直线与圆的方程典型例题

∴所求圆的方程为 (x 1)2 ( y 3)2 5 或 ( x 5) 2 ( y 15)2 125．
说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到 圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2； (2) 被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3 :1 ，在满足条件
例 2 求半径为 4，与圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 相切，且和直线 y 0相切的圆的方程．
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分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解： 则题意，设所求圆的方程为圆 C：( x a) 2 ( y b) 2 r 2 ． 圆 C 与直线 y 0相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C1( a , 4) 或 C2( a , 4) ． 又已知圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ，半径为 3．
又∵圆过点 A(0 , 5) ，
∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上．
设圆心 C (t , 3t )
∵ C 到直线 2x y 0 的距离等于 AC ，
2t 3t
∴
5
t 2 (3t 5) 2 ．
化简整理得 t 2 6t 5 0 ． 解得： t 1或 t 5 ∴圆心是 (1 , 3) ，半径为 5 或圆心是 (5 ,15) ，半径为 5 5 ．
a 2b d
5
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∴ 5d 2
2
a 2b
a 2 4b 2 4ab a 2 4b2 2(a2 b2)
2b2 a2 1
当且仅当 a b 时取“ =”号，此时 d min ab
这时有
2b2 a2 1
5
．
5
a1 a 1
∴
或
b1 b 1
又 r 2 2b2 2
故所求圆的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 2 或 ( x 1)2 ( y 1)2 2
y 3 x 2即 x y 1 0．
又知圆心在直线 y 0 上，故圆心坐标为 C ( 1 , 0)
∴半径 r AC
(1 1)2 4 2
20 ．
故所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ．
又点 P (2 , 4) 到圆心 C ( 1 , 0) 的距离为
d PC
(2 1)2 4 2
∴点 P 在圆外．
25 r ．
解法一： 设圆心为 P (a , b) ，半径为 r ．
则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a ．
由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x 轴所得弦长为 2r ．
∴ r 2 2b2 又圆截 y 轴所得弦长为 2． ∴ r 2 a2 1．
又∵ P (a , b) 到直线 x 2y 0 的距离为
∵圆心 (1,0) 到切线 l 的距离等于半径 2 ，
| k 3k 1|
3
∴
2 ，解得 k
，
k2
2
1
4
∴切线方程为 y 1
3 (x 3) ，即 3x 4 y 13 0 ，
4
当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为 x 3 ，圆心 (1,0) 到此直线的距离等于半径 2 ，
故直线 x 3 也适合题意。
解法二： 同解法一，得
a 2b
d
．
5
∴ a 2b 5d ．
∴ a2 4b2 4 5bd 5d 2 ． 将 a 2 2b 2 1 代入上式得：
2b2 4 5bd 5d 2 1 0 ．
上述方程有实根，故
8(5d2 1) 0 ，
∴d
5
．
5
将d
5
代入方程得
b
1．
5
又 2b2 a2 1
∴ a 1．
由 a 2b 1知 a 、 b 同号．
2
2k 1 k2 1
10 ，解得 k 2
3或 k
1
，∴直线方程为
y
3
3x 或
y 1 x. 3
3、已知直线 5x 12 y a 0与圆 x 2 2x y 2 0 相切，则 a 的值为
.
解：∵圆 ( x 1) 2 y 2 1的圆心为（ 1， 0），半径为 1，∴ 5 a
1，解得 a 8 或 a 18 .
得的劣弧所对的圆心角为
AOB . 3
例 10、求两圆 x2 y 2 x y 2 0 和 x2 y2 5 的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
例 11、已知直线 3x y 2 3 0 和圆 x2 y2 4 ，判断此直线与已知圆的位置关系 .
