第10讲 几何综合一-完整版

第十讲几何综合一
内容概述
复杂的长度、角度计算；复杂的直线形比例关系，其中包括平行线分线段成比例及相似三角形的相关知识，具有一定综合性的直线形计算问题.
典型问题
兴趣篇：
1．图10-1中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．
答案：35平方厘米
【解析】因为g=a+c+e=2+5+e=7+e，但g最大只能是8厘米，所以g=8厘米，e=l厘米．
观察图形可知，h-b=f-d.而b=4厘米，代入有：h-4 =f-d．而d、f、h要从3厘米、6厘米、7厘米中选择，所以h=7厘米，f=6厘米，d=3厘米．作辅助线把图形分割成三个长方形①、②、③．如图所示，所以①的面积为a×b=2×4=8（平方厘米），②的面积为d×e=3×1=3(平方厘米），③的面积为g ×(f-d)=8×(6-3)=24（平方厘米）．
因此整个图形的总面积为24+8+3=35（平方厘米）．
2．如图10-2所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？
答案：360°
【解析】解法一：这个图形中，六个三角形围着一个处于
中心的六边形，如图所示，∠1和六边形的内角∠7互成补角．类
似地，可以发现，∠2、∠3、∠4，∠5、∠6也分别和∠8、∠9、
∠10、∠11、∠12互成补角，并且它们对应的内角各不相同．
由于∠1和六边形的内角∠7互成补角，所以∠1 =180°-∠7.
类似地，有∠2=180°-∠8，∠3=180°-∠9，∠4=180°-∠10，∠5=180°-∠11，∠6=180°-∠12.
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-(∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12)=180°×6 -180°×(6-2)=360°.
解法二：任意多边形的外角和为360°．通过观察可以看
出，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6恰为中间六边形的外角和，
因此∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于360°.
3．如图10-3，平行四边形ABCD的周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米，以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．
答案：280平方厘米
【解析】平行四边形的面积等于底乘以高，所以底边BC和CD之比就等于它们各自对应的高的反比.
由此可知底边的倍数关系为
147
168 CD
BC
==，
因为平行四边形的周长为75厘米，所以BC+CD=75
2
，从而BC=
758
20
278
⨯=
+
厘米，
因此平行四边形ABCD面积为20×14=280平方厘米．
4．如图10-4，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积
分别是
3
10
平方米、
2
5
平方米、
1
5
平方米和
1
10
平方米．已知图中的阴影部分是正
方形，那么它的面积是多少平方米？
答案：25
441
平方米
【解析】由于FG=HG-HF，则先求HG与HF的长度．而四边形AEFH和EBIF
有公共的竖直边，所以它们的面积比等于水平边的比．于是HF是FI的
323 1054
÷=，
所以HF 是HI 的
33347=+，即HF 为3
7
米． 观察下面的两个小长方形，同理可知，HG 是GI 的11
2510
÷=倍，所以HG 为
22
213
=+米． 因此FG=HG-HF=2353721-=米，所以正方形的面积为：5525
2121441
⨯⨯= 平方
米．
5．如图10-5，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10．那么，正方体盒子的底面积是多少？
答案：51.2
【解析】把黄色的正方形挪动位置，如下图所示：
可以发现，把黄色正方形移到左边后，它露在外面的部分少了长方形①，但是绿色正方形露在外面的部分又多了长方形①．那么移动之后，黄、绿两个正方形露在外面的面积之和不变，还是14+10=24.因为各个正方形的边长相同，而由上图可看出，移动后，黄、绿两个正方形露出的面积相等，此时它们露出的面积都为24÷2=12.
由“红×空白正方形=黄×绿”，可得右上角正方形的面积是12×12÷20=7.2． 所以大正方形盒子的底面积为20+12+12+7.2=51.2．
6．如图10-6，三角形ABC 中，DE 与BC 平行，且AD ：DB=5：2，求AE ：EC 及DE ：BC ．
答案：5:2，5:7
【解析】根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．
7．如图10-7，已知三角形ABC 的面积为1平方厘米，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．求三角形OBC 的面积．
答案：1
3
平方厘米
【解析】由D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，可知DE 与BC 平行，且1
2
DE BC =
． 如右图所示，沙漏DEOBC 中，有
1
2
OD OE DE OC OB BC ===. 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到
=2BOD
DOE
S
S
，=2COE
DOE
S
S
，
=24BOC
COE
DOE
S S S =．那么梯形DECB 的面积就是(1+2+2+4)×9DOE DOE
S
S
=.
