高考——数学多选题专项训练专项练习及解析

高考——数学多选题专项训练专项练习及解析

一、数列多选题

1．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2

3

n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为

（ ） A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

答案：BD 【分析】

利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，

由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本

解析：BD 【分析】

利用递推关系可得12

11

n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2

3

n n n S a +=

， ∴2n ≥时，1121

33

n n n n n n n a S S a a --++=-=

-， 化为：112

111

n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫

⎨

⎬-⎩⎭

单调递减， 可得：2n =时，

2

1

n -取得最大值2． ∴1

n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．

【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．已知数列{}n a 满足112a =-，11

1n n

a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）

A ．2-

B ．

2

3

C ．

32

D ．3

答案：BD 【分析】

根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；

数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要

解析：BD 【分析】

根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】

因为数列{}n a 满足112

a =-，11

1n n a a +=-，

2121

31()

2

a ∴=

=--；

32

1

31a a =

=-； 41311

12

a a a =

=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-

，2

3

，3； 故选：BD ． 【点睛】

本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规

律，属于基础题．

3．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4

n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n

= B ．数列{}n a 的通项公式为1

4(1)

n a n n =+

C ．数列{}n a 为递增数列

D ．数列1

{

}n

S 为递增数列 答案：AD 【分析】

先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】

因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；

解析：AD 【分析】

先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】

11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 1

1104n n n S S S -≠∴

-= 因此数列1{

}n S 为以1

1

4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n

=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时1111

44(1)4(1)

n n n a S S n n n n -=-=

-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧

=⎪⎪

=⎨⎪-≥-⎪⎩

，即B ，C 不正确；

故选：AD 【点睛】

本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

4．(多选)在数列{}n a 中，若2

2

1(2,,n n a a p n n N p *

--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差

数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．

(){}1n

- 是等方差数列

C ．{}2

n

是等方差数列.

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

答案：BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故

解析：BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222

(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故

{}n

a 不是等方差数列，故A 错误；

对于B ，数列

(){}1n

-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方

差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}

2

n

中，()()

22

221

11

2234n

n n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}

2n

∴不是等方差

数列，故C 错误； 对于D ，

{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数

列，()()2

2

2

112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，

故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22

10n n a a --=是常数，故D 正确.

故选：BD. 【点睛】

关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.

5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ）