人教版初中数学八年级上册期末测试题(2019-2020学年山东省临沂市河东区

2019-2020学年山东省临沂市河东区
八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共14小题）
1．（3分）下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≠0
3．（3分）下列计算，正确的是（）
A．a2•a2＝2a2B．a2+a2＝a4
C．（﹣a2）2＝a4D．（a+1）2＝a2+1
4．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
5．（3分）如图，AB平分∠DAC，要用SAS条件确定△ABC≌△ABD，还需要有条件（）
A．DB＝CB B．AB＝AB C．AD＝AC D．∠D＝∠C 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则
∠CBD的度数为（）
A．30°B．45°C．50°D．75°
7．（3分）多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（）
A．4ab2B．4abc C．2ab2D．4ab
8．（3分）化简的结果是（）
A．x﹣2B．C．D．x+2
9．（3分）若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a＝（）
A．20B．﹣20C．±20D．±10
10．（3分）小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．A和B重合D．以上都不对
11．（3分）如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）
A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
12．（3分）某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x
元，则所列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
13．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）
A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
14．（3分）如图，已知点A（2，3）和点B（4，1），在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（）
A．（1，0）或（0，﹣1）B．（﹣1，0）或（0，1）
C．（0，3）或（4，0）D．（2，0）或（0，1）
二．填空题（共5小题）
15．（3分）计算：（）﹣1+（1﹣）0＝．
16．（3分）分式的计算结果是．
17．（3分）小刚在解分式方程﹣2＝时，处被污染看不清，小明告诉他这里是一个与x无关
的常数，且这道题的正确答案是：此方程无解，请你帮小刚猜测一下处的数应是．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP的周长最小值为cm．
19．（3分）如图，点B是线段AC的中点，过点C的射线CE与AC成60°的角，点P为射线CE上一动点，给出以下四个结论：
①当AP⊥CE，垂足为P时，∠APB＝30°；
②当CP＝AC时，∠APB＝30°；
③在射线CE上，使△APC为直角三角形的点P只有1个；
④在射线CE上，使△APC为等腰三角形的点P只有1个；
其中正确结论的序号是．
三．计算题（共3小题）
20．计算：
（1）a（a+b）﹣b（a﹣b）；
（2）（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
21．分解因式：（1）9ax2﹣ay2；
（2）2x3y+4x2y2+2xy3．
22．先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．
三．解答题（共4小题）
23．如图．
（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使P A+PB最短．（只需作图保留作图痕迹）
24．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP ＝CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
25．列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
26．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数
量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
2019-2020学年山东省临沂市河东区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（3分）下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．【解答】解：A、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、有6条对称轴，故本选项不符合题意；
C、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
D、有2条对称轴，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≠0
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
3．（3分）下列计算，正确的是（）
A．a2•a2＝2a2B．a2+a2＝a4
C．（﹣a2）2＝a4D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据同底数幂相乘判断A，根据合并同类项法则判断B，根据积的乘方与幂的乘
方判断C，根据完全平方公式判断D．
【解答】解：A、a2•a2＝a4，故此选项错误；
B、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
C、（﹣a2）2＝a4，故此选项正确；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的运算、合并同类项法则及完全平方公式，熟练掌握其法则是解题的关键．
4．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
5．（3分）如图，AB平分∠DAC，要用SAS条件确定△ABC≌△ABD，还需要有条件（）
A．DB＝CB B．AB＝AB C．AD＝AC D．∠D＝∠C
【分析】根据角平分线得出∠CAB＝∠DAB，隐含条件AB＝AB，根据全等三角形的判定
定理判断即可．
【解答】解：∵AB平分∠DAC，
∴∠CAB＝∠DAB，
A、根据DB＝CB，BA＝BA，∠CAB＝∠DAB不能推出两三角形全等，故本选项错误；
B、根据BA＝BA，∠CAB＝∠DAB不能推出两三角形全等，故本选项错误；
C、∵在△CAB和△DAB中
，
∴△CAB≌△DAB（SAS），故本选项正确；
D、根据BA＝BA，∠CAB＝∠DAB，∠D＝∠C，根据AAS可证△CAB≌△DAB，根据本
选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）
A．30°B．45°C．50°D．75°
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A ＝∠ABD＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC＝60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
7．（3分）多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（）
A．4ab2B．4abc C．2ab2D．4ab
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2），
4ab是公因式，
故选：D．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
8．（3分）化简的结果是（）
A．x﹣2B．C．D．x+2
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝x+2．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a＝（）
A．20B．﹣20C．±20D．±10
【分析】根据这里首末两项是2x和5y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和5y乘积的2倍，即可得出a的值．
【解答】解：∵4x2+axy+25y2是一个完全平方式，
∴（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，
∴a＝±20，
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
10．（3分）小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．A和B重合D．以上都不对
【分析】根据题意表示出A、B的正确坐标，再根据坐标的关系确定A，B两点原来的位置关系．
【解答】解：∵小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），
∴A点的正确坐标为（b，a），
∵另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a），
∴B点的正确坐标为（b，﹣a），
∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是掌握：
关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
11．（3分）如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）
A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），
故正方形的面积为（a+b）2，
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．
12．（3分）某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x 元，则所列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】设第一批衬衫购进单价为x元，则购进第二批这种衬衫是（x+4）元，根据第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可．
