湖南师大附中2018-2019学年高一下学期期末考试数学含答案

湖南师大附中2018-2019学年度高一第二学期期末考试
命题：柳 叶 审题：谭泽仁
时量：120分钟 满分：150分
得分： ____________
第I 卷(满分100分)
一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.
1. 若a , b , c 是平面内任意三个向量，入€ R ,下列关系式中，不一定成立的是
A . a + b = b + a
B .入(a + b )=扫+Ab
C . (a + b ) + c = a + (b + c )
D . b =扫
2. 下列命题正确的是
A .若a 、b 都是单位向量，贝U a = b
B .若AB = D
C ,则A 、B 、C 、
D 四点构成平行四边形
C. 若两向量a 、b 相等，则它们是起点、终点都相同的向量
D. AB 与BA 是两平行向量
3. cos 12° cos 18°— sin 12° sin 18°的值等于
3 1 1 3
A .~2
B .2
C . — 2
D •— ~2" 4. 函数f(x) = tan X 2的最小正周期为 1 + tan x n n
A.~
B.2 C . n D . 2 n
5. 设a , b 是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是
A . |a + b |w |a 汁 |b |
B . |a |— |b |< |a + b |
C . |a |— |b |< |a |+ |b |
D . |a |< |a + b |
6. 函数 f(x) = Asi n( 3X +$)A ,3, $为常数，A > 0, 3> 0, W |< 专 I
示，贝 U f( n )=
C. 7. 如图，角a B 均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A 、B ,贝U OA OB =
1 zS B.
(n y
(n \ 1
9. 已知 a€ 0, "2，cos "6 + a = 3，则 Sin a 的值等于 2 [2— \ 3 2 j'2 + ... 3 2 .：6 — 1
2 ,'6 — 1 A. 6 B. 6 C.6D . — 6 10. 将函数y = 3sin 2x +才的图象向右平移 寺个单位长度，所得图象对应的函数 A .在区间12，7i2上单调递减
B .在区间n 号上单调递增
11 .设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点 ，动点P 满足OP = OA + AB AC
入 ------- + ------ ，入€ [0，+^)，则点P 的轨迹必经过△ ABC 的
(AB | c os B |A C I C OS C 丿
A .夕卜心
B .内心
C .重心
D .垂心
答题卡
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
n
12. __ 已知直线x =匸是函数f(x) = sin(2x +柏的图象上的一条对称轴，则实数$的最小正值 为 __________ .
13. 已知 sin a + cos 3 = 1， cos a + sin 3 = 0，贝U sin( a+ 3= ____________ .
A . sin( a — 3
B . sin(a+ 3
C . cos(a — 3
D . cos(a+ 3
n
n 已知 ~4v a< 2， 且 sin a •s a 3 小 =10,贝y sin
a — cos a 的值是 C. 在区间
D. 在区间
上上 n 3n3 冗一 6 冗-6 单调递减 单调递增
14. 已知AB丄AC，|AB||AC|= 1.点P为线段BC上一点，满足AP = 巫 +」A^.若点
I I|AC||A B|4|AC|
Q ABC 外接圆上一点，则AQ AP 的最大值等于
三、解答题：本大题共3个小题，共30分.
15. (本小题满分8分) (1)求tan a 的值；
⑵求tan 2a + 4的值.
已知 5sin a — COS a COS a + Sin a
1.
16. (本小题满分10分)
已知向量 a = ( 2sin a , 1), b= 1, sin a + —.
(1)若角a的终边过点(3, 4),求a b的值；⑵若a// b,求锐角a的大小.
17. (本小题满分12分)
已知函数f(x) = sin =■— x sin x —^3cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；⑵讨论f(x)在n,务上的单调性.
第n卷(满分50分)
一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分.
18. 两等差数列｛a n｝和｛b n｝,
其前n项和分别为S n、T n,且
Sn= 7n+j ,则严20等于T n
n+ 3 b7+ b i5
(x+ 1) + sin x
19. ------------------------------ 设函数f(x) = _________________________________________
----------------------------------------- 的最大值为M ,最小值为m,贝V M + m = __________________ .
x十1
二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
20. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA丄底面ABCD , AD 丄AB , AB // DC , AD = DC = AP = 2, AB = 1,点E为棱PC的中点.
(1) 证明：BE丄DC ;
(2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.
