平面向量的线性组合

平面向量的線性組合 建國中學‧林信安 老師

3-2-3 平面向量的線性組合

的形式。我們稱為與的線性組合。 不論是OP 或OQ ，都可以表成OA 與OB 的線性組合，即

OP ＝3OA ＋2OB ，OQ ＝2OA ＋(－2 )OB 。

一般而言，若OA 與OB 是平面上不平行的兩個非零向量，那麼在此平面上任一向量OP 都可以唯一表成OA 與OB 的線性組合，即存在唯一的一組實數x ，y ，使得OP ＝xOA ＋yOB 。

我們說明如下：

如右圖所示，過P 點作直線OA 的平行線交直線OB 於B'；再過P 點作直線OB 的平行線交直線OA 於A'，得OP ＝x OA'＋y OB'，

令OA'＝xOA ，OB'＝yOB ，則

OP ＝OA'＋OB'＝xOA ＋yOB 。

所以OP 可以表成xOA ＋yOB 的形式。另一方面，

若OP ＝x 1OA ＋y 1OB ＝x 2OA ＋y 2OB ，

則 ( x 1－x 2 ) OA ＝( y 2－y 1 ) OB 。

假設x 1≠x 2，則得OA ＝( y 2－y 1 x 1－x 2

) OB 。 這表示“OA 和OB 平行”，此與“OA 和OB 不平行”明顯不合，所以x 1＝x 2，

於是又得y 1＝y 2。這說明了OP 表示成OA 與OB 的線性組合是唯一的。

例題1

設a ＝( 2，3 )，b ＝(－1，2 )，c ＝( 3，8 )，若c ＝x a ＋y b ，其中x ，y 為實數，試求x ，y 之值。

Ans ：

因c ＝x a ＋y b ，

故 ( 3，8 )＝x ( 2，3 )＋y (－1，2 )＝( 2x －y ，3x ＋2y )，

由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝33x ＋2y ＝8，解得x ＝2，y ＝1。

[解法]：

(1) ∵P 點軌跡為線段BC ，而BC ==

(2)

x +y =2，∴ = x 2(2AB)+ y 2(2AC)= x 2(AD)+ y 2(，

且x 2+ y 2=1，0,0x y ≥≥，故P 點軌跡為線段−DE ，而−DE=2−BC

=23。

(3)如右圖：P 12=12=-

=24( 2ABC ∆面積)=2421sin 60⋅⋅⋅︒=。

Ans ：(1)如右圖；(2)2：6：3

[補充說明]：

設P 為∆ABC 內部一點，試證若

，l ,m ,n 為正數 則∆PBC ：∆PCA ：∆PAB=l ：m ：n 。

Ans：(1)180；(2)60

Ans：(D)