函数的基本性质4
函数的基本性质
第四讲 函数的基本性质.函数的单调性概念（1）增函数和减函数的概念如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；3.常见函数的单调性：（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0<k 时，在区间),(+∞-∞上是减函数；（2）反比例函数xky =，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0<k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是增函数（3）二次函数c bx ax y ++=2，当0>a 时，在区间)2,(ab--∞是减函数，在区间),2(+∞-a b 是增函数，当0<a 时，在区间)2,(a b --∞是增函数，在区间),2(+∞-ab是减函数.4.函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法④图像法，利用图像研究函数的单调性.1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。
2.判断函数)0()(>+=p xpx x f 的单调性3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
函数的基本性质有
函数是数学中一种重要的概念，它具有一些重要的性质。
常见的函数性质包括：
1.单调性：函数在定义域内单调递增或递减。
2.可导性：函数在定义域内可导。
3.可积性：函数在定义域内可积。
4.可逆性：函数在定义域内可逆。
5.可微性：函数在定义域内可微。
6.可解析性：函数在定义域内可解析。
7.持久性：函数在定义域内持久，即函数的值在定义域内不会突然变化。
8. 函数的值域：函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。
9. 函数的导函数：函数在定义域内可导，那么它就有导函数，并且导函数是唯一的。
10. 函数的导数：函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。
这些性质对于理解和分析函数具有重要的意义。
不同的函数具有不同的性质，因此在研究和使用函数时需要结合具体情况来考虑这些性质。
函数的基本性质
函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。
2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。
（图像在此区间上是增加的） 自左向右看图像是下降的。
（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。
（数形结合） 解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。
高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。
②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数， 减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。
数学中的函数论
数学中的函数论函数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
函数论作为数学的一个分支，对于函数的定义、性质以及应用进行了深入的研究。
本文将从函数的定义、基本性质、函数的分类以及函数的应用等方面进行探讨。
1. 函数的定义函数可以看作是两个数集之间的一种对应关系。
具体地说，设有两个数集A和B，称为自变量集和函数值集。
如果对于A中的每个元素x，都有确定的B中唯一的元素y与之对应，则称这种对应为函数。
通常用函数的定义域、值域和对应关系来描述一个函数。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。
单调性指函数在定义域上的增减关系，可以分为增函数和减函数。
奇偶性指函数关于原点是否对称，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
周期性指函数在定义域上是否存在一个正数T，使得对于任意x，都有f(x+T)=f(x)成立。
有界性指函数在定义域上是否存在一个有限数M，使得对任意x，都有|f(x)|≤M成立。
3. 函数的分类函数可以根据其性质和形式进行分类。
常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等等。
线性函数是最简单的一种函数形式，表达式为f(x)=kx+b。
二次函数是平方项与一次项组成的函数，表达式为f(x)=ax^2+bx+c。
指数函数和对数函数是互为反函数的一对函数，分别表示为f(x)=a^x和g(x)=log_a(x)。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，反三角函数则是三角函数的反函数。
4. 函数的应用函数在数学中有广泛的应用，包括在代数、几何、微积分和概率统计等领域。
在代数中，函数用于描述数与数之间的关系，解决方程和不等式等问题。
在几何中，函数用于描述曲线的形状、位置和运动轨迹等。
在微积分中，函数用于描述变化率、积分和微分等概念。
在概率统计中，函数用于描述随机变量的分布和概率密度函数等。
总结：函数论作为数学中的一个重要分支，研究了函数的定义、性质和应用。
函数的基本性质教学设计
《函数的基本性质》教学设计（4）一、教学目标设计1.掌握增函数、减函数、单调函数及单调区间的概念；2.学会判断函数的单调性并能加以证明；3.学会“由具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；4.通过形式化的表达，让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。
二、教学重点及难点 1.教学重点掌握函数单调性的概念，能判断一些简单函数的单调性。
2.教学难点判断函数的单调性并求函数的单调区间。
