2011年广东省中考数学试卷(含答案)

2011年广东省初中毕业生学业考试
数学
说明：1.全卷共4页，满分为120分，考试用时为100分钟.
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号.用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑.
3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上.
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答 的答案无效.
5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. －2的倒数是 ( )
A. 2
B. －2
C. 12
D. －1
2
2. 据中新社北京2010年12月8日电，2010年中国粮食总产量达到546400000吨．用科学记数法表示
为 ( )
A. 5.464×107吨
B. 5.464×108吨
C. 5.464×109吨
D. 5.464×1010吨
3. 将图中的箭头缩小到原来的1
2
，得到的图形是 ( )
4. 在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 ( )
A. 15
B. 13
C. 58
D. 38
5. 正八边形的每个内角为 ( ) A. 120° B. 135° C. 140° D. 144°
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
6. 已知反比例函数y ＝k
x 的图象经过(1，－2)，则k ＝ ．
7. 使x －2在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ． 8. 按下面程序计算：输入x ＝3，则输出的答案是__12__．
第9题图
9. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接B C.若∠A ＝40°，则∠C ＝ ． 10. 如图①，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1，取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图②中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图③中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A n F n B n D n C n E n 的面积为 ．
第10题图
三、解答题(一)(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 11. 计算：(2011－1)0＋18sin 45°－22.
12. 解不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋1>－3
8－2x ≤x －1，并把解集在数轴上表示出来．
13. 已知，如图，E 、F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B. 求证：AE ＝CF .
第13题图
14. 如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－4，0)，⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1.
(1)画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；
(2)设⊙P 1与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB ︵
和弦AB 围成的图形的面积(结果保
留π)．
第14题图
15. 已知抛物线y ＝1
2
x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．
(1)求c 的取值范围；
(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．
四、解答题(二)(本大题共4小题，每小题7分，共28分)
16. 某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，购买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？
17. 如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l .AB 是A 到l 的小路，现新修一条路AC 到公路l ，小明测量出∠ACD ＝30°，∠ABD ＝45°，BC ＝50 m ．请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．
第17题图
18. 李老师为了解班里学生的作息时间，调查了班上50名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花时间都少于50分钟，然后将调查数据整理，作出如下频数分布直方图的一部分(每组数据含最小值不含最大值)．请根据该频数分布直方图，回答下列问题：
(1)此次调查的总体是什么？ (2)补全频数分布直方图；
(3)该班学生上学路上花费时间在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的百分比是多少？
第18题图
19. 如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°.折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.
(1)求∠BDF的度数；
(2)求AB的长．
第19题图
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
20. 如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
(1)表中第8行的最后一个数是,它是自然数的平方，第8行共有个数；
(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；
(3)求第n行各数之和．
21. 如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF ＝90°.固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图②.
(1)问：始终与△AGC相似的三角形有及；
(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图②的情形说明理由)；
(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
第21题图
22. 如图，抛物线y ＝－54x 2＋17
4x ＋1与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B
作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0)．
(1)求直线AB 的函数关系式；
(2)动点P 在线段OC 上从原点O 出发以每秒一个单位的速度向点C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P 与点O 、点C 重合的情况)，连接CM 、BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否为菱形？请说明理由．
第22题图
2011年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
1. D
2. B
3. A
4. C
5. B
6. －2
7. x ≥2
8. 12
9. 25° 10. 14n
11.
解：原式＝1＋32×
2
2
－4(3分) ＝1＋3－4＝0.(6分) 12.
解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞－38－2x ≤x －1，移项可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞－49≤3x ，(2分)
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞－2x ≥3，
∴不等式组的解集为x ≥3.(4分) 用数轴表示如下：
第12题解图
13.
证明：∵AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠C.
在△ADF 与△CBE 中 ⎩⎪⎨⎪
⎧∠D ＝∠B AD ＝CB ∠A ＝∠C
，(3分) ∴△ADF ≌△CBE (ASA )， ∴AF ＝CE ，(5分)
∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF .(6分)
14.
解：(1)如解图所示，∵⊙P 的圆心坐标为(－4，0)，
∴将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1，P 1的坐标为(0，0)，即与原点重合，(2分) ∴PP 1＝4，即PP 1等于⊙P 与⊙P 1半径之和，所以⊙P 与⊙P 1的位置关系为外切．(3分)
(2)由(1)得点A 、B 的坐标分别为(2，0)、(0，2)， 则可知∠AOB ＝90°，∴劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积等于 S 扇形BOA －S Rt △BOA ＝90πr 2360－12OA ·OB ＝90π×22360－12
×2×2＝π－2.(6分)
第14题解图
15.