由于△ABC 的面积为1平方厘米，则△ADE 的面积是1
4
平方厘米．而梯形DECB 的面积是13
144
-
=平方厘米.因此1131
==99412
DOE BCDE S S =⨯⨯梯形平方厘米，从而 11
=44123
BOC DOE S S =⨯=平方厘米．
8．在图10-8的正方形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF 的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的几倍？
答案：3倍
【解析】不妨设正方形的边长是2，所以FC=CG=GB=BE=EA=AD=1．
又A 、C 分别是所在边的中点，所以AC ∥GE ，即OA ∥BE ．由此可见OA 是△
DBE 的中位线，有12OA BE =，所以△OAD 的面积是11
1224
⨯÷=．
△AOB 的面积等于△BAD 的面积减去△AOD 的面积，等于11
11244
⨯÷-=．
△COD的面积等于△CAD的面积减去△AOD的面积，等于
13 212
44⨯÷-=．
由此可得，△CDO的面积是△ABO面积的3倍．
9．如图10-9，四边形ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？
答案：48平方厘米
【解析】因为E为边AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以
1
2
AE CD
=，
且AE∥CD．
在沙漏AEHCD中，有AH：HC=1：2，EH：HD=1：2．
由EH：HD =1：2可知，△AEH的面积为△AED面积的1
3
．
易知△AED面积为平行四边形ABCD的面积的1
4
，即72×
1
4
=18平方厘米，
所以△AEH的面积为18×1
3
=6平方厘米．
由F为边BC的中点，同理可求出△FOC的面积为6平方厘米．由AH：HC=1：2，FD：OD=1：2可知，H、0为边AC的三等分点，
所以S
△HOD =S
△AHD
=S
△DOC
=
1
3
S
△ACD
，
而S
△ACD =
1
7236
2
⨯=平方厘米，所以S△HOD=
1
3
×36=12平方厘米，
于是空白部分面积为S
△AEH +S
△FOC
+S
△HOD
=6+6+12=24平方厘米，
因此阴影部分的面积为72-24=48平方厘米．
10.如图10-10，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？
答案：
5 12
【解析】连结CF，把阴影部分分成△CEF和△DCF，如图1所示．假设△AEF 的面积是“1”，由于CE= 2AE，因此△CEF的面积就是“2”．而F又是AD的中点，
则△CFD的面积是“3”，如图2所示．
剩下两块空白部分：△ABF、△DBF.因为F是AD中点，因此它们的面积相同．不妨设为“x”，如图3所示．
利用2×S
△ABE =S
△CBE
作为等量关系列出方程：
()
2123
x x
⨯+=++，解得3
x=．
因此△ABF与△DBF的面积都是“3”，如图4所示．
则△ABC的面积是“1”+“2”+“3”+“3”+“3”="12”，所以“1”=
1
12
．那
么阴影部分的面积就是
15
5
1212
⨯=.
拓展篇：
1．如图10-11，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图10-11中的字母表示相应部分的长度．问：A、B中阴影部分的周长哪个长？长多少？
答案：B长，长16厘米
【解析】根据A图中标出的字母，我们马上就能写出长方形的长为a+2b，宽为a+b．再根据长比宽多8厘米，就能求出b=8厘米，要比较阴影部分的周长，可以把它们的边长都求出来，进而再求出周长进行比较．
长方形A中，阴影部分为两个小长方形①和②．①的长为2b，宽为b，则周长为(2b+b)×2=6b.②的长为a，宽为a+b-2b=a-b，则周长为(a+a-b)×2=4a-2b.所以阴影部分的周长为6b+4a-2b=4（a+b）．
长方形B中，阴影部分有6条边，它的周长其实就等于大长方形的周长，为(a+2b+a+b)×2=4a+6b．
所以，长方形B中的阴影部分周长比长方形A中的阴影部分周长要长，并且多出的长度为(4a+6b)-(4a+4b)=2b=2×8=16厘米.
