七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》
5.3平行线的性质
平行线性质定理
性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言表示：
∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言表示：
∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．
性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
几何语言表示：
∵a∥b(已知)，
∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．
平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别：
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
概念：判断一件事情的语句，叫做命题．
【注意】
（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
命题的组成
每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使
句子完整通顺，但不改变原意.
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
【注意】
判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．
【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.
证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证
明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
【注意】
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
证明的一般步骤：
①根据题意画出图形；
②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；
④书写证明过程.
是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
解题技巧提炼
两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.
【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）
A．70°B．110°C．140°D．150°
【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3
得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，
∴∠5＝180°﹣140°＝40°，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝70°，
∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，
∴∠4＝∠2+∠5＝110°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．35°
【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．
【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，
∴∠BCF＝∠ABC＝70°，
又∵DE∥CF，
∴∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝50°，
∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的
和是（）
A．200°B．210°C．220°D．230°
【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，
∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2
的度数为140°．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．
【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．
【解答】解：∵CD平分∠ACM，
∴∠ACM＝2∠DCM．
∵∠DCM＝60°，
∴∠ACM＝120°．
∵直线AB与OM交于点C，
∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），
∵AB∥ON，
∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠O＝60°．
【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；
（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；
（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；
（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．
【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，
∴∠PDB＝∠AOB＝45°；
（2）∵CE∥OB，
∴∠CPD＝∠PDB，
∵DF∥OA，
∴∠PDB＝∠AOB，
∴∠AOB＝∠CPD，
∵∠CPD＝45°，
∴∠AOB＝45°；
（3）相等，理由如下：
∵CE∥OB，DF∥OA，
∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，
∵∠AOB＝∠CPD，
∴∠OCP＝∠ODP．
【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．
【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．
【解答】解：∵DB∥FG∥EC，
∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，
∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，
∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，
∴∠DAC＝96°，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝48°，
∴∠PAG＝12°．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．
【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．
【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，
∴∠ABE＝∠FEB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠FEC，
∵BE⊥CE，
∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．
【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．
【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．
【解答】证明：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴DA⊥AB．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．
【解答】证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．
【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．
【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，
则∠ADE＝∠DEF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADE，
∴∠1＝∠DEF，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEF+∠FEC＝90°，
∴∠2＝∠FEC，
∵CE平分∠DCB，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴BC∥EF，
∴BC∥AD，
∵DA⊥AB，
∴BC⊥AB．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．
【解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠CGF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=12∠BAD，
∴∠CGF=12∠BAD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCG=12∠DCE，
∴∠FCG=12∠B，
∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，
∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，
∴CF⊥AE．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．
【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）
A．88°B．89°C．90°D．91°
【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．
【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，
∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，
∵∠BOC＝133°，
∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，
∴∠OCD＝∠POC＝89°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
解题技巧提炼
给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.
【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．
【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．
【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，
∴AB⊥BC，
∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，
故答案为：8．
【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．
【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．
【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行
的？
【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．
【解答】解：
∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），
即：∠5＝∠6（等量代换），
∴l∥m．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．
【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，
∴∠BOD＝∠ODC＝32°．
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝90°+32°＝122°．
∵OE∥DM，
∠ANM＝∠EOB＝122°．
故答案为：122°．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．
【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，
∴∠ABD＝∠EDC＝50°，
∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，
∴∠DCE＝70°，
∴∠ACB＝∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，
其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．
【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，
∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFA＝∠AGC＝80°．
∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．
∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．
【解答】解：AB∥CD．
理由：∵MN∥EF，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）
A．38°B．45°C．52°D．58°
【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠DAC＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）
A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°
【分析】根据平行线的性质定理求解．
【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，
∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；
∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；
由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．
【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．
【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．
【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，
∵FD∥BC，
∴∠BDF＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．
【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．
【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，
∵∠2＝98°，
∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，
∵m∥n，
∴∠1＝∠4＝52°．
故答案为：52°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．
【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）
A．85°B．75°C．65°D．55°
【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．
【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∵AC∥DE，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，
∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．
【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF＝65°，
∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．
【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．
【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，
∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）
A．58°B．64°C．72°D．60°
【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝58°，
由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，
∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）
A．77°B．64°C．26°D．87°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，
∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，
由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．
【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．
∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，
∴∠ADE＝50°，
又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，
∴∠ADE＝∠EDF＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．
【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．
【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠5，
由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，
∴∠4＝∠2，
∵∠1＝∠2+∠4＝110°，
∴∠2＝∠4＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．
【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）
A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°
【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．
【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，
∴∠ED′G＝90°，
∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，
∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，
∴∠1+∠2＝135°，
故选：A．
【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．
【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角
相差18°，则图中∠1的度数为（）
A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°
【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．
【解答】解：如图，
设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，
①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，
∵∠BCD＝90°，
∴α+18°+2α+18°＝90°，
解得α＝18°，
∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；
②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，
∵∠BCD＝90°，
∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，
解得α＝42°，
∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；
综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，
∴AD⊥EF，故①符合题意；
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE，
∵EC⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，
∵∠EFC＝∠ACF，
∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CE平分∠ACB，故②符合题意；
∵EC⊥CF，要使AB∥CF，
则CE⊥AB，
∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，
∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：
①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；
②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；
③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；
④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③
【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．
【解答】解：
①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；
③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°
﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3
C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，
又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．
【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．
【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：
∵AB∥CF，∠ACF＝80°，
∴∠BAC＝∠ACF＝80°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，
∴DE∥AB．
（2）DE∥AB，∠CED＝71°，
∴∠B＝∠CED＝71°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．
【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．
（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；
（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．
【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；
（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，
∴∠BHC+∠HBF＝180°，
∴BF∥EC，
∴∠ACE＝∠F＝30°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．
故∠ACB的度数为60°；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，
∴∠BCE＝∠G，
∴DG∥EC，
又∵BF∥EC，
∴DG∥BF．
【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。