群论基本概念

群论基本概念
群论是数学中的一个分支，主要研究群及其性质。

群是一个集合，它满足以下四个基本性质：
1. 封闭性：群中的任意两个元素进行运算后得到的结果仍然属于群中。

2. 结合律：群中任意三个元素a、b、c进行运算时，括号的不同组合得到的结果是相同的，即：(a·b)·c=a·(b·c)。

3. 单位元：存在一个元素e，满足对于群中的任意元素a，e·a=a·e=a。

4. 逆元：群中任意元素a都存在一个元素a’，使得a·a’=a’·a=e。

此外，群还满足以下性质：
5. 唯一性：群中的单位元和逆元各自唯一。

6. 可逆性：群中任意两个元素的运算结果也属于群，且任意元素在群中都存在逆元。

7. 交换律：对于群中任意两个元素a和b，满足a·b=b·a，则称该群为交换群或阿贝尔群。

8. 子群：若群G中的一个非空子集H也满足对于群的四个基本性质，则称H为群G的子群。

9. 同态：若两个群之间存在一个映射，满足相应元素的运算关系保持不变，则称这两个群是同态的。

10. 同构：若两个群之间存在一个双射的同态映射，则称这两个群是同构的，即它们的结构完全相同。