21. (本小题满分13分)
在四边形ABCD中，AD // BC ,
(1)求AD的长；
⑵若/ BCD = 105° ,求四边形
71
22.(本小题满分13分) 已知函数 f(x) = x|x — a|+ bx(a , b € R ). (1)当b =— 1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a 的值； ⑵当b = 1时， ① 若对于任意x € [1 , 3],恒有f (x x )三2 x + 1,求a 的取值范围; ② 若a >0,求函数f(x)在区间[0, 2]上的最大值g(a). 湖南师大附中2018-2019学年度高一第二学期期末考试 数学参考答案 、选择题
1. D 【解析】 选项A ，根据向量的交换律可知正确；选项 B ,向量具有数乘的分配律， 可知正确；选项C ,根据向量的结合律可知正确； 选项D , a , b 不一定共线,故D 不正确.故 选D.
2. D 【解析】A.单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A 不对；B.A 、B 、C 、D 四点可能共线,故B 不对；C.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终 点无关，故C 不对; D.因AB 和BA 方向相反，是平行向量，故D 对.故选D. 【解析】 cos 12° cos 18°— sin 12 ° sin 18 ° = cos (12°+ 18° )= cos 30° 故选A. 【解析】 tan x sin xcos x 1 2 n 函数f(x)=齐岳=cos 2x +sin 2x = 1sin 2x 的最小正周期为 选C. 由向量模的不等关系可得： |a |一 |b |w |a + b |w |a |+ |b |. 5. |a + b |< |a + |b |,故 A 恒成立. |a |—|b |w |a + b |,故 B 恒成立. |a |—|b |w |a + b |w |a |+ |b |,故 C 恒成立. 令 a = (2, 0), b = (— 2, 0),则 |a |= 2, |a + b |= 0,贝U D 不成立.故选 D. 6. B 【解析】根据函数的图象 A = ,2. 【解析】 由图象得：T = 4 所以 3= 2|7= 2. 号+A k n ,—号 + k n .k €
z . 由于|『2,取k = 1,解得：片n ,所以f(x) = -2sin : 2x + 3 .
则：f( n )=扌，故选B.
7. C 【解析】根据题意，角a, B 均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A , B , 则 A(cos a ，
sin a )， B(cos 3 , sin 3 ),
故选C. 则有OA
OB = cos a cos 3+ sin
a sin 3 = cos ( a —
3)；
8. B
=(sin 2 【解析】T (sin a — cos 2
a+ cos a ) — 2sin a COS
a )2= sin 2 a — 2sin a cos a+ cos 2
a
a ；
又■/ sin
2
i 2 “ ・
a + cos a= 1 , sin a cos a 10'
/• (si n
—cos
得sin
—cos a=±
10； 由才V n aV
"2， 2 知2<sin a <1, 0<cos
故有 sin a — cos a> 0,
则sin
=sin —+ \6
a cos 丁 cos n + ；sin n =寧半—2 x 1=吟故选 C ./ 6
\6 y 6 3
2 3 2 6 •故选
7t
10 . B
n
图象向右平移勺个单位长度后得到y =
7t
3sin 2 lx — y = 3sin 2x
2 n 〜 n 2 n n
才的图象，令一—+ 2k n W 2x — 丁+ 2k n , k € Z , 化简可得
n x € —+ k n
J2 ,k € Z ,即函数 y = 3sin 2x —号 的单调递增区间为
n
五+k n
故选B.
7 n , 12 + k n
k € Z ,令
i 2 n
k = 0,可得 y = 3sin 2x —三
区间
n 7 n
J2， 12
单调递增，
11. 【解析】由题意可得 OP — OA = AP =
AC
入
+ T
<|AB
I COS B
|AC I C OS C
AB BC + (AB
| cos B |AC|cos C 经
过△ ABC的垂心，故选D.
二、填空题
12. n 【解析】(略)
1
13. —2 【解析】sin a + cos 3= 1,
两边平方可得：sin 2a + 2sin a cos 3 + cos 23 = 1,①，
cos a + sin 3= 0,
两边平方可得：cos a + 2cos a sin 3+ sin 3 = 0,②，
由① + ②得：2 + 2(sin a cos 3 + cos a sin 3 ) = 1,即 2 + 2sin( a+ 3) = 1, 2sin( a+ 3) = —1.