三、教学流程设计四、教学过程设计（一）复习引入1． 复习：我们在初中已经学习了函数图像的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先设置情境导入 引导探索研究归纳总结提炼组织评价回馈布置课外作业 适时练习巩固分别画函数2y x =和3y x =图像. 函数2y x =的图像如图1，函数3y x =的图像如图2.⒉ 引入：（叫学生看图总结）从函数2y x =的图像（图1）看到： 图像在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说， 当在区间[)0+∞，上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取12x x ∈、[)0+∞，，得到()()1122y f x y f x ==，,那么当12x x <时，有12y y <. 这时我们就说函数2y x =在[)0+∞，上是增函数.图像在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间()0-∞，上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取12x x ∈、()0-∞，，得到()()1122y f x y f x ==，那么当12x x <时，有12y y >.这时我们就说函数2y x =在()0-∞，上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. （二）学习、讲解新课 ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数()f x 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值12x x 、. （1）若当12x x <时，都有()()12f x f x <，则说 在这个区间上是增函数（如图3）；（2）若当12x x <时，都有()()12f x f x <，则说 在这个区间上是减函数（如图4）.[说明]：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2y x =（图1），当[)0x ∈+∞，时是增函数，当()0x ∈-∞，时是减函数.⒉ 单调性与单调区间若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的. [说明]：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在12x x 、那样的特定位置上，虽然使得()()12f x f x <，但显然此图像表示的函数不是一个单调函数； ⒊ 例题评价例1： 图6是定义在闭区间[]55-，上的函数()y f x =的图像，根据图像说出()y f x =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数()y f x =是增函数还是减函数.解：函数()y f x =的单调区间有[)52--，，[)21-，，，，其中()y f x =在区间[)52--，，上是减函数，在区间[)21-，，是增函数. [说明]：1）函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.2）要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图像上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.例2： 证明函数()32f x x =+在上是增函数.证明：设12x x 、是上的任意两个实数，且12x x <，则()()()()()12121232323f x f x x x x x -=+-+=-, 由12x x <,得120x x -<,于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x <.()32f x x ∴=+在上是增函数.练习：判断函数()32f x x ∴=-+在上是增函数还是减函数？并证明你的结论. （减函数：证明略）例3：判断函数()1f x x=在区间()0-∞，上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设()120x x ∈-∞、，，且12x x <，()()2112121211x x f x f x x x x x --=-=, 由()120x x ∈-∞、，，得120x x >,又由12x x <,得210x x ->,()()120f x f x ∴->,即 ()()12f x f x ∴>.()1f x x∴=在()0-∞，上是减函数. 能否说函数()1f x x=在()-∞+∞，上是减函数？ 答：不能. 因为属于()1f x x=的定义域.[说明]：通过观察图像，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.（三）课堂小结1.讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;2.根据定义证明函数单调性的一般步骤是：（1）设12x x 、是给定区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差()()12f x f x -，并将此差式变形（要注意变形的程度）； （3）判断()()12f x f x -的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据()()12f x f x -的符号确定其增减性. （四）作业布置。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学及其应用领域具有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质。
一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素。
具体来说，设有两个集合A和B，如果对于集合A中的任意一个元素a，都存在集合B中的唯一一个元素b与之对应，那么我们就称这种关系为函数。
通常用符号f来表示函数，表示为f: A → B，其中A 称为定义域，B称为值域。
例如，设有集合A={1，2，3}和集合B={4，5，6}，我们可以定义一个函数f，将A中的元素映射到B中的元素，即f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数的输入值可以取的全部实数集合，也就是函数的自变量的取值范围。
而函数的值域则是函数的输出值可以取的全部实数集合，即函数的因变量的取值范围。
2. 单射、满射和双射若具有函数f: A → B，对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A中的至多一个元素a与之对应，那么我们称函数f为单射。
若对于集合B中的任意一个元素b，都存在集合A中的至少一个元素a与之对应，那么我们称函数f为满射。
若函数f既是单射又是满射，即对于集合B中的任意一个元素b，存在且仅存在集合A中唯一一个元素a与之对应，那么我们称函数f为双射。