当然还可以直接利用平移的方法，直接看出B中的阳影部分的周长比A中的阴影部分的周长多2b，即16厘米．
2．如图10-12，三角形ABC中，AD=CD，∠B=51°，∠DCB=73°，求∠CDB 和
∠A．
答案：∠CDB=56°，∠A=28°
【解析】因为∠B+∠DCB+∠CDB+∠ADC+∠A+∠ACD=360°，又∠CDB+∠ADC=180°，∠A=∠ACD,所以51°+73°+180°+2∠A=360°，解得∠A=28°，那么∠CDB=∠A+∠ACD=56°.
3．如图10-13，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？
答案：168°
【解析】正五边形的内角和是(5-2)×180°=3×180°=540°，每个内角是540°÷5=108°．
而△CDF是正三角形，每个内角是60°，因此∠CFD=∠FCD=60°．
而∠BCF=108°-60°=48°，是等腰△BCF的顶角，因此∠BFC=（180°-48°）÷2=66°，同理∠DFE也等于66°．于是∠BFE=360°-∠BFC -∠CFD -∠DFE=360°-66°-60°- 66°=168°．
4．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边框重合，如图10-14所示．问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？
答案：1
83
平方厘米
【解析】如图所示，折叠后△AED 与△ACD 面积相等，且AE=AC=5厘米.
因此BE=BA-AE=13-5=8厘米，则△BDE 的面积是△AED 的面积的8
5
.
而大△ABC 的面积是l2×5÷2=30平方厘米，那么阴影部分的面积就是 81825301130553⎛⎫
÷++=÷= ⎪⎝⎭
平方厘米．
5．在图10-15中大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、36、48.请问：图中阴影部分的面积是多少？
答案：2
147
【解析】上面的两个小长方形有公共的竖直边，所以它们的面积比就等于水
平边的比，可得EH 是GE 的24÷12=2倍，所以CE=1
3
GH ．
下方的两个小长方形也有公共的竖直边，同理可知，FH 是GH 的363
36487
=+.
因此，EF 是GH 的135
13721
--=，所以△EFC 的面积为长方形AGHC 的
51521242⨯=
，△EFJ 的面积也是长方形GHDJ 的5
42
． 由此可知，阴影部分的面积也占整个大长方形的5
42
；为（12+24+36+48）×
51002144277
==．
6．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图10-16，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．
答案：45
【解析】把大长方形如下图所示分割：
在最上面的加粗的长方形中，面积为4的长方形和①组成了一个新的长方形，面积为3的长方形和①，②组成了一个新长方形，面积为5的长方形和②也组成了一个新长方形.
这3个长方形的面积显然是相等的．所以有4+①的面积=3+①的面积+②的面积=5+②的面积．于是不难求出①的面积为2，②的面积为l，所以加粗长方形的面积为4+2+3+1+5=15.
再来观察左边的三个长方形，如下图加粗部分所示：
上、下两块长方形的面积都是4+2=6，而左边正方形的面积为12，所以中间长方形的面积也是6．
因此，左边加粗长方形为最上面的小长方形面积的3倍，于是所求的大长方形面积等于第一个图中加粗长方形面积的3倍，即15×3=45.
7．如图10-17，三角形ABC的面积为1．D、E分别为AB、AC的中点.F、G 是BC边上的三等分点．请问：三角形DEF的面积是多少？三角形DOE的面积是多少？
答案：13 , 420
【解析】注意到D、E分别为AB、AC的中点，则DE就是△ABC的中位线，连结CD，如图1所示.