••/小 1
--si n( a+ 3 = —2
17 打r f f f f 1
14.y 【解析】T AB丄AC , |AB||AC|= 1 ,建立如图所示坐标系，设B \, 0 , C(0, t),
f 1 f f AB AC 丄1 1 1 1
AB = 7，0, AC = (0, t), AP= i + ^ = t[ , 0+ 4t(0 , t) = (1, 4, • P
••• P为线段BC上一点，•可设PC = XPB ,从而有—1 , t—:=入
勺BC中点，•点P ABC外接圆圆心.Q在厶ABC
外接圆上，又当AQ过点P时|A Q|有最大值为2|A P|=—夢,
此时A P与A Q夹角为9= 0° ° cos 9 = 1.^ (A P A Q ) =^T7^^T^=17
max 2 4 8
、解答题
即5tan a — 1 = 1 + tan a ,解得tan
. 心2tan a 4
AC BC
所以AP BC =入
=〈—|BC|+ |BC|)= 0,所以A P丄B C,即点P在BC边的高所在直线上，即点P的轨迹
|AB| 4|AC|
1 1解之得t=2.
t—4 =— 4 人
15.【解析】（1）由题意，cos a^ 0 ,
5sin a —cos a
cos a + sin a
可得
5tan a —1
1 + tan a a= ；(4 分)
• B(2, o) , C 0 , 2 •显然P
(2)由(1)得tan 2 a= 厂=
1—tan a
16.【解析】(1)角a的终边过点(3 , 4) , • r= ,32+ 42= 5 ,
• sin a = — 4, cos a =兰=|；
r 5
r 5
• a • b = 2sin a + sin a + —
•—
n
2sin a + sin a cos^ + cos a =2 X 5+ 4 冷 + 5 撐=孚.(5 分)
⑵若 a // b ,贝2sin a sin
=cos xsin x -于(1 + cos 2x)
2x + sin x =+
+1 ,易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，•函数f(x)图象关于点(0, 1)对称•若x x ~+ =x 0
时，函数f(x)取得最大值 M ,则由对称性可知，当x =— x 0
时，函数f(x)取得最小值m ,
因此，M + m = f(x O ) + f( — x o )= 2.
20.【解析】(1)如图，取PD 中点M ,连接EM 、AM.由于E 、M 分别为PC 、PD 的中点，
1
故EM // DC ,且EM = 2DC ,又由已知，可得EM // AB 且EM = AB ,故四边形ABEM 为平行 四边形，所以BE // AM.
.n sin 4
即 2sin a
sin a cos -^ + cos
• sin a+ sin a cos a= 1 ,
2
--Sin a cos a= 1 — Sin a = 对锐角
a 有 cos a^ 0,
n
a sin = 1,
4丿
2
COS a ,
二 tan •••锐
n
a
= 7.(10 分)
cos 2x
1 3 =^sin 2x — —cos 2x — ?
因此f(x)的最小正周期为n 亞=sin ： 亚
=sin2x —
3 — 2， 2—、3
八
,最大值为
⑵当x €
2n 牛时，
O W 2x —亍W n n n n 5 n
,从而当O W 2x —三W —,即$ W x w 〒2时，f(x)
n 单调递增；■— W 2x — — W n 2
3
7t
即鳥冗W x < 12 3
时，f(x)单调递减.
n
综上可知,f(x)在〒, 5 n 12
单调递增；在
5 n 2 n -12， 3 单调递减.(12分)
149
18
药 19. 2
【解析】生±他=型±鱼=S 21 =他.
b 7+ b 15 b 1+ b 21 T 21
24
2 .
x + 1 + 2x + sin x 2x + sin x ,、人
【解析】可以将函数式整理为 f(x) = - 2 = 1 + x ++1 ，不妨令g(x)
x 2 + 1 17.【解析】 ⑴f(x) = sin
因为PA丄底面ABCD ,故PA丄CD ,而CD丄DA ,从而CD丄平面PAD,因为AM祚平
面PAD,于是CD丄AM ,又BE // AM ,所以BE丄CD.（5分）
（2）连接BM ,由⑴有CD丄平面PAD,
得CD丄PD,而EM // CD，故PD丄EM ,又因为AD = AP, M为PD的中点,故PD丄AM , 可得PD 丄BE,所以PD丄平面BEM ,故平面BEM丄平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，
而BE丄EM,可得/ EBM为锐角，故/ EBM为直线BE与平面PBD所成的角.