3. 奇偶性若函数f满足f(-x) = -f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为奇函数。
若函数f满足f(-x) = f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为偶函数。
4. 复合函数若有函数g: A → B和函数f: B → C，那么我们可以定义出一个新的函数h: A → C，称为复合函数。
复合函数h的定义为h(x) = f(g(x))，其中x∈A。
5. 反函数若函数f: A → B是一个双射函数，那么存在一个函数g: B → A，使得对于任意的x∈A和y∈B，有f(g(y)) = y和g(f(x)) = x成立。
高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质
高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
小编准备了高一数学人教版必修一第一单元知识点，希望你喜欢。
1．高中数学必修一函数的基本性质——函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零;(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高一数学函数的基本性质4
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
漫地改革出缕缕光雾……紧接着腾赫瓜大副又连续使出四百五十五门八鳄车厢舞，只见他弯曲的脑袋中，威猛地滚出五簇耍舞着『黄影疯魔野象语录』的肥肠状的手掌 ，随着腾赫瓜大副的耍动，肥肠状的手掌像花篮一样念动咒语：“九脚咐啊喝，高粱咐啊喝，九脚高粱咐啊喝……『黄影疯魔野象语录』！仙家！仙家！仙家！”只见 腾赫瓜大副的身影射出一片青远山色奇影，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖叫的亮灰色光猴，似银辉一样直奔青古磁色鬼光而来。，朝着壮扭公主扁圆的如同天边 小丘一样的蒜瓣鼻子横抓过来……紧跟着腾赫瓜大副也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向壮扭公主横抓过来壮扭公主超然秀了一个，颤鸽闹钟滚两千一百六十度外加猴 吼扣肉转十三周半的招数！接着又整出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加乱转三十六周的古朴招式。接着像雪白色的银脸部落鸽一样大嚎了一声，突然使了一套蹲 身闪烁的特技神功，身上顿时生出了七只活似牛头形态的土黄色大腿。紧接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出 紫红色的丝丝惨烟……酷似钢铁般的手臂窜出深黄色的阵阵疑寒！最后抖起异常结实的酷似钢铁般的手臂一闪，酷酷地从里面窜出一道银辉，她抓住银辉痴呆地一耍， 一件光溜溜、森幽幽的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边闪烁，一边发出“喇喇”的奇音！。骤然间壮扭公主旋风般地念起咿咿呀呀的宇宙 语，只见她熏鹅一样的银剑雪峰服中，快速窜出六串摆舞着¤雨光牧童谣→的小星星状的海胆，随着壮扭公主的转动，小星星状的海胆像羊粪一样在身后浪漫地改革出 缕缕光雾……紧接着壮扭公主又连续使出一百五十七招狠驼海马睡，只见她奇如熨斗的手掌中，飘然射出五道甩舞着¤雨光牧童谣→的引擎状的脑袋，随着壮扭公主的 甩动，引擎状的脑袋像航标一样念动咒语：“原野嘤嘱啭，肥妹嘤嘱啭，原野肥妹嘤嘱啭……¤雨光牧童谣→！公主！公主！公主！”只见壮扭公主的身影射出一片亮 白色神光，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的浓黑色光狗，似妖影一样直奔暗白色亮光而去……，朝着腾赫瓜大副肥壮的暗绿色金钵形态的鼻子横抓过去…… 紧跟着壮扭公主也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向腾赫瓜大副横抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了暗橙色、景物 变成了青兰花色、天空变成了亮黄色、四周发出了壮丽的巨响。壮扭公主扁圆的如同天边小丘一样的蒜瓣鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看腾赫瓜大副短小的耳朵 ，此时正惨
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
函数的基本性质（总结版）
函数的基本性质基础知识：1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系；的关系；○3 作出相应结论：作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。
是奇函数。
（3）简单性质：）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
《函数的基本性质》教材分析
《函数的基本性质》教材分析首先，我们来分析该教材的内容特点。
《函数的基本性质》主要涵盖了以下几个方面的内容：1.函数的定义与表示方法：介绍了函数的定义，以及常见的函数表示方法，包括解析表示法、图象表示法和符号表示法等。
通过这一部分的学习，学生可以了解函数的基本概念和表示方法，为后续内容的学习打下基础。
2.函数的性质：介绍了函数的奇偶性、周期性以及单调性等重要性质。
通过学习这些性质，学生可以进一步掌握函数的特点，从而更好地理解和应用函数。
3.基本初等函数：主要包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
该部分内容介绍了这些函数的定义、性质以及图象特点等。
通过学习这些函数，学生可以熟练掌握它们的特点和应用方法。
4.复合函数：介绍了函数的复合运算及其性质。
通过学习这部分内容，学生可以学会如何计算复合函数以及其相关的性质。
5.反函数和反函数的性质：介绍了函数的反函数的概念，以及反函数的性质和图象特点等。
通过学习这部分内容，学生可以更深入地理解函数的性质和特点。
教学目标方面，该教材主要以培养学生的数学思维和解决实际问题的能力为目标，具体包括以下几个方面：1.培养学生的抽象思维能力：函数是数学中的一个重要概念，涉及到抽象思维能力的培养。
通过学习函数的定义、性质和表示方法，可以培养学生的抽象思维能力，提高他们理解和运用抽象概念的能力。
