a －45b
C ．－25a ＋45b D.25a ＋45
b
解析：选D.AF →＝b ＋12a ，DE →
＝a －12
b ，
设DH →＝λDE →，则DH →
＝λa －12λb ，
所以AH →＝AD →＋DH →
＝λa ＋(1－12
λ)b ，
因为AH →与AF →
共线且a ，b 不共线，所以λ12
＝1－12λ1，
所以λ＝25，所以AH →＝25a ＋4
5
b .
3．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 可作为一组基底，则实数λ
的取值范围是________．
解析：当a ∥b 时，设a ＝m b ，则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1＝mλ，2＝m ，解得λ＝12
，
即当λ＝1
2
时，a ∥b .
又a 与b 可作为一组基底，
∴a 与b 不共线，∴λ≠1
2
.
答案：(－∞，12)∪(1
2
，＋∞)
4．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同
的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________．
解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋1
2
b ，
又AO →＝AM →＋MO →＝AM →＋λMN →＝AM →＋λ(AN →－AM →)
＝(1－λ)AM →＋λAN →＝1－λ
m a ＋λn b .根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧
1－λm ＝12，λn ＝1
2，消去λ整理得
m ＋n ＝2.
答案：2
5. 已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →
分成2∶1两部分的一个分点，
DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →
；
(2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值． 解：(1)∵A 为BC 的中点， ∴OA →＝12
(OB →＋OC →)，OC →
＝2a －b .
DC →＝OC →－OD →＝OC →－23
OB →
＝2a －b －23b ＝2a －5
3b .
(2)∵OE →＝λOA →， ∴CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC → ＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与CD →
共线，
∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →
，
即(λ－2)a ＋b ＝m (－2a ＋5
3b )，
即(λ＋2m －2)a ＋(1－5
3m )b ＝0.
∵a ，b 不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，
解得λ＝45
.
6．(选做题)如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及线段AB 的延长线围
成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →
.
(1)求x 的取值范围；
(2)当x ＝－1
2时，求y 的取值范围．
解：(1)因为OP →＝xOA →＋yOB →
，以OB 和OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形(图略)，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值范围是(－∞，0)．
(2)如图所示，当x ＝－12时，在OA 的反向延长线取点C ，使OC ＝1
2
OA ，过C 作CE ∥
OB ，分别交OM 和AB 的延长线于点D ，E ，则CD ＝12OB ，CE ＝3
2
OB ，
要使P 点落在指定区域内，则P 点应落在DE 上，
当点P 在点D 处时OP →
＝－12OA →＋12OB →，
当点P 在点E 处时OP →
＝－12OA →＋32
OB →，
所以y 的取值范围是(12，3
2)．。