环R上的一类常循环码及自对偶码

环R上的一类常循环码及自对偶码
徐露露;刘丽
【摘要】文章定义了环 R ＝ F2＋ uF2＋ u2 F2＋…＋ u7 F2到 F82的一个新的
G ray映射，将环 R上长为n的一类常循环码等距映射成 F2上长为8n的线性循
环码，并给出了n为奇数时该码的Gray象生成多项式，为寻找好码奠定了基础，此外，还得到了这个环上的自对偶码存在的一个充要条件。

%A new Gray map is defined from R= F2 + uF2 + u2 F2 + … + u7 F2 to F82 .It is show n that the Gray image of a linear (1+ u+ u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 ) cyclic code of length n over the ring R is a distance-invariant linear cyclic code of length
8n over F2 .What’s more ,if n is odd length ,the genera-tor polynomial of the Gray image is obtained .It is significant to construct good
codes .Furthermore ,a necessary and sufficient condition for the existence
of the self-dual codes of this ring is proved .
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)002
【总页数】4页(P253-256)
【关键词】循环码;常循环码;生成多项式;自对偶码
【作者】徐露露;刘丽
【作者单位】合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009;合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009
【正文语种】中文
【中图分类】O153.3
自从文献［1］证明了某些二元非线性码可以看作Z4线性码在Gray映射下的二
元象之后，有限环上纠错码理论就成为研究的一个新热点，从此Gray映射是连接环上码与域上码的关键点，所以被众多学者加以重新定义和研究［2－8］。

文献［3－4］中引入了一个 Nechaev－Gray映射，研究了Z4上负循环码的Gray映射，随后，多项式剩余类环介于有限域和环之间的良好结构性质，在纠错码理论研究上备受关注。

文献［9］首次研究了F2＋uF2上常循环码的Gray象性质，随后，文献［10］又研究了F2m＋uF2m＋…＋ua－1 F2m上形如（α0＋uα1＋…＋ua
－1αa－1）循环码结构。

本文在环R＝F2＋uF2＋u2 F2＋…＋u7 F2上，重新定
义一种新的 Gray映射，研究η＝（1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7）循环码
的Gray象，在该映射之下，环R上线性循环码能等距映射成域F2的线性循环码，并给出n为奇数时该码的Gray象的生成多项式。

1 环R上的循环码与η循环码
定义1 设C为R上长为n的线性码，如果∀c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C 均
有（λcn－1，c0，…，cn－2）∈C，此时称（λcn－1，c0，…，cn－2）为（c0，c1，…，cn－1）的一个λ循环移位，则称C为R上的λ循环码。

若λ＝1，则称
C为R上的循环码，若λ＝1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7（记为η），则称
C为R上的η循环码。

定义2 如果设C、C1是Rn的2个子空间，对于任意的a＝（a0，a1，…，an－1）∈C，β＝（b0，b1，…，bn－1）∈C1，恒有a0b0＋…＋an－1bn－1＝0，则称C、C1为正交的。

如果C＋C1＝Rn，则称C1为C的正交补，将它记做C⊥，
并称之为C的对偶码，若C⊥＝C，则称C为自对偶码。

对码字c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C 的码字多项式，即对应R［x］／（xn＋η）中的多项式c（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1，类似于文献［4］，有如下结论。

定理1 Rn上子模是R 上η循环码⇔c（x）是环Bn＝R［x］／（xn＋η）的理想。

假设n为奇数，k为一个正整数，若n≡3（mod 4），则设β＝η；若n≡1（mod 4），则设β＝1＋u。

注意到βn＝1＋u，且（1＋u）η＝1。

设μ 是如下映射：R［x］／（xn＋1）→R［x］／（xn＋η），μ（c（x））＝c （βx）。

则有如下定理2。

定理2 设β如上所述，则μ是R［x］／（xn＋1）到R［x］／（xn＋η）的环同构映射。

故有推论1。

推论1 设I是R［x］／（xn＋1）的子集，J是R［x］／（xn＋η）的子集，n为奇数，并满足J＝μ（I），则I是R［x］／（xn＋1）的理想，当且仅当J是R［x］／（xn＋η）的理想。