2.培养学生的问题解决能力：函数的概念和性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
通过学习函数的基本性质和应用方法，可以培养学生的问题解决能力，使他们能够运用函数的知识解决实际问题。
3.培养学生的数学建模能力：数学建模是数学学科的一个重要分支，函数在数学建模中具有重要作用。
通过学习函数的表示方法和特点，可以培养学生的数学建模能力，使他们能够将数学知识应用于实际问题的建模过程中。
针对上述教学目标，本教材采用了一系列教学方法，包括讲解、示范、练习和应用等。
通过对函数的定义和性质的讲解，可以使学生掌握函数的基本概念和特点；通过示范和练习，可以帮助学生熟练掌握函数的表示方法和应用方法；通过应用例题的讲解，可以帮助学生将函数的知识应用于实际问题的解决中。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。
3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。
函数的基本性质1-4
函数的基本性质考纲要求：理解函数的单调性、最值及几何意义，结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。
知识梳理：1、单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f(x)在 上是增函数．②若 ，则f(x)在 上是减函数．若函数f(x)在区间D 上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．诊断练习：1.函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( )21.,21.,21.,21.〈--〉〈〉k D k C k B k A2.下列函数是否具有奇偶性.(1) ; (2) ;(3) ; (4) .3.已知函数f(x)在R 上是奇函数，f(0)= ，若在 (0，＋∞)上是增函数，试问函数f(x)在 (－∞，0)上是增函数还是减函数？4.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是偶函数的是（ ）R x y D R x x y C R x x y B R x x y A x∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=∈=∈=∈-=,21.,.,sin .,.3易错点透析：1．已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( )21.21.31.31.--D C B A 2．若函数y ＝ax 与y ＝xb -在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ( ) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增3．如果函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=2x-3,那么当x<0时,f(x)=4．设f(x)是定义在R 上的以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（ ）A.f(2)<f(4)<f(7)B. .f(4)<f(2)<f(7)C. .f(7)<f(4)<f(2)D. .f(4)<f(7)<f(2)巩固练习：1．如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么在[-6,-1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[-6,-1]上的最大值 和最小值 。
《函数的基本性质》函数的概念与性质(第4课时奇偶性的应用)
•函数的基本概念•函数的奇偶性•奇偶性的应用目录•函数的其他基本性质•函数的应用举例函数的基本概念函数是数学中的一种关系，它接受输入值（称为自变量）并产生输出值（称为因变量）。
函数可以看作是数学模型，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量的变化。
函数的定义通常包括定义域和值域两个概念，定义域是指输入值的范围，值域是指输出值的范围。
函数的定义函数的表示方法函数的表示方法通常有三种：解析式、图象和表格。
解析式是一种数学表达式，它描述了输入和输出之间的关系；图象是用图形表示函数的关系；表格则列出了一系列输入值和对应的输出值。
定义域是指输入值的范围，它确定了函数可以接受的输入值的范围。
值域是指输出值的范围，它确定了函数可能的输出值的范围。
定义域和值域一起构成了函数的范围，它们限制了函数的行为。
函数的定义域与值域函数的奇偶性奇函数对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，如果都有$f(-x)=-f(x)$，则$f(x)$称为奇函数。
偶函数对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，如果都有$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$称为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称。
偶函数的图像关于$y$轴对称。
奇函数在对称区间上的积分为零。
偶函数在对称区间上的积分为偶函数的一半。
01020304定义法图像法性质法根据函数的图像特征来判断。
根据奇函数和偶函数的性质来判断。
030201奇函数与偶函数的判断方法根据奇函数和偶函数的定义来判断。
奇偶性的应用总结词奇偶性是函数中重要的性质之一，利用奇偶性可以简化函数的计算过程。
详细描述如果函数满足$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数；如果函数满足$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数。
在求解函数的值时，可以通过将自变量替换为相反数，利用奇偶性求出函数的值。
例如，若$f(x)$为偶函数，则$f(-x)=f(x)$，即$f(-3)=f(3)$；若$f(x)$为奇函数，则$f(-x)=-f(x)$，即$f(-3)=-f(3)$。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案
一、函数的定义：
函数是一个或多个输入（自变量）对应到一个输出（因变量）的关系式。
通常用 f(x) 表示，其中 f 是函数的名称，x 是自变量。
二、函数的基本性质：
1. 定义域：函数的定义域是自变量 x 的取值范围，也就是函数可以接受的输入的值。
