附有参数的条件平差
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Naa K Bxˆ W 0 BT K 0
4）按式（8）和式（9）计算参数近似值的改正
数 xˆ 和观测值L的改正数V。
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
5）计算观测值和参数的平差值。
Lˆ L V , Xˆ X 0 xˆ
6）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个 计算的正确性。
QLK QWK Q XˆK QKK QVK QLˆK
QLV QWV Q XˆV QKV QVV QLˆV
QLLˆ QWLˆ
Q XˆLˆ QKLˆ
QVLˆ
QLˆLˆ
Q
L
W
Xˆ
K
V
Lˆ
L
Q
QAT QAT Naa1BQXˆXˆ QA T QKK
QVV
Q QVV
W
AQ
N aa
BQXˆXˆ
解 : 本题n=3 ，t=2,r=n-t=1,又设u=1 ，故条件方
程的总数等于2。 两个平差值条件方程为
lˆ1lˆ2 lˆ3 0 lˆ3 Xˆ 0
将 Lˆi Li vi Xˆ X 0 xˆ,X 0 l3 ， 代入以上条件方程，
并将它们线性化，可得
l2v1 l1v 2 v3 l1l2 l3 0 v3 xˆ 0
误差理论与测量平差
附有参数的条件平差
1.平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
（1） A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的
改正数。其系数矩阵的秩分别为 rk(A) c, rk(B) u
其随机模型为：
DLL
的第一式，可得：
BT
N
1 aa
Bxˆ
BT N aa1W
0
(5)
再以
B
T
N
1 aa
左乘式（4）的第一式，并减去第二式
，得：
K
N
1 aa
(
Bxˆ
W)
令
N bb
B
T
N
1 aa
B
(6)
则有
N bb xˆ BT N aa1W 0
（7）
因为 ,且 ，故 是满 rk
(
N
bb
)
rk
(BT
N
1 aa
B)
rk
(B)
亦即
V P1 AT K
BT K 0
（2）
将式（1）和式（2）联立，则得到附有参数的条件
平差的基础方程：
AV Bxˆ W 0
V P 1 AT K BT K 0
（3） 基础方程
将式（3）中的第二式代入第一式，消去改正数V，
得：
AP1 AT K Bxˆ W 0
BT K 0
令 N aa AP 1 AT
2 0
Q
LL
2 0
P
1
式（1）中的未知数为n个观测值的改正数V 和u
个参数近似值的改正数样 xˆ ，即未知数的个数为 m = n + u，而方程的个数为 c = r + u。由于m – c = n – r = t > 0，所以式（1）是一组具有无穷多组 解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能 使 V T PV min 的一组解。
则
Naa K Bxˆ W 0
BT K 0
法方程 (4)
式（4）称为附有参数的条件平差的法方程。因为
rk (N aa ) rk ( AP 1 AT ) rk ( A) c
且 ，所以 是满秩的对称正方 N
T aa
( AP 1 AT )T
AP 1 AT
N aa
N aa
矩阵，其凯利逆存在。于是，用 Naa1左乘式（4）
用矩阵表示条件方程为
所以
l2 0
l1 0
1 1
v v v
1 2 3
0
1xˆ
l1l2 l3
0
0
A
l2 0
l1 0
11,B
0
1,W
l1l2 l3
0
误差理论与测量平差
u
N bb
N 1 bb
N bb
秩的对称正方矩阵，其凯利逆存在。于是，由式（7
）得：
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
（8）
将式（5）和式（8）同时代入式（2）的第一式，
得：
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
（9）
式（8）和式（9）就是附有参数的条件平差的最 终解。
(2)附有参数的条件平差的计算步骤 1)根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、必
FT
Lˆ1
Lˆ2
Байду номын сангаас
Lˆn
L,X 0
,
FxT
Xˆ 1
Xˆ 2
Xˆ u
L,X 0
应用协因数传播律，得：
Qˆˆ F T QLˆLˆ F F T QLˆXˆ Fx FxT QXˆLˆ F FxT QXˆXˆ Fx