例 12、若直线 y x m 与曲线 y 4 x2 有且只有一个公共点，求实数 m 的取值范围 . 解：∵曲线 y 4 x 2 表示半圆 x2 y 2 4( y 0) ，∴利用数形结合法，可得实数 m 的取值范
( x a) 2 ( y 4)2 42 ．又圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 ，即 (x 2)2 ( y 1)2 32 ，其圆心为 A( 2 , 1) ，半径为 3．若两圆相切， 则 CA 4 3 ．故 (a 2) 2 (4 1) 2 72 ，解之得 a 2 2 10 ．所
以欲求圆的方程为 ( x 2 2 10 )2 ( y 4)2 42，或 (x 2 2 10 )2 ( y 4)2 42 ．
圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解： ∵圆和直线 x 2y 0 与 2x y 0 相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0 和 2x y 0 的距离相等．
x 2y x 2y
∴
．
5
5
∴两直线交角的平分线方程是
x 3y 0 或 3x y 0 ．
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解之得： a 1 ， r 2 20．
所以所求圆的方程为 ( x 1)2 y2 20 ．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点，所以圆心
C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为
k AB 4 2 13
1，故 l 的斜率为 1，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为：
上述误解只考虑了圆心在直线 y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y 0 下方的情形．另外，误
解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
例 3 求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x 2y 0 和 2x y 0 都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程． 需确定圆心坐标与半径， 由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标． 又
解： ∵点 P 2，4 不在圆 O 上，
∴切线 PT 的直线方程可设为 y k x 2 4
根据 d r
∴
解得 所以 即
2k 4 2
1 k2
3 k
4
y
3 x
2
4
4
3x 4 y 10 0
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为
x 2．
说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
所以，所求的直线 l 的方程是 3x 4 y 13 0 或 x 3．
2、过坐标原点且与圆 x 2 y 2 4x 2 y 5 0 相切的直线的方程为 2
解：设直线方程为 y kx ，即 kx y 0 .∵圆方程可化为 ( x 2) 2 ( y 1) 2
5
，∴圆心为（ 2，
2
-1 ），半径为
10
.依题意有
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于
0 解决（也要注意漏
解）．还可以运用 x0x y0 y r 2 ，求出切点坐标 x0 、 y0 的值来解决，此时没有漏解．
例 6 两圆 C1：x2 y2 D1x E1y F1 0 与 C2：x2 y2 D2 x E2 y F2 0 相交于 A 、 B 两
若两圆相切，则 CA 4 3 7 或 CA 4 3 1． (1) 当 C1(a , 4) 时 ， (a 2)2 (4 1) 2 72 ， 或 (a 2)2 (4 1) 2 12 ( 无 解 ) ， 故 可 得 a 2 2 10 ． ∴所求圆方程为 ( x 2 2 10 )2 ( y 4)2 42 ，或 (x 2 2 10)2 ( y 4) 2 42 ． (2) 当 C2( a , 4) 时 ， (a 2)2 ( 4 1)2 72 ， 或 (a 2) 2 ( 4 1) 2 12 ( 无 解 ) ， 故
则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为 (x a)2 ( y b) 2 r 2 ．
∵圆心在 y 0上，故 b 0 ．
∴圆的方程为 ( x a)2 y 2 r 2 ．
又∵该圆过 A(1, 4) 、 B (3 , 2) 两点．
(1 a) 2 16 r 2
∴
(3 a) 2 4 r 2
类型一：圆的方程
高中数学圆的方程典型例题
例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关
系．
分析： 欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点 P 与圆的位置关系， 只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径， 则点在圆外； 若距离等于半径，
①Leabharlann x0 2 y0 2 D2 x0 E2 y0 F2 0
②
①－②得： ( D1 D2 )x0 (E1 E2 ) y0 F1 F2 0 ．
∵ A 、 B 的坐标满足方程 (D1 D2) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 ．
∴方程 ( D1 D2 )x (E1 E2) y F1 F2 0 是过 A 、 B 两点的直线方程． 又过 A 、 B 两点的直线是唯一的． ∴两圆 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直线的方程为 ( D1 D2 )x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 ．
围是 2 m 2 或 m 2 2 . 例 13 圆 (x 3)2 ( y 3)2 9 上到直线 3x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？
例 7、过圆 x2 y2 1外一点 M (2,3) ，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分别是 A 、 B ，求 直线 AB 的方程。
练习：
1．求过点 M (3,1) ，且与圆 ( x 1)2 y2 4 相切的直线 l 的方程 ． 解：设切线方程为 y 1 k (x 3) ，即 kx y 3k 1 0 ，
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故所求圆的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 2 或 ( x 1)2 ( y 1)2 2 ．
说明： 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例 5 已知圆 O：x2 y2 4 ，求过点 P 2，4 与圆 O 相切的切线．
a 2 2 6． ∴所求圆的方程为 (x 2 2 6 ) 2 ( y 4) 2 42 ，或 ( x 2 2 6) 2 ( y 4) 2 42 ．
说明： 对本题，易发生以下误解：
由 题 意 ， 所 求 圆 与 直 线 y 0 相 切 且 半 径 为 4 ， 则 圆 心 坐 标 为 C( a , 4) ， 且 方 程 形 如
(1)(2) 的所有圆中，求圆心到直线 l： x 2 y 0 的距离最小的圆的方程．
分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个 条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线 的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方 程．
点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程． 分析： 首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线
太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程
解： 设两圆 C1 、 C2 的任一交点坐标为 (x0 , y0 ) ，则有：
2
2
x0 y0 D1 x0 E1 y0 F1 0
52 12 2
类型三：弦长、弧问题
例 8、求直线 l : 3x y 6 0 被圆 C : x 2 y2 2x 4 y 0截得的弦 AB 的长 .
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例 9、直线 3x y 2 3 0 截圆 x 2 y 2 4 得的劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距 d
3 ，故弦长 AB 2 r 2 d 2 2 ，从而△ OAB 是等边三角形，故截
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说明： 上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去
求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧， 从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本 质认识．它的应用很广泛．