例如，对于函数f(x) = √x，它的定义域
是x≥0，因为不能对负数开平方根。
2. 值域：函数的值域是函数的所有可能的输出值的集合。
例如，对于函数 f(x) = x^2，它的值域是y≥0，因为平方的结果总是
非负数。
3. 奇偶性：一个函数在定义域内的对称性。
如果对于任何 x 都有 f(x) = f(-x)，则函数是偶函数；如果对于任何 x 都有 f(x) = -
f(-x)，则函数是奇函数。
例如，函数 f(x) = x^3 是奇函数，因
为对于任何 x 都有 f(x) = -f(-x)。
4. 单调性：函数在定义域内的增减性质。
如果函数的导数恒大于0，则函数是递增的；如果函数的导数恒小于0，则函数是
递减的。
例如，函数 f(x) = x^2 在 x>0 的区间上是递增的，而
在 x<0 的区间上是递减的。
5. 极值与最值：函数在定义域内的最大值和最小值。
函数的最大值或最小值称为极值，它们通常发生在函数的驻点或者边界
点。
例如，函数 f(x) = x^2 的最小值是0，但它没有最大值。
6. 趋势：函数的整体形状和趋势。
例如，函数 f(x) = x^2 的图像是一个开口朝上的抛物线，它在 x=0 处达到最小值。
函数的基本性质总结
函数的基本性质总结一、单调性1. 定义：在定义域内，任意21x x <，都有()()21x f x f <，则()x f 在定义域内是单调递增的；任意21x x <，都有()()21x f x f >，则()x f 在定义域内是单调递减的。
2. 判断方法：①定义法及其变形：()()0)()(2121>--x f x f x x 或0)()(2121>--x x x f x f 是增函数 ()()0)()(2121<--x f x f x x 或0)()(2121<--x x x f x f 是减函数 ②图像法③导数法④复合函数法：同增异减⑤单调性的运算性质 增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数减函数+减函数=减函数 减函数-增函数=减函数二、奇偶性1、定义：在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=，称函数)(x f 是偶函数； 在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f --=，称函数)(x f 是奇函数。
2、判断方法：①定义法：定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要条件②图像法:图像关于原点对称是奇函数，图像关于y 轴对称是偶函数3、常见结论 奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数奇函数⨯奇函数=偶函数 偶函数⨯偶函数=偶函数奇函数⨯偶函数=偶函数①函数)(a x f y +=是偶函数，则)(x f 关于a x =对称②函数)(a x f y +=是奇函数，则)(x f 关于)0,(a 对称③若函数)(x f y =是奇函数，且在0=x 处有定义，则0)0(=f④奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，最值相反；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，最值相同。
三、对称性1、单个函数的对称性①若函数)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =函数关于a x =对称⇔)()2(x f x a f =- ②)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =关于2b a x +=对称 ③)()(x a f x a f --=+⇔函数)(x f y =关于()0,a 对称⇔)2()(x a f x f --= ④⇔=-++0)()(x b f x a f 函数)(x f y =关于⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 对称 ⑤⇔=-++C x b f x a f )()(函数)(x f y =关于⎪⎭⎫⎝⎛+2,2c b a 对称 2、两个函数的对称性①函数)(x f y =关于a x =对称的函数是)2(x a f y -=②函数)(x f y =关于b y =对称的函数是)(2x f b y -=③函数)(x f y =关于),(b a 对称的函数是)2(2x a f b y --=四、周期性1、定义：在函数的定义域内，对任意的x 都存在一个常数()0≠T T ,使得)()(x f T x f =+成立，则称函数是周期函数，T 叫做函数的)(x f 一个周期（注：T 专指最小正周期）2、常见结论①)()(x f a x f -=+，则a T 2= ②)(1)(x f a x f ±=+，则a T 2= ③)()(a x f a x f -=+，则a T 2= ④)(1)(1)(x f x f a x f +-=+，则a T 2= ⑤)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，则a T 4= ⑥若函数)(x f y =关于)(,b a b x a x ≠==对称，则b a T -=2⑦若函数)(x f y =关于()())(0,,0,b a b a ≠对称，则b a T -=2⑧若函数)(x f y =关于())(0,b a b x a ≠=同时关于对称，则b a T -=4。
高一数学函数的基本性质4
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
讲授新课
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
；/naotanyf 脑瘫如何进行预防 脑瘫预防最主要阶段 脑瘫要怎么预防
；
上帝便把他派到人世，上帝很想听一下人们对他的评价。 结果出人意料，十全十美的人同样遭受到一些人莫明其妙地攻击和诋毁。这是怎么回事？上帝便打发天使去调查原因。 天使很快就回来了，向上帝并报说：“他的确一点过错、一点瑕疵也没有。某些家伙嫉妒得发狂，他 们造谣、诬陷、谩骂、攻击，使用了各种卑鄙的手段。并借此提高自己的知名度。还有……” “别说了。”上帝生气地一挥手，制止天使再讲下去。 “上帝，”天使忽然又嗫嚅着说，“就连您也莫明其妙地遭到一些人的诅咒呢。” “是吗？”
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D x 1
都 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数，区间D 称为
调增区间.