于是，平差值函数的中误差为：
ˆˆ ˆ 0 Qˆˆ
3.实例分析
例6-4：在某航测像片上有一块矩形的稻田，为 了确定该稻田的面积，现用卡规量测了该矩形的 长和宽分别为 l1,l2 ，又用求积仪量测了该矩形 的面积为 l3 。若设该矩形的面积为参数 Xˆ ,按附 有参数的条件平差法平差，试列出其条件方程。
要观测值的个数 t及多余观测个数r(r=n-t) ，根据平 差的实际问题，设u 个独立量为参数（u<t ），从而 确定出条件方程个数。条件方程的个数等于多余观 测数与参数个数之和，即 c=r+u。
2)列出附有参数的条件方程式（1）。
A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
3）组成法方程式（4）。
NaaQkk
N Q aa kk AQ
BQxˆxˆ
BT
N
1 aa
AQ
Xˆ
Q B QXˆXˆ BT Naa1AQ
XˆXˆ
K QKK AQ Qkk Naa
N 1 bb 0
0
N
1 aa
N
1 aa
B QXˆXˆ
BT
N
1 aa
0
N
1 bb
B
T
N
1 aa
AQ
QKK AQ
0
V
QVV
QAT Qkk Naa
F (L~, X~) 0
7）精度估计。
2.精度评定
(1)单位权方差的估值
在附有参数的条件平差中，单位权方差的估 值仍为：
ˆ
2＝V
0
T
PV r
V T PV cu
2. 协因数矩阵
QLL QWL
QZZ QQKXˆLL
QVL
QLˆL
QLW QWW Q XˆW QKW QVW QLˆW
QLXˆ QWXˆ Q XˆXˆ QKXˆ QVXˆ QLˆXˆ
( 1)基础方程及其解 为了求得能使 V T PV min 的一组解，按求函数之
条件极值的方法，组成新函数：
V T PV 2K T ( AV Bxˆ W )
式中K是对应式(1)的联系数向量。
为了求函数 的极小值，将其分别对V和 xˆ 求一
阶导数，并令其为零，即
2V T P 2K T A 0 V 2K T B 0 xˆ
0
QATQKK QATQKK AQ
0
Lˆ
Q Qvv
QAT
N
BQ 1
aa xˆxˆ
BT
QAT
N 1 aa
B
N
1 bb
0
0
Q QVV
(3)平差值函数的中误差
设平差值函数为： ˆ (Lˆ , Xˆ )
对其全微分，得权函数式为：
dˆ
Lˆ
dLˆ
Xˆ
dXˆ
F T dLˆ FxT dXˆ
权函数式
式中：
4）按式（8）和式（9）计算参数近似值的改正
数 xˆ 和观测值L的改正数V。
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
5）计算观测值和参数的平差值。
Lˆ L V , Xˆ X 0 xˆ
6）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个 计算的正确性。
QLK QWK Q XˆK QKK QVK QLˆK
QLV QWV Q XˆV QKV QVV QLˆV
QLLˆ QWLˆ
Q XˆLˆ QKLˆ
QVLˆ
QLˆLˆ
Q
L
W
Xˆ
K
V
Lˆ
L
Q
QAT QAT Naa1BQXˆXˆ QA T QKK
QVV
Q QVV
W
AQ
N aa
BQXˆXˆ
解 : 本题n=3 ，t=2,r=n-t=1,又设u=1 ，故条件方
程的总数等于2。 两个平差值条件方程为
lˆ1lˆ2 lˆ3 0 lˆ3 Xˆ 0
将 Lˆi Li vi Xˆ X 0 xˆ,X 0 l3 ， 代入以上条件方程，
并将它们线性化，可得
l2v1 l1v 2 v3 l1l2 l3 0 v3 xˆ 0
误差理论与测量平差
附有参数的条件平差
1.平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
（1） A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的
改正数。其系数矩阵的秩分别为 rk(A) c, rk(B) u
其随机模型为：
DLL
的第一式，可得：
BT
N
1 aa
Bxˆ
BT N aa1W
0
(5)
再以
B
T
N
1 aa
左乘式（4）的第一式，并减去第二式
，得：
K
N
1 aa
(
Bxˆ
W)
令
N bb
B
T
N
1 aa
B
(6)
则有
N bb xˆ BT N aa1W 0
（7）
因为 ,且 ，故 是满 rk
(
N
bb
)
rk
(BT
N
1 aa
B)
rk
(B)
亦即
V P1 AT K
BT K 0
（2）
将式（1）和式（2）联立，则得到附有参数的条件
平差的基础方程：
AV Bxˆ W 0
V P 1 AT K BT K 0
