2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题(含解析)

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x
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2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题（含解析）
新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。

在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。

因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。

本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。

1.阅读下面的材料：
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）
请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：2※3= ；
（2）若5※m= ．
（3）函数y=2※x （x≠0）的图象大致是（ ） 【解析】
考点：规律探索应用，反比例函数的图像
2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题? （2）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b>a ，若Rt △ABC 是奇异三角形，求a ：b ：c ； （3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），D
是半圆的中点，C ，D 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E ，使AE=AD ，CB=CE ．
①求证：△ACE 是奇异三角形；
②当△A CE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．
【答案】（1）真命题．（2）a ：b ：c=1（3）①见解析②60°或120°． 【解析】
1．然后分两种情况讨论.
试题解析：解：（1）真命题． （2分）
ADB
（3）在Rt ΔABC 中，a 2
+b 2
=c 2
，
①证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt ΔACB 中，AC 2
+BC 2
=AB 2； 在Rt ΔADB 中，AD 2
+BD 2
=AB 2
．
∵D
是半圆的中点，∴， ∴AD=BD ， （6分），
∴AB 2
=AD 2
+BD 2
=2AD 2， （7分） 又∵CB=CE ．AE=AD ，∴AC 2
+CE 2
=2AE 2
． ∴ΔACE 是奇异三角形． （8分）
⋂
⋂=BD AD ⋂ADB
考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.
3.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵
2
≥0，∴a －b ≥0，∴a ＋b ≥a
＝b 时，等号成立.
结论：在a ＋b ≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b ≥a ＝b 时，a ＋b 有
最小值根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m ＞0，只有当m ＝ 时，m 有最小值 ； 若m ＞0，只有当m ＝ 时，2m 有最小值 .
（2）如图，已知直线L 1：y ＋1与x 轴交于点A ，过点A 的另一直线L 2与双曲线y （x >0）相交于点B （2，m ），求直线L 2的解析式.
（3）在（2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作CD ∥y 轴交直线L 1于点D ，试 求当线段CD 最短时，点A 、B 、C 、D 围成的四边形面积.
【答案】（1）当时，
有最小值为2；当时，8
（2） （3）23
2--=x y 2=m m m 1+
1=m
∴A （-2，0）
又点B （2，m
∴
设直线的解析式为：，
则有，
解得：
∴直线
的解析式为：；
2--=x y 2L ⎩
⎨
⎧-=-=21b k ⎩⎨
⎧-=+=+-420
2b k b k b kx y +=2L )4,2(,4--=B m
4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。

目前，已破译出“正做数学”的真实意思是“祝你成功”。

若“正”所处的位置为（x ，y ），你找到的密码钥匙是 ，破译的“今天考试”真实意思是 。

【答案】对应文字横坐标减1，纵坐标减2；努力发挥。

【考点】探索规律题（图形的变化类），坐标的变换。

5. 对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]44,1, 2.53==-=-，现对82进行
如下操作：1982931
3⎡⎤−−−→=−−−→=−−−→=⎢⎥⎣⎦第次第2次第3次，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，①对121只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
【答案】①3；②255。

【考点】新定义，无理数的大小比较，解一元一次不等式组。

6. 初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m,n)表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m,n)，如果调整后的座位为(i,j)，则称该生作了平移[][]
=--,并称a b
a,b m i,n j
⋅=时，m n
+为该生的位置数。

若当m n36
+取得最小值，则该生位置数的最大值为
▲ 。

【答案】10。

【考点】坐标与图形的平移变化，坐标确定位置。

7.阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。

例如：（1）()()()am an bm bn am bm an bn m a b ()n a b a b m (n )()+++=+++=+++=++，
（2）()
()()()2
22222x y 2y 1x y 2y 1x y 1x y 1x y 1---=-++=-+=++--。

试用上述方法分解因式224x 2x y y --- 。

【答案】()()2x y 2x y 1+--。

【考点】分组分解法因式分解。

【分析】()()()()()()22224x 2x y y 4x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 1---=--+=+--+=+--。

8.设a 、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m ，n]上的“闭函数”． （1）反比例函数2014
y x
=
是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数y x b =-+是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数2y x 4x 7=--是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值． 【答案】解：（1）反比例函数2014
y x
=
是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。

理由如下： ∵反比例函数2014
y x
=在第一象限，y 随x 的增大而减小，且
当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，
∴当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数2014
y x
=
是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。

（3）∵()2
2y x 4x 7x 211=--=--，
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是11-，且当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；
当x ＞2时，y 随x 的增大而增大。

①当b≤2时，此二次函数y 随x 的增大而减小，则根据“闭函数”的定义得，
22
a 4a 7
b b 4b 7a
⎧--=⎪
⎨--=⎪⎩，两式相减， 得()()()()()22a b 4a 4b b a a b a b 3a b 0a b a b 30--+=-⇒-+--=⇒-+-= ∵a b 0-≠，∴a b 30b 3a +-=⇒=-。

∴22a 4a 73a a 3a 100--=-⇒--=
解得，a 5b 2=⎧⎨=-⎩或a 2b 5=-⎧⎨=⎩
（均不合题意，舍去）。

②当a ＜2＜b 时，此时二次函数2y x 4x 7=--的最小值是11-=a ，根据“闭函数”的定
义得
【考点】新定义，反比例函数、一次函数和二次函数的性质，解二元方程组，分类思想的应用。