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )， 那么就说f(x)在区间D上是减函数， D称为f(x)的单调 减 区间.
（1）在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是 下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
§1.3 函数的基本性质
连线题:
蒸蒸日上
y
每况愈下
y
波澜起伏
y
o
x
o
x
o
x
A
B
C
y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
D
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x增大，y也增大
f(x1)
f(x2) O
N
M
对区间D内
x1，x2 ，
有f(x2)<f(x1)
判断函数单调性的方法：
1、图象法
2、定义法
(１)取值 (２)作差 (３)变形 证明函数单调性的方法
证明函数的单调性常用步骤：
(４)定号 (５)判断
填表,.指出下列函数的单调区间
y
o y x x
y
在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0), (0,+∞)是 减函数
b 在 - ， 2 a
在(o y x x
∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0), (0,+∞)是 增函数
o y o
o
y
x
是增函数 b , 在 2a 是减函数
o
x
在 是增函数 b 在 - ， 2a 是减函数
b , 2a
小
1、单调增（减）函数的定义
取值 设 证明： x1，x2 为区间（ －∞ ,－１）上的任意两个值，且x1<x2，
则f (x1) – f (x2)= (x12 +２ x1 ) – (x22 + ２x2 ) =( x12 –x22) + ２(x1 – x2) 作差 变形
= (x1 – x2) (x1 + x2) + ２(x1 – x2)
f(2) f(1) O 1 2x
取值的任意性
例1、下图为函数 y = f x , 指出它的单调区间。
y 3
x [ 4, 7 ]
的图像，
-1.5
2 1 -1 -2
1 2 3 4 5 6 7x
-4 -3
-2 -1 o
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
结
2、判断函数单调性的方法：
1）图象法 2）定义法
3、证明函数单调性的方法：
定义法：取值、作差、变形、定号、判断
D x 2
当x2<x1时，
x1
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x增大，y也增大
f(x2) f(x1) O
M
N 对区间D内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
D x1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间D内任意的 x1，x2 ，
类比单调增函数,写出单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 x2
O
x
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 那么就说f(x)在区间 D 上是增 函 数,D称为f(x)的单调增区间.
例2. 试判断函数f(x)= x2+2x 在（ －∞ ,－１）上 是增函数还是减函数？并给予证明。
试用定义法证明函数 f ( x )
1 x
1
在区间 0 , 上是单调增函数。
例4. 试∞）上 是增函数还是减函数？并给予证明。 解：函数y= x2 + ２x 在（ －∞ ,－１）上是减函数
判断:1)函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
y
y x
2
o
x
（1）在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是 下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x
2
判断：2)定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则 y 函数 f (x)在[1,2]上是增函数；
= (x1 – x2) (x1 + x2 +２) ∵ x1 < x2 ，∴x1 – x2< 0，又∵ x1 < － 1, x2 < － 1 ， ∴ x1 + x2 +２ <0, ∴ f (x1) – f (x2)>0,即f (x1)>f (x2) 定号 判断
所以函数y= x2 +２ x 在（ －∞ ,－１）上是减函数