文献［11］给出了环Fp＋uFp＋…＋uk－1 Fp上循环码的结构，类似地有定理3。

定理3 若C是环R上长度为n的循环码，则存在唯一两两互素的多项式fi（i＝0，1，2，…，8），使得），其中
利用上面的同构映射μ，得定理4。

定理4 若C是环R上长度为n的η循环码，则存在唯一两两互素的多项式fi（i＝0，1，2，…，8），使得C＝），其中且｜C｜＝2k，k＝
2 R上η循环码的Gray象
为不致引起混淆，将R、Rn、R［x］上加法记为“＋”，将F2、、F2［x］上加
法记为“⊕”。

若将R上任一元素a 记为a＝r0（a）＋ur1（a）＋u2r2（a）＋…＋u7r7（a），其中ri（a）∈F2，参考文献［7－8］，定义Gray映射φ：
R→，则
显然该映射是线性的，可自然延伸至Rn上码字C的Gray映射以及R［x］上多
项式c（x）的Gray映射φ：R→ ，则
其中c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn。

记ri（c）＝（ri（c0），ri（c1），…，
ri（cn－1）），i＝0，1，2，…，7，φ 显然是双射，对∀c（x）＝c0＋c1x＋…
＋cn－1xn－1∈R［x］，设
其中，i＝0，1，…，7。

则φ：R［x］→F2［x］，即
定义环R中元素的Lee重量分别如下：u8为8；1＋u，1＋u2＋u3＋u6，1＋u4＋u5＋u6，1＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6为7；u＋u7，u2＋u7，u4＋u7，1＋u4＋u5＋u7 为6；1＋u5，1＋u6，1＋u＋u6，1＋u＋u7，1＋u2＋u5，1＋u2＋u7，1＋u3＋u4，1＋u3＋u5，1＋u3＋u6，1＋
u4＋u7，1＋u5＋u6，1＋u＋u2＋u4，1＋u＋u2＋u5，1＋u＋u2＋u6，1＋u
＋u2＋u7，1＋u2＋u3＋u4，1＋u2＋u3＋u5，1＋u2＋u3＋u7，1＋u3＋u4＋u5，1＋u2＋u3＋u4＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u5，1＋u＋u2＋u3＋u6，1＋u＋
u2＋u3＋u7，1＋u3＋u4＋u5＋u6，1＋u2＋u3＋u4＋u5＋u7，1＋u＋u2＋
u3＋u4＋u5，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u7 为5；u6，
u5，u3，u5＋u6，u5＋u7，u6＋u7，1＋u＋u2，1＋u3＋u4＋u6 为4；u4，
u2，u，u＋u2，u＋u3，u＋u4，u＋u5，u2＋u3，u2＋u4，u2＋u5，u2＋u6，u4＋u5，u4＋u6 为2；1，1＋u4＋u5＋u6＋u7，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋
u6＋u7为1；0为0；其余为3。

Rn中码字的Lee重量为其码元的Lee重量之和，2个码字c、c′的Lee距离为c
－c′的Lee重量。

由Gray映射定义可得定理5～定理8。

定理5 Gray映射φ是（Rn，Lee距离）到（，Hamming距离）的保距映射。

定理6 若ν是Rn上一个η循环移位，σ是上的一个循环移位，φ是Rn到的Gray映射，则φν＝σφ。

证明设c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn，其中ci＝r0（ci）＋ur1（ci）＋u2r2（ci）＋… ＋u7r7（ci），rj（ci）∈F2，i＝0，…，n－1，j＝0，1，…，7，则有：
定理7 设C为R上长为n的线性η循环码，则其Gray象φ（C）是F2上长为
8n的线性循环码。

