第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角

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第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角

知识点一弧、弦、圆心角的关系

【定义】、如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 ．

【探究】如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

相等的弦： ；相等的弧： 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？

如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．

你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 因此，我们可以得到下面的定理： 【归纳】

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。 几何语言：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等． 几何语言：

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等． 几何语言： 【辨析】

定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？ 【拓展】

如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦． （1） 如果AB=CD ，那么______,________ （2） 如果弧AB=弧CD ，那么______,_______ （3） 如果∠AOB=∠COD ，那么______,_______ （4） 如果AB=CD, OE ⊥AB ，OF ⊥CD,OE 与OF 相等吗？ （5）如果OE=OF ，那么

与的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么

关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？

【归纳】:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。

B

'

A

'AB CD D

【应用】

例、如图，在⊙O 中，AB=AC ∠ACB =60 °，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC .

方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明__________

例、如图，AB 是⊙O 的直径，BC =CD =DE ，∠COD=35 °，求∠AOE 的度数。

方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为___________

例、已知：如图，A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB =CD ．求证：∠AOC =∠DOB ．

方法小结：同圆中，由弦相等可得_____________,弧之间可进行加或_______ 【自我检测】

1．如果两个圆心角相等，那么（ ）

A ．这两个圆心角所对的弦相等

B ．这两个圆心角所对的弧相等

C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D ．以上说法都不对

2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 的关系是（ ）两条弦AB 和CD 的关系是（ ） A. AB=2CD B ．AB>2CD C ．AB<2CD D ．不能确定 3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________

4、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．

5、如图所示，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆分别交AD 、BC 于E 、F ，延长BA 交圆于G 。求证：

EF EG =

思路导航：证弧EF 和弧GE 相等，可通过证明两条弧所对的____________相等，因此，可作辅助线________

6、已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点， 试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．

思路导航：由角平线线可联想_____________________,因此可添加辅且线________ 由同圆中_______相等，可得出弦EF 和GH 相等。

知识点二、圆周角定理

【探究】：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的

视角（∠AOB和∠）有什么关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

【探究】：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角∠ADB和∠AEB相

同吗？

∠ACB, ∠ADB和∠AEB的共同特征是，顶点在_______，并且两边

________________________的角叫做圆周角。

【辨析】

识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？

【探究】

如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆

心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．

通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论

【探究】如图，B C所对的圆心角有多少个？B C所对的圆周

角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心

O有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

[辨析]：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？

【小结】：圆周角定理的前提条件是：____________________

【应用】

例1、图中分别相等的圆周角有________________________________________

例2、如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20°，则∠AOB

_______.

的度数是