则△DEF 与△CDE 面积相等，因此S △DEF =S △CDE =12S △ACD =1122⨯⨯S △ABC =14
. 在沙漏DEOFG 中，
OE DE
OF FG
=
（如图2）．
而DE=12BC ，FG=13BC ，因此32OE DE OF FG ==，即有33
325OE EF ==+，转化为面
积比
35DOE DEF
S S
=
．而S △DEF =14，所以S △DOE =35×S △DEF =3135420
⨯=．
8．如图1 -18，在三角形ABC 中，IF 和BC 平行，GD 和AB 平行，HE 和AC 平行．已知AG ：GF ：FC=4:3:2，那么AH:HI:IB 和BD:DE:EC 分别是多少？
答案：AH:HI:IB =3:4:2,BD:DE:EC=4:2:3
【解析】(1)因为AG ：GF ：FC=4：3：2，所以AF ：FC=7：2． 又因为IF ∥BC ，所以AI ：IB=AF ：FC=7：2． 因为GD ∥AB ，所以GF ：AG=OF ：IO=3：4． 又因为HE ∥AC ，所以AH ：H=OF ：IO=3：4． 由上可得AH ；HI ：IB=3：4：2．
(2)因为AG ：GF ：FC=4：3：2，所以AG ：GC=4：5． 又因为GD ∥AB ，所以BD ：DC=AG ：GC=4：5．
因为GF ：FC=3：2，IF ∥BC ，所以OD ：GO=FC ：GF=2：3． 又因为HE ∥AC,所以DE ：EC=OD ：GO=2:3． 由上可得BD ：DE ：EC=4：2：3． 9．如图10-19，梯形ABCD 的上底AD 长10厘米，
下底
BC
长15厘米．如
果EF 与上、下底平行，那么EF 的长度为多少？
答案：l2厘米
【解析】在沙漏ADOBC 中，23OA AD OC BC ==，于是2
5
AO AC =（如图所示）．
由于EO//BC ，因此
25EO AO BC AC ==，即22
15655
EO BC =⨯=⨯=厘米．
同理，OF 也等于6厘米，所以EF=EO+OF=6+6=12厘米．
10.如图10-20，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？
答案：2
23
【解析】方泫一：连结阴影部分的对角线，如图l 所示．
这条辅助线平分阴影部分，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形，那么每个梯形的面积为6÷2=3．
要求出阴影部分的面积，只需求出其中的一半即可．
画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如图2所示，
△BCD 和△ABD 是一对等高三角形，并且底边BC 是AD 的2倍，所以△BCD
的面积是△ABD 面积的2倍，于是△BCD 面积为3×2
3
=2．
在沙漏ADOBC 中，12OD OB =，所以S △BOC=23S △BDC=1
13
．
因此正六边形中的阴影部分面积为12
12233
⨯=．
方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如图3所示.
观察图形可知，这时正六边形被分割成18个三角形，这些三角形面积全都
相等．阴影部分由8个三角形组成，所以阴影部分面积为6÷l8×8=2
23
.
11．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？
答案：6米
【解析】根据题意画出如图所示的图，延长FE 与AC 交于I ，则△AEI 和△EFH 以及△CEI 和△EFG 都能组成沙漏三角． 、
不难看出，EI=4-1.5=2.5米．
而在沙漏AIEFH 中，又有
2.55
1.53AE IE EH EF ===． 在沙漏ACEGH 中，有5
3AC AE GH EH ==.
由此可知33
10655
GH AC ==⨯=米，这就是两个影子的总长度．
12．如图10-21，O 是长方形ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？
答案：1
38
【解析】由S △AOD =4可知S △BCD =12×S 长方形ABCD =1
2×4×S △AOD =8．而△CDF 与△CDB 从C 出发的高相同，则
3
8
CDF CDB
S
DF DB S
==． 由于EF ∥CD ，把线段的比例转移到BC 上，则有
3
8
CE DF BC DB ==，从而得到
35188BE BC =-=，所以阴影△BEF 的面积是△BCF 面积的5
8
，于是阴影三角形的面积是()()55525838888BCF BCD CDF S S S ⨯=⨯-=⨯-=.
13．如图10-22，在三角形ABC 中，AE=ED ，D 点是BC 的四等分点，请问：阴影部分的面积占三角形ABC 面积的几分之几？
答案：
37
【解析】连结四边形CDEF 的对角线CE ，将其分为△EFC 和△ECD ，如下图所示．
由题意，D 点是BC 的四等分点，不妨就设△CDE 的面积是“1”，而△BDE 的面积则是“3”，再根据E 是AD 的中点，那么△ABE 的面积就是“3”，△ACE 的面积是“1”．
根据燕尾模型得
34ABE CBE
S
AF FC S
==
，所以△AEF 的面积就是“3
7
”份，△ECF 的面积就是“4
7
”份，如下图所示.