依题意，有PD = 2 2,而M为PD中点，可得AM = 2,进而BE =-, 2•故在直角三角形BEM 中，tan/ EBM =器=ABE ，因此sin / EBM =申.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 f.（13分）
21.【解析】⑴•••在四边形ABCD中，
AD // BC, AB = .3, /A = 120° , BD = 3.
•由余弦定理得cos 120 ° =
2 c
3 + AD —9 -2 x ：3x AD ,
解得AD = ,3(舍去AD = - 2 3),
••• AD的长为3.(5分)
(2) •/ AB = AD = .3, / A = 120° , ADB = £(180 ° - 120 ° ) = 30° ,又AD // BC , / DBC = / ADB = 30° .
•// BCD = 105 ° , / DBC = 30 ° , BDC = 180°- 105
从而S A BDC = ^BC-BDsin / DBC = (3 3 —3)x 3x sin 30°= 4( . 3—1). (10 分)
S A ABD = 2AB x ADsin A = ^x ^x 羽x sin 120 ° =泅.(11 分)
22.【解析】(1)当b =—1 时，f(x) = x|x —a|— x = x(|x —a|—1), 由f(x) = 0,解得x= 0 或|x —
a|= 1,
由|x —a|= 1,解得x = a+ 1 或x = a— 1.
•/f(x)恰有两个不同的零点且a+1丰a—1,
•- a + 1 = 0 或a—1 = 0,得a = ±1.(4 分)
(2)当b= 1 时，f(x) = x|x —a|+ x,
①•••对于任意x € [1 , 3],恒有
30°= 45° , △ BCD 中，
由正弦定理得
BC
sin 45
3
sin 105
,解得BC = 3,3 — 3.(9 分)
…S = S A ABD
+ S A BDC = .(13 分)
x
y = f(x)在 0, a + 1 2 「单调递增，在 a + 1 2 , 单调递减，在［a , 2］上单调递增，
(a + 1) 2
4
, f(2) = 6 — 2a ,
(a + 1) 2
(a + 5) 2
— 48 —(6 — 2a)= ----- : ------ ,
• g(a) = max f
宁-f(2)
=
4
当 1 v a v 4 3 — 5 时，g(a)= f(2) = 6— 2a ；
a + C (a + 1) 2 T = 4；
当 4 .3— 5W a v 2 时，g(a)= f
a — 1 a + 1
当 2w a v 3 时，-^<—^<2 w a ,
这时 y = f(x)在 ||0,
(a +1) 2 =；
「单调递增，在 当a > 3时，专 > 2, y = f(x)在［0 , 2］上单调递增， 此时 g(a)= f(2) = 2a — 2.
单调递减， 即
x|x - a|
+ X w 2 x + 1,即 |x — a|< 2 x + 1 — 1,
•/x € ［1 , 3］时，2 x + 1 —1>0 , ••• 1 — 2 x + 1 <x — a <2 x + 1 — 1, a w x + 2\/x + 1 — 1,
即x € ［1 , 3］时恒有丿 ___ 成立.
^a > x — 2p x + 1 + 1,
令 t = x + 1,当 x € ［1 , 3］时，t € ［2, 2］, x = t 2— 1. ••• x + 2 x + 1 — 1 = t 2+ 2t — 2 = (t + 1)2— 3> ( 2 + 1)2— 3= 2 2,
• x — 2 x + 1 + 1 = t 2— 2t = (t — 1)2— 1w 0,
当0 v a w 1时，号w 0,旦+」》a , 这时y = f(x)在［0, 2］上单调递增， 此时 g(a)= f(2) = 6— 2a ; 当 1 v a v 2 时，O v <a+^ v a v 2,
2 2
综上，a 的取值范围是［0 , 2 2］. (8分)
(a + 1 F (a +1) -x — -2-' ② f(x)=
2
—x + ax + x , x w a x 2 — ax + x , x>a
)2
+
4 , x w a ,
(a — 1) 2
4
, x >a.
f (2) 此时g(a)= f
综上所述,x€ [0, 2]时，g(a) = 6—2a, 0<a<4 3—5
（叮［4 3 —5< a<3（13 分）
2a—2, a>3.。