解：(1)∵抛物线y ＝1
2x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点 ，
∴方程1
2
x 2＋x ＋c ＝0无解，(2分)
即Δ＝b 2－4ac ＝1－2c ＜0，解得c ＞1
2.(3分)
(2)∵c ＞1
2＞0，也就是一次函数k ＞0，b ＝1＞0，
∴直线y ＝cx ＋1经过一、二、三象限．(6分) 16.
解：设该品牌饮料一箱有x 瓶，依题意，得26x －26x ＋3
＝0.6.（4分）化简，得x 2＋3x －130＝0，
解得x 1＝－13（不合题意，舍去），x 2＝10，（6分）经检验：x ＝10符合题意.
答：该品牌饮料一箱有10瓶.（7分）易错分析解分式方程时不要忘记检验. 17. 解：设AD ＝x ，
∵tan ∠ABD ＝AD BD ，tan ∠ACD ＝AD
CD ，(2分)
∴BD ＝AD tan ∠ABD ＝AD tan 45°＝AD
1＝x ，(4分)
CD ＝AD tan ∠ACD ＝AD tan 30°＝AD
3
3＝3x ，(5分)
∴BC ＝CD －BD ＝3x －x ＝50，(6分)
∴x ＝50
3－1＝25×(3＋1)≈68.3(m )．(7分)
答：小明家到公路l 的距离AD 的长度约为68.3 m .
18.
解：(1)此次调查的总体是班里学生的上学路上花费的时间．(2分) (2)如解图：
第18题解图
(3)路上时间花费在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的百分比是4＋1
50×100%＝10%.(7分)
19.
第19题解图
解：(1)∵BF ＝CF ， ∴∠1＝∠C ＝30°.(2分) 又∵∠2＝∠1＝∠C ＝30°，(4分) ∴∠BDF ＝180°－3×30°＝90°.
(2)由(1)知在Rt △BDF 中，∠2＝30°， ∴BD ＝BF ·cos ∠2，∴BD ＝4 3.(5分) ∵AD ∥BC ， ∴∠ABC ＝90°.
在Rt △BAD 中，∠3＝90°－∠1－∠2＝30°， ∴AB ＝BD ·cos ∠3＝6.(7分) 20.
解：(1)64；8；15.(3分)
(2)n 2－2n ＋2；n 2；2n －1.(3分)
(3)n 2－2n ＋2＋n 22×(2n －1)＝(n 2－n ＋1)(2n －1)．(9分)
21.
第21题解图
解：(1)始终与△AGC 相似的三角形有：△HAB 和△HG A.(3分) (2)由(1)知△AGC ∽△HAB ， ∴
CG AB ＝AC HB ，即x 9＝9y
， ∴y ＝81
x
(0<x <92)．(5分)
(3)由(1)知△AGC ∽△HGA ，
∴要使得△AGH 是等腰三角形，只要△AGC 是等腰三角形即可．(6分)
22.
解：(1)设直线AB 的函数关系式为y ＝ax ＋b ， 对于抛物线y ＝－54x 2＋17
4
x ＋1，
令x ＝0，得y ＝1，即有A (0，1)，将A 代入直线AB 的关系式得b ＝1； 令x ＝3，得y ＝52，即有B (3，52)，将B 代入直线AB 的关系式得a ＝1
2；
∴直线AB 的函数关系式为y ＝1
2x ＋1.(2分)
(2)显然OP ＝t ，即P (t ，0)．
将x ＝t 代入抛物线可得y ＝－54t 2＋17
4t ＋1，
即N (t ，－54t 2＋17
4
t ＋1)．
将x ＝t 代入直线AB 的关系式可以得到y ＝1
2t ＋1，
即M (t ，1
2
t ＋1)．(4分)
∴s ＝MN ＝－54t 2＋174t ＋1－1
2t －1，
∴s ＝－54t 2＋15
4
t (0≤t ≤3)．(5分)
(3)显然NM ∥BC ，
∴要使得四边形BCMN 为平行四边形，只要MN ＝BC ，
即s ＝－54t 2＋154t ＝5
2，
解得t ＝1或t ＝2.(6分)
①当t ＝1时，M (1，32)，∴MP ＝3
2，CP ＝2.
在Rt △MPC 中，CM ＝MP 2＋CP 2＝5
2＝BC ，
∴四边形BCMN 为菱形．(7分)
②当t ＝2时，M (2，2)，∴MP ＝2，CP ＝1. 在Rt △MPC 中，CM ＝MP 2＋CP 2＝5≠B C. ∴四边形BCMN 不是菱形．(9分)。