【解答】解：设第一批衬衫购进单价为x元，则购进第二批这种衬衫是（x+4）元，依题意有：2×＝．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
13．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）
A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC＝∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE＝CE，从而得解．
【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC＝∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAB′，
∴AE＝CE，
所以，结论正确的是D选项．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14．（3分）如图，已知点A（2，3）和点B（4，1），在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（）
A．（1，0）或（0，﹣1）B．（﹣1，0）或（0，1）
C．（0，3）或（4，0）D．（2，0）或（0，1）
【分析】利用两点间的距离公式可得结果．
【解答】解：设在x轴有一点P（x，0），则有（x﹣2）2+32＝（x﹣4）2+1，
解得，x＝1，
∴P（1，0）；
设在y轴有一点P（0，y），
则有22+（y﹣3）2＝42+（y﹣1）2
解得，y＝﹣1，
∴P（0，﹣1）
故选：A．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式，熟记公式和坐标轴上点的特点是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
15．（3分）计算：（）﹣1+（1﹣）0＝3．
【分析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．【解答】解：原式＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p 为正整数）；零指数幂：a0＝1（a≠0）．
16．（3分）分式的计算结果是．
【分析】先通分，再把分子相加减即可．
【解答】解：原式＝+
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的加减法，在解答此类问题时要注意通分及约分的灵活应用．17．（3分）小刚在解分式方程﹣2＝时，处被污染看不清，小明告诉他这里是一个与x无关
的常数，且这道题的正确答案是：此方程无解，请你帮小刚猜测一下处的数应是1．
【分析】先设＝y，得出﹣2＝，再去分母x﹣2﹣2（x﹣3）＝y，最后根据此方程无解时x＝3，再代入计算即可．
【解答】解：设＝y，则原方程可变形为：﹣2＝，
去分母得：x﹣2﹣2（x﹣3）＝y，
∵此方程无解，
∴x＝3，
∴3﹣2﹣2×（3﹣3）＝y，
∴y＝1；
∴处的数应是1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式方程的解，关键是求出分式方程无解时x的值，用到的知识点是解分式方程的步骤，是一道基础题．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP的周长最小值为12cm．
【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．【解答】解：
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4cm，
∴AB＝2AC＝8cm，
∵AP+CP＝AP+BP＝AB＝8cm，
∴△ACP的周长最小值＝AC+AB＝12cm，
故答案为：12．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
19．（3分）如图，点B是线段AC的中点，过点C的射线CE与AC成60°的角，点P为射线CE上一动点，给出以下四个结论：
①当AP⊥CE，垂足为P时，∠APB＝30°；
②当CP＝AC时，∠APB＝30°；
③在射线CE上，使△APC为直角三角形的点P只有1个；
④在射线CE上，使△APC为等腰三角形的点P只有1个；
其中正确结论的序号是①②④．
【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质判断．
【解答】解：∵当AP⊥CE，∠C＝60°，
∴∠P AC＝30°，
∵B是线段AC的中点，
∴AB＝PB，
∴∠APB＝∠P AC＝30°，故①正确；
当CP＝AC时，∠C＝60°，
∴三角形APC为等边三角形，
∵B是线段AC的中点，
∴∠APB＝∠CPB＝30°，故②正确；
在射线CE上，使△APC为直角三角形的点P有2个，一个是∠APC＝90°，另一个是∠P AC＝90°时；故③错误；
在射线CE上，使△APC为等腰三角形的点P有1个，使AC＝PC＝AP，故④正确；
故答案为①②④．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握它们的性质．
三．计算题（共3小题）
20．计算：
（1）a（a+b）﹣b（a﹣b）；
（2）（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
【分析】（1）首先计算乘法，然后再合并同类项即可；
（2）先算完全平方和乘法，再去括号合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝a2+ab﹣ab+b2＝a2+b2；
（2）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2，
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2，
＝﹣4xy+3y2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算法则和计算顺序．
21．分解因式：（1）9ax2﹣ay2；
（2）2x3y+4x2y2+2xy3．
【分析】根据因式分解点的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a（9x2﹣y2）
＝a（3x+y）（3x﹣y）
（2）原式＝2xy（x2+2xy+y2）
＝2xy（x+y）2
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．
22．先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．三．解答题（共4小题）
23．如图．
（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使P A+PB最短．（只需作图保留作图痕迹）
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）根据对称的性质写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
（2）作出点C关于y轴的对称点，然后连接AC1，与y轴的交点即为点P．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）；
（3）连结AB1或BA1交y轴于点P，则点P即为所求．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称图形的作法及性质是解答此题的关键．
24．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP ＝CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ；
（2）根据全等三角形的性质得到AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，
∵∠BAP+∠CAP＝60°，
∴∠P AQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键．
25．列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
【分析】设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程+＝120，然后解分式方程即可．【解答】解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，
根据题意得+＝120，
解得x＝2400，
经检验x＝2400是原方程的解，
当x＝2400时，1.5x＝3600．
答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
26．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD+∠BDE＝90°推出∠ADF+∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；
（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE+∠EOC＝90°求出∠BDE+∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可；
（3））①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明△BED≌△AEC即可；
②求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE＝∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．
【解答】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由是：延长BD交AC于F．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）不发生变化．
理由：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，
理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC．
②能．∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（60°+60°）
＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°．
【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．。