（3） 基础方程
将式（3）中的第二式代入第一式，消去改正数V，
得：
AP1 AT K Bxˆ W 0
BT K 0
令 N aa AP 1 AT
2 0
Q
LL
2 0
P
1
式（1）中的未知数为n个观测值的改正数V 和u
个参数近似值的改正数样 xˆ ，即未知数的个数为 m = n + u，而方程的个数为 c = r + u。由于m – c = n – r = t > 0，所以式（1）是一组具有无穷多组 解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能 使 V T PV min 的一组解。
则
Naa K Bxˆ W 0
BT K 0
法方程 (4)
式（4）称为附有参数的条件平差的法方程。因为
rk (N aa ) rk ( AP 1 AT ) rk ( A) c
且 ，所以 是满秩的对称正方 N
T aa
( AP 1 AT )T
AP 1 AT
N aa
N aa
矩阵，其凯利逆存在。于是，用 Naa1左乘式（4）
用矩阵表示条件方程为
所以
l2 0
l1 0
1 1
v v v
1 2 3
0
1xˆ
l1l2 l3
0
0
A
l2 0
l1 0
11,B
0
1,W
l1l2 l3
0
误差理论与测量平差
u
N bb
N 1 bb
N bb
秩的对称正方矩阵，其凯利逆存在。于是，由式（7
）得：
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
（8）
将式（5）和式（8）同时代入式（2）的第一式，
得：
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
（9）
式（8）和式（9）就是附有参数的条件平差的最 终解。
(2)附有参数的条件平差的计算步骤 1)根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、必
FT
Lˆ1
Lˆ2
Байду номын сангаас
Lˆn
L,X 0
,
FxT
Xˆ 1
Xˆ 2
Xˆ u
L,X 0
应用协因数传播律，得：
Qˆˆ F T QLˆLˆ F F T QLˆXˆ Fx FxT QXˆLˆ F FxT QXˆXˆ Fx
于是，平差值函数的中误差为：
ˆˆ ˆ 0 Qˆˆ
3.实例分析
例6-4：在某航测像片上有一块矩形的稻田，为 了确定该稻田的面积，现用卡规量测了该矩形的 长和宽分别为 l1,l2 ，又用求积仪量测了该矩形 的面积为 l3 。若设该矩形的面积为参数 Xˆ ,按附 有参数的条件平差法平差，试列出其条件方程。
要观测值的个数 t及多余观测个数r(r=n-t) ，根据平 差的实际问题，设u 个独立量为参数（u<t ），从而 确定出条件方程个数。条件方程的个数等于多余观 测数与参数个数之和，即 c=r+u。
2)列出附有参数的条件方程式（1）。
A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
3）组成法方程式（4）。
NaaQkk
N Q aa kk AQ
BQxˆxˆ
BT
N
1 aa
AQ
Xˆ
Q B QXˆXˆ BT Naa1AQ
XˆXˆ
K QKK AQ Qkk Naa
N 1 bb 0
0
N
1 aa
N
1 aa
B QXˆXˆ
BT
N
1 aa
0
N
1 bb
B
T
N
1 aa
AQ
QKK AQ
0
V
QVV
QAT Qkk Naa
F (L~, X~) 0
7）精度估计。
2.精度评定
(1)单位权方差的估值
在附有参数的条件平差中，单位权方差的估 值仍为：
ˆ
2＝V
0
T
PV r
V T PV cu
2. 协因数矩阵
QLL QWL
QZZ QQKXˆLL
QVL
QLˆL
QLW QWW Q XˆW QKW QVW QLˆW
QLXˆ QWXˆ Q XˆXˆ QKXˆ QVXˆ QLˆXˆ
( 1)基础方程及其解 为了求得能使 V T PV min 的一组解，按求函数之
条件极值的方法，组成新函数：
V T PV 2K T ( AV Bxˆ W )
式中K是对应式(1)的联系数向量。
为了求函数 的极小值，将其分别对V和 xˆ 求一
阶导数，并令其为零，即
2V T P 2K T A 0 V 2K T B 0 xˆ
0
QATQKK QATQKK AQ
0
Lˆ
Q Qvv
QAT
N
BQ 1
aa xˆxˆ
BT
QAT
N 1 aa
B
N
1 bb
0
0
Q QVV
(3)平差值函数的中误差
设平差值函数为： ˆ (Lˆ , Xˆ )
对其全微分，得权函数式为：
dˆ
Lˆ
dLˆ
Xˆ
dXˆ
F T dLˆ FxT dXˆ
权函数式
式中：