由此可得阴影部分的面积和是“3
37
”，而△ABC 的总面积是“8”，
所以阴影部分占总面积的33
3877
÷=．
14
．如图
10-23，在三角形ABC 中，三角形AEO 的面积是1，三角形ABO 的面积是2，三角形BOD 的面积是3，那么四边形DCEO 的面积是多少？
答案：24
【解析】连结四边形CDOE 的对角线OC ，将其分为△EOC 和△OCD ，如图1所示.
很明显，EO ：OB=1：2．四边形CDOE 被分成了两部分，不妨设△EOC 为x ，那么在△EBC 中，
1
2
OCE BCO
S OE S
OB =
=，所以△OBC 的面积为2x ，△ODC 的面积就是2x-3(如图2所示)．
在△ADC 中，
23OCA OBA DCO
DBO
S S
AO S
DO S
=
==
，也就是12233
x x +=-． 交叉相乘可得3(1+x)=2(2x-3)，解得x=9．
于是2x-3=15，所以四边形CEOD 的面积是9+15=24．
超越篇：
1．如图10-24，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？
答案：25平方厘米
【解析】连结AE 、EB ，如右图所示，从中容易看出，△AOB 、△B0E
和△
AOE
都是顶角为120°的等腰三角形，它们的底角都是(180°-120°)÷2=30°，因此△ABE 的三个角都是60°，是一个正三角形.
这样一来，△AOB 、△BOE 和△AOE 的面积都相等，它们的面积之和是△ABE 的面积，即长方形面积的一半60÷2=30平方厘米，因此这3个三角形的面积都是30÷3=10平方厘米．
大长方形由2个梯形以及△AOB 组成，那么1个梯形的面积就是(60-10)÷2=25平方厘米．
2．如图10-25，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PCCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20.请问：三角形ABC 的面积是多少？
答案：72
【解析】当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比.
考虑平行四边形BEPF 和AIPD ，分别以PE 和PD 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即
205123
BEPF AIPD
S
EP PD S
==
=. 由于IH ∥AC ，所以
5
3
EH EP HC PD ==，转化为面积比，得到： 1155
2236
PEH PGCH S EH S HC =⨯=⨯=
而平行四边形PGCH 的面积是15，则△PEH 的面积是525
1562⨯=．
类似的方法可以求出△FPI 和△DPG 的面积分别是8和9
2
，因此这三个小三
角形的面积分别是92、8、25
2
，
所以大△ABC 的面积就是
925
121520872
22
+++++= .
3．如图10-26所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DC 的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？
答案：1 30
【解析】如下图，延长AF、BC交于点G，在沙漏ADNEG中，AD：EG=2:3，
所以DN：NE=2：3，故DN=2
5 DE．
如下图，延长BF、AD交于景H，在沙漏DHMBE中，DH：BE=2：1，所以DM：
ME=2：1，故ME=1
3 DE.
所以
214
1
5315
NM DE DE
⎛⎫
=--=
⎪
⎝⎭
，
故
4414111
151******** MFN DFE DCE
S S S
==⨯⨯=⨯⨯=.
4．如图10-27，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．
答案：
17
【解析】给中间三角形的3个顶点标上字母，如图1所示．
由于D 、E 、F 分别是3条边上的三等分点，而△ABC 的面积为1，所以
△ABE 、△BCF 、△CAD 的面积都是1
3
，这3个三角形的面积之和就等于大△
ABC 的面积．它们的重叠部分是3个小三角形：△AME 、△BNF 、△CPD.因此阴影△MNP 的面积就等于这3个小三角形的面积之和.
假设S △CPD =“1”，由于D 是BC 上的三等分点，可知S △BPD =“2”（如图2所示）．
由燕尾模型可得
2APC BPC
S
AF
S
FB =
=，所以S △APC =“6”；而2APB APC
S BD
S
DC
=
=，所以S △ABP =“12”（如图3所示）．
因此整个△ABC 的面积是“12”+“6”+“2”+“1”=“21”，则“1”=1
21
，即S △PCD =
1
21
． 类似地，小△BNF 和小△AME 的面积都是
121，那么阴影部分的面积就是121
×3=17.
