高中数学 选修1-2 1.线性回归模型

1.线性回归模型

教学目标 班级_____姓名________

1.了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

2.掌握建立线性回归模型的方法.

3.理解线性回归模型与函数模型的差异.

教学过程

一、回归分析的方法.

1.变量与变量的关系：（1）函数关系：一种确定关系；（2）相关关系：一种非确定关系.

2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.

3.回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）画散点图；（4）求回归直线方程；（5）预测结果；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2

R ，刻画拟合效果.

二、例题分析.

例1：研究某大学女大学生身高与体重的关系. （例见教科书2P ）

1.确定研究对象：某大学女大学生身高与体重的关系.

2.采集数据： （表见教科书2P ）

3.画散点图：（以身高为自变量x ，体重为因变量y ） （图见教科书2P ） 样本点呈带状分布，说明身高和体重有较好的线性相关关系.

4.求回归直线方程：（1）求身高平均值2

5.165=x 、体重平均值5.54=y ，),(y x 称为样本点的中心，回归直线必过该点. （2）求回归直线a x b y

ˆˆˆ+=的参数b ˆ、a ˆ；解得 849.0)(...)()())((...))(())(()())((ˆ2822218822112

11=-++-+---++--+--=-∑--∑===x x x x x x y y x x y y x x y y x x x x y y x x b i n i i i n

i 712.85ˆˆ-=-=x b y a

， （3）得回归直线方程712.85849.0ˆ-=x y . 5.预测结果：将身高x 代入回归直线a x b y

ˆˆˆ+=，可预测体重. 身高为172cm 的女大学生，体重为316.60712.85172849.0ˆ=-⨯=y

. 6.建立线性回归模型，求残差，画残差图：

（1）身高与体重不是确定关系；

（2）函数是一种确定关系；

（3）不能用函数来描述身高与体重的关系；

（4）建立线性回归模型e a x b y ++=ˆˆ.（e 称为随机误差）；

（5）表示体重真实值与预测值之间的误差（真实值：真实体重，如表格中样本点的体重数据；预测值：根据身高用回归直线求出的体重数值）；

（6）y 是由x 和e 共同确定，x 只能解释部分y 的变化.x 称为解释变量，y 称为预报变量.

（7）由e a x b y ++=ˆˆ（表示真实值），a x b y ˆˆˆ+=（表示预测值）可得a x b y y

y e ˆˆˆ--=-=；（8）对于每个样本点),(11y x ，都有a x b y e i

i i ˆˆˆ--=； （9）i e

ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差； （10）残差图：（纵坐标为残差，横坐标可选为样本编号或身高数据等）（图见教科书5P ）；

（11）残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型精度越高，预报越准；残差较大，可能是数据采集有错误，或其他原因造成.

7.求2

R ，刻画拟合效果： （1）2121

2)()ˆ(1y y y

y R i n i i i n i -∑-∑-===（2

1)ˆ(i i n i y y -∑=表示残差平方和，i y 表示样本真实值，i y ˆ表示样本预测值，y 表示样本平均值）

（2）2R 表示x 对于y 变化的贡献率；2

R 越接近1，表示回归效果越好；

（3）2R 是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应尽量选择2R 大的回归模型. （4）可得64.0)(...)()()ˆ(...)ˆ()ˆ()()ˆ(128222128822221128

128

12≈-++-+--++-+-=-∑-∑-===y y y y y y y y y y y y y y y y R i i i i i ， 表明“女大学生的体重差异有0064是由身高引起的”.

作业：某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：

（1）作出散点图；（2）求出回归方程；（3）作出残差图；（4）计算相关指数2R ；

（5）试预测该运动员训练47次及55次的成绩.