沿用文献［6］中定义，对于c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn，记 ri （c）＝［ri （c0），ri （c1），…，ri（cn－1）］，其中，i＝0，1，2，…，7，则称＝r0（c）为c的二元约化。

类似地，若R［x］，则称∈F2［x］为a（x）的二元约化，显然有
定理8 若C是环R上长度为n（n为奇数）的η循环码，且
其中1，2，…，8）为两两互素的多项式，则其Gray象是F2上长度为8n的线性循环码，且有φ（C）＝
证明由定理7知，φ（C）是F2上长为8n的线性循环码，下证φ（C）。

记An、Bn为定理1、定理2所设，A8n＝F2［x］／（x8n－1），由可知，∃bi（x）
∈Bn，i＝1，…，8，使得C 中任意码字可写为：
则D（x）可写成X0＋uX1＋…＋u7 X7，其中X0，…，X7∈F2［x］，且，故
由，两边取二元约化可得xn＋，则φp（D（x））能写成e（x）∈F2［x］，故
若取，则，使
因此故有，则Bn，使得，即使得，则，故
取l（x）∈φp（c），则使得＝，因此故从而，使得即又，使得，故有
因而如此类推，可得比较φp（c）与码字个数，可得φp（c）＝，k＝8deg f1＋7deg f2＋…＋2deg f7＋deg f8。

3 环R上的自对偶码
引理1 设C是R上长为n的线性码，C的特征是p，｜C｜＝pk，｜R｜＝pm，则｜C⊥｜＝pl，其中k＋l＝mn。

定理9 设C是有限环R上码长为n的循环码，fi（i＝0，1，2，…，8）是R［x］中两两互素的多项式，且满足（xn－1）／fi，i＝0，1，2，…，8，则 C 的对偶
码为），其中2deg f3＋deg f2，f＊＝xdeg（f）f（x－1）。

证明设下证C1＝C⊥。

先证明C1⊆C⊥，由定理3可知，即需证1），其中i，j
＝0，1，…，7。

当i＋1≠8－j＋1时，当i＋1＝8－j＋1时，即i＋j ＝8，故＝0，所以原式得证，即有C1⊆C⊥。

由定理3与引理1可知｜C⊥｜＝2l，｜C｜＝2k，l＝8n－k，则l＝8n－（8deg f1＋7deg f2＋…＋2deg f7＋deg f8）＝8deg f0＋7deg f8＋6deg f7＋…＋
2deg f3＋deg f2，且，所以有｜C⊥｜＝2t，t＝，由于deg f＊＝deg（xdeg （f）f（x－1））＝deg f，故l＝t，C1＝C⊥ 。

定理10 设C是有限环R上长为n的循环码，fi（i＝0，1，2，…，8）是R［x］中两两互素的多项式，满足（xn－1）／fi。

若C是自对偶码，当且仅当fi和是线
性相关的，即i＋j≡1（mod 9）（i，j＝0，1，…，8）。

证明由定理9得C的对偶码为若fi和是线性相关的，显然C是自对偶码；若C 是自对偶码，由定理9可得：
设Gi＝，i＋j≡1（mod 9）（i，j＝0，1，…，8），其中，G0，G1，…，G8 是两两互素的不可约多项式，所以－G0G1…G8＝xn－1＝f0f1…f8，由定理3得Gi ＝Fi，i＋j≡1（mod 9）（i，j＝0，1，…，8）。

4 结束语
本文定义了环R＝F2＋uF2＋u2 F2＋…＋u7 F2到的一个新的Gray映射，将环R 上长为n的一类常循环码等距映射成F2上长为8n的线性循环码，研究了该环上（1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7）循环码的Gray象，并给出了n为奇数时该码的Gray象的生成多项式。

此外，还得到了在这个环上的自对偶码存在的一个充要条件，对于构造一些高效且纠错性能好的码和译码，具有一定的理论意义和应用价值。

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