5．如图10-28，小高测出家里瓷砖的长为21厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4
厘米，
那么中间菱形的面积是多少平方厘
米？
答案：64平方厘米
【解析】利用平行线中的线段比例关系来计算，把瓷砖右下角的直角三角形标上字母（如图所示），同时过B作BC⊥AG于C，DE⊥FG于E．
由于BC与FG平行，所以
21
147
BC AC
FG AG
===，因此
11
71
77
BC FG
=⨯=⨯=．
由于DE与AG平行，所以
2
7
DE FE
AG FG
==，因此
22
144
77
DE AG
=⨯=⨯=．
由此可得菱形的两条对角线分别为：24-4×2=16厘米，10-1×2=8厘米.
那么菱形的面积就是16×8÷2=64平方厘米．
6．如图10-29，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE
平行于BD，∠DCB=45°，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，
那么三角形AED的面积是多少？
答案：30
【解析】已知的△CDE的底边是ED，高是CG;所求的△AED的底边是ED，高是AD;它们有公共的底边ED.另一个已知的三角形是△ABD，如果能找到一个以ED为底边的三角形，它的面积等于△ABD的面积，那么底边ED就成了这三个三角形的公共底边．
如图1，连结BE.由于AE∥BD，把AABD作等积变换，变成△BDE，此时△BDE 以DE为底边以BG为高，且面积是75.这样一来，这3个三角形有相同的底边DE.于是来看看它们的高BG、CG、AD之间有什么关系．
由于四边形ABCD是等腰梯形，如图2所示，再作分别从A、D出发与BC垂直的垂线AH、DG.
容易看出，BH=GC ，AD=HG ，因此BG=BH+HG=GC +AD.
在等式两边同时乘以DE ÷2，可得BG ×DE ÷2=(GC+AD)×DE ÷2． 用乘法分配律得BG ×DE ÷2=CC ×DE ÷2+AD ×DE ÷2．
而S △BDE =BG ×DE ÷2，S △DEC =CG ×DE ÷2，S △AED =AD ×DE ÷2，因此所求的三角形的面积就是75-45=30．
7．在长方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，将长方形的四个角分别沿着HE 、EF 、FG 、GH 对折后，A 点与B 点重合，C 点与D 点重合，已知EH=3，EF=4，求线段AD 与AB 的长度比．
答案：25：24
【解析】如图，由于对折后A 、B 两点要重合，所以E 点一定是AB 的中点，且AH 和BF 折过去后都在HF 这条线上．同理，G 点一定是CD 的中点．
容易得到∠HEF 是直角，由于EH=3，EF=4，所以HF=5．根据已有的条件可以画出确定的部分，接着AH 和BF 都要适当地延长形成长方形ABCD ，并且满足G 是CD 的中点，∠HGF 是直角．
试画一下后会发现：①若延长出去的不够多，则∠HGF 是钝角；②若延长出去的多，则∠HGF 是锐角；③只有刚好的一个位置使得∠HGF 是直角，并且会发
现此时HD=BF ，AH=FC ，所以AD=AH+BF=HF=5, AB=2AE=2×34
5
⨯=4.8．（其中AE=EB=
△EFH 斜边上的高）．所以AD ：AB=25：24．
8．如图10-30在长方形ABCD 中，AE:ED=AF:AB=BG:GC.已知△EFC 的面积为20，△FGD 的面积为16，那么长方形ABCD 的面积是多少？
答案：52
【解析】设AF 为a 、AB 为b ，AE 为a 、ED 为b ，BG 为a 、GC 为b （这里可能有人会疑惑AF 和AE 并不相等为什么都设为a ，因为这里一个是“a ”，一个是‘a ’；或者认为一个是a ，一个是ax ；但由于运算的过程当中，每个图形的面积都会涉及到长、宽两边的线段的乘积，所以最后产生的影响都会消掉，放心不会出错），那么可以列出2个等式：
()()()()()()22211120222
11116222
b a b a b b a a b b a b a a b b b a a ⎧
+----+=⎪⎪⎨
⎪+-+---=⎪⎩
化简得：
220 32
ab b =
⎧
⎨
=
⎩
所以长方形ABCD的面积b（a+6）ab+b2=20+32=52．。