12、函数模型及其应用(含答案)

12函数模型及其应用
1.七类常见函数模型
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
5．解函数应用题的一般步骤
第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；
第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
2．建模的基本原则
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
练习一
1.有一组试验数据如表所示：
A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1
C．y＝2log2x D．y＝x3
答案 B
解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.
2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
答案 B
解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.
3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)
答案2500
解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x
4
m，则S＝x·
200－x
4
＝
1
4
(－
x2＋200x)＝－1
4
(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.
4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，
满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.
5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
答案 D
解析 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为1
2的
扇形．
因为矩形ABCD 的周长为8，
AB ＝x ， 则AD ＝
8－2x
2
＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4
＝－(x －2)
2＋4－
π
4
(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－
π
4
∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．
该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：
f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
100a t
10－600≤t ≤10
，
34010<t ≤20，
－15t ＋64020<t ≤40
(a >0且a ≠1)．
若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；
(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；
(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140， 即100·a
5
10
－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115， 所以f (5)>f (35)，
故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4
t 10
－60≥140，解得5≤t ≤10；
②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140， 解得20<t ≤
100
3
. 综上所述，5≤t ≤
1003
. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持
1003－5＝85
3
分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨
⎧
C ，0<x ≤A ，
C ＋B x －A ，x >A .
已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：
月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份
35 m 3
19元
A ．11.5元
B ．11元
C ．10.5元
D ．10元
答案 A
解析 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋
B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝1
2
，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧
4，0<x ≤5，4＋1
2x －5，x >5，
所以f (20)＝4＋1
2
×(20－5)＝11.5，故选A.
8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系
y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得⎩⎨⎧
e b
＝192，
e
22k ＋b
＝48，即⎩⎨⎧
e b ＝192，
e
11k
＝12
，所以该食品在33 ℃的
保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
123×192＝24(小时)．
9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，
CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．
(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM 面积的最大值．
解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD
， 所以
x －48－y ＝42，所以y ＝－1
2
x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所
以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当
x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．
10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年
答案 B
解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>
lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.11
0.05
＝3.8，则n >4.8，即a 5
开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中
n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：
①P A ≥1；
②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；
③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)
答案 ③
解析 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则
n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×10
4＝2×105
，∴P A
＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．
12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .
当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2
＋68x －115.
令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .
∴y ＝⎩⎨⎧
50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2
＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .
(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115
＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，
当x ＝11时，y max ＝270.
∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4
，要使存留的污垢不超过1%，则
至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案 B
解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需
要洗4次，故选B.
14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )
A ．y ＝100x
B ．y ＝50x 2－50x ＋100
C ．y ＝50×2x
D ．y ＝100log 2x ＋100
答案 C
解析 对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当
x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．
15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )
A ．4000只
B ．5000只
C ．6000只
D ．7000只
答案 C 解析 当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，
即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.
15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A ．略有盈利
B ．无法判断盈亏情况
C ．没有盈利也没有亏损
D ．略有亏损
答案 D
解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )
答案 D
解析 设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a
＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.
17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温
度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h
，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在
21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.
答案 8
解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－
21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.
18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10
(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a ，b 的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，
故a ＋b log 39010
＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.
(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.
所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，
所以－1＋log 3
Q 10≥2， 即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．
19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年
收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14
a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．
(1)求f (50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？ 解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f (50)＝80＋42×50＋14
×150＋120＝277.5. (2)由题知，
f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120
＝－14
x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，
解得20≤x ≤180，
故f (x )＝－14
x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，
当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。