点集拓扑学(教学课题大纲)

点集拓扑学（教学大纲）
General Topology
课程编码：
学分： 3 课程类别：专业方向课
计划学时：其中讲课：实验或实践：0 上机：0
适用专业：数学与应用数学专业
推荐教材：熊金城，《点集拓扑讲义》（第三版），高等教育出版社，2003。

参考书目：1. J.R.曼克勒斯，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987。

2. 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，2006。

课程的教学目的与任务
拓扑学是研究图形在同胚映射下的不变性质（即拓扑性质）的一门数学分科，其基本思想和处理方法对近代数学产生了深刻的影响，它与近世代数、泛函分析一起被称作数学的“新三基”；它的中心任务是研究拓扑不变性质，对拓扑空间按照同胚分类。

通过本课程的学习，使学生掌握点集拓扑的一些基本概念、基本理论、基本方法，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、理论联系实际分析问题解决问题的能力，提高学生的数学素养，为进一步学习、研究现代数学打好基础。

课程的基本要求
1、使学生了解公理集合论的初步知识并将度量空间中熟悉的知识推广到一般的拓扑空间中去。

比如连续映射的概念。

2、掌握由已知拓扑空间构造新的拓扑空间的若干方法。

比如子空间的概念，有限乘积空间。

3、掌握几种重要的拓扑性质：可数性、分离性、紧致性、连通性等。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）
第一章：集合与映射建议学时：6
[教学目的与要求] 了解朴素集合论和公理集合论的区别，了解选择函数与选择公理的内容；从关系的角度理解映射的概念。

[教学重点与难点] 选择公理及其等价形式。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]
第一节集合论
一、集合的基本运算
二、公理集合论的相关内容
第二节映射理论
一、关系与映射的联系
二、选择公理
第二章：拓扑空间与连续映射建议学时：8
[教学目的与要求]将连续函数的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间之间的连续映射；将开区间的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间中的开集。

掌握邻域与邻域系，导集，闭集，闭包，基与子基，内部，边界，拓扑空间中的序列等概念。

[教学重点与难点] 拓扑空间中的序列收敛性与分析课程中的差别。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]
第一节度量空间中的连续映射
一、度量空间中的连续映射特征和开区间特征的抽象
二、拓扑空间中开集和连续映射的定义
第二节拓扑空间性质1
一、邻域与邻域系
二、导集，闭集，闭包
第三节拓扑空间性质2
一、基与子基
二、内部，边界
第四节拓扑空间性质3
一、拓扑空间中的序列
第三章：子空间，有限积空间，商空间建议学时：4
[教学目的与要求] 掌握几种产生新的拓扑空间的方法。

[教学重点与难点] 有限积空间中拓扑的定义，商空间的理解。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]
第一节子空间，有限积空间
一、子空间中相应拓扑概念的定义
二、有限积空间中相应概念的定义
第二节商空间
一、商拓扑的定义
二、商空间定义
第四章：连通性建议学时：4
[教学目的与要求]掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性；连通性的某些简单应用；掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法)；
掌握连通分支的性质。

局部连通空间：掌握局部连通的定义与性质；掌握连通与局部连通的关系。

道路连通空间：掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系。

[教学重点与难点] 连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]
第一节连通空间及其应用
一、连通空间定义
二、连通性的某些简单应用
第二节连通分支，局部连通，道路连通
一、连通分支的定义
二、局部连通、道路连通的定义和性质
第五章：有关可数性的公理建议学时：6
[教学目的与要求]掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题；掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质。

掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系。

掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性。

[教学重点与难点]可数性公理的理解。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]
第一节第一与第二可数性公理
一、第一可数性公理定义与性质
二、第二可数性公理定义与性质
第二节可分空间，Lindeloff空间
一、可分空间的定义与性质
二、Lindeloff空间的定义与性质
第六章：分离性公理建议学时：10
[教学目的与要求] 掌握空间的定义及它们之间的不同与联系；掌握各空间的充要条件；熟记常见的各种空间。

掌握正规及正则空间的定义、充要条件及之间的联系。

Urysohn引理和Tietze 扩张定理：掌握Urysohn引理的内容。

完全正则空间，Tychonoff空间：掌握完全正则空间与空间的定义。

分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间：掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的。

[教学重点与难点] Urysohn引理的证明。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]
第一节空间
一、定义与性质
二、的关系
第二节正规及正则空间
一、正规空间定义及其性质
二、正则空间定义及其性质
第三节 Urysohn引理和Tietze扩张定理
一、Urysohn引理证明
二、Tietze扩张定理证明
第四节其它的若干分离性质
一、完全正则空间，Tychonoff空间及其性质
第七章：紧致空间建议学时：10
[教学目的与要求] 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的；研究紧致空间与分离性质的联系；几种紧致空间的推广；局部紧致空间与仿紧致空间的性质[教学重点与难点] 紧致性与分离性的联系；紧致性的推广。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]
第一节紧致空间
一、紧致空间的定义
二、紧致空间的各种性质
第二节紧致性与分离公理
一、紧致空间与Hausdorff空间的关系
二、紧致空间与正则，正规空间的关系
第三节几种紧致空间的推广
一、可数紧致空间，列紧致空间与序列紧致空间
二、度量空间中上述几种紧致性的关系
三、局部紧致空间与仿紧致空间的性质。