《2个技巧,13个变式搞定北京中考二次函数压轴题》题干

由图象可以看出 D 点纵坐标最小值即为 -4
最大值即 BC 与对称轴交点 4 直线 BC 的解析式 y = x 3 4 x 当 x=1 时 y = ， 3 ∴ ．
学
而
思
与 轴交于点 B． （1）求点 A， B 的坐标； （3）若该抛物线在
（2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式； 这一段位于直线 l 的上方，并且在 2 < x < 3 这一段位于 技巧 1. 解析式中只有一个字母系数， 而且题干中提到了对称轴，那 直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式． 【解】：（1）令 x = 0 ，得 y = −2 ， 则 ，
-2-
学 而
思
培 优
二、 【2 个技巧 13 个原创变式解决二次函数最难点】
1、近两年考试真题剖析，方法技巧提炼 考查方式：从前几年所考二次函数的综合性问题可以看出，命题模式比较固定，都是给出 一个含有字母系数的二次函数，通过某些条件确定这个二次函数的解析式，然后基于这个已知 的二次函数讨论某个一次函数和它（或它的一部分或它的变化形式）的交点情况．（二次函数
23 23 7 23
（部分数据来源：北京市教育考试院数据分析统计报告 )
北京中考二次函数主要以综合题的形式考查，通常出现在整张试卷的倒数第三题。通过对 近 4 年北京中考二次函数考查情况的分析，我们发现，二次函数综合题得分率低，难度系数小， 约为 0.4~0.5（Tips：难度系数越小，难度越大。中考数学整体难度系数约 0.72。），属于中 考数学的压轴题之一。
分值 平均分 难度系数
8 分
学 而
1.44
思
7 分 3.64
培 优
1、二次函数主要以压轴题形式考查，难度高，得分率低
-1-
2、二次函数综合性强，最后一问考查数形结合思想，区分度大 考点 中考要求 真题考查 分值 难度
易 难 难 易 中 难 易 难
思
， ． （2）设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为 图象 G（包含 A，B 两点）．若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围． 【解析】：（1）∵ y = 2 x 2 + mx + n 经过点 代入得： ， 技巧 1. 给出含字母系数的解析 式： 那 首 先 根 据 已 知 ， 两 点坐标求出二次函数解 析式。确定解析式后， 直接计算出对称轴。
学
而Leabharlann 思培优第一步：根据各种特定的已知条件求出二次函数解析式（注意二次项系数不为 0）；
培
【二次函数压轴题第（1）（2）问的解决技巧】：
优
压轴题一般有 3 小问）
【真题案例对比分析 1 ——2014 年北京中考 23 题】 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 （1）求抛物线的表达式及对称轴；
学 而
经过点
2014 中考 23 题（1）问 二次函数的图象和性质、解析式 B 1 分 2014 中考 23 题（2）问 二次函数与方程和不等式 2013 中考 23 题（3）问 二次函数与方程和不等式 2012 中考 23 题（1）问 二次函数的解析式 C 5 分 C 3 分 B 2 分 B 1 分 C 3 分 B 2 分 C 3 分
与 y 轴交于点 A，其对称轴 x
培 优
（2）由（1）可知，直线 AB 的解析式 y = 2 x − 2 ， 关于对称轴对称后的解析式为 y = −2 x + 2 ． 技巧 2. 第（3）问说了一堆什么这一段 位于直线上方，那一段位于直 线下方，是不是很晕很迷茫？ 精确画图 就能搞定了．有没有 发现其实整个图形是对称的， 观察一下 临界位置，就是我们 刚才说过的不等式中恰好在边 界 的 数 值，-2，-1，2，3 ， 有 没有发现什么？这么对称的图 形，当然是发现对称点了，-1 和 3 是关于对称轴对称的有木 有？说明他们俩都恰好在抛物 线上，哦了，问题搞定！
优
2012 中考 23 题（3）问 二次函数与方程和不等式
而 思
2012 中考 23 题（2）问 二次函数的图象和性质
培
2011 中考 23 题（3）问 二次函数与方程和不等式
学
2011 中考 23 题（1）问
二次函数的图象和性质
生平均分 2.71 分左右。（属于必拿分题目） II. 最后一问是对二次函数与一次函数交点的情况、二次函数与方程不等式的关系等综合 的考查， 满分 3 分， 考场平均分 0.52 分左右， 最后一问是导致失分， 拉开学生之间的差距的关键。 （属压轴部分） 3、如何突破二次函数的最难点，实现二次函数综合题满分？
二次函数为什么是中考代数部分最难点
——2015 北京中考五大模块深度剖析之二次函数
学而思北京中考研究中心专家团 顾问：陈金根 主编：魏巍 刘蕾 费新斌 讨论：董小磊 牛丽娟 许秀霞 刘鹏农 林儒强 齐永确 高晓雪
北京中考对二次函数的考试要求达到最高级别 C 级要求（Tips：C 级要求通常以压轴题形式
学
I. 前两问是对开口方向、对称轴、顶点坐标、解析式等基础知识的考查，满分 4 分，考
而
题。二次函数综合题一般为 3 小问， 考点主要是两点：
思
综合压轴题是以函数为主线，结合一元二次方程的有关知识，运用几何图形的性质的综合性试
培
结合 2011—2014 年的中考 23 题（Tips：二次函数综合压轴题），概括地说，二次函数
一、 【二次函数为什么是中考代数部分的最难点？】
年份 2014 2014 2013 2013 2012 2011 2011
题号 23 25 10
类型 综合题 综合题 填空题 综合题 综合题 选择题 综合题
培
优
–1 –2 –3 –4 –5 A
技巧 2.
培
2 二次函数 y = 2 x − 4 x − 2 的最小值为 -4
优
首先精确作图，再找到 D 点临 界点，发现 C 点的纵坐标和顶 点的纵坐标一样，那么 D 点最 低就是顶点，再连接 CA 和 CB 发现哪条直线和对称轴交点比 较高？显然是 CB，问题就搞 定了。直接代入解析式即可。
优
通过对中考二次函数难度分析和考点分析，学而思北京中考研究中心给初三考生的建 议是：
I. 二次函数综合题的第（1）问或前两问的正确率在 60% 以上，再结合 2015 年北京 市教育考试院给出的关于中考改革的意见来看，今年中考综合难度会略有降低，意味着这两 问难度继续降低，所以要参加中考的同学一定要把此题前两问分数拿到，以免被拉开差距。 II. 最后一问的正确率在 20% 以下，得分率低，难度大，这是二次函数压轴题的核心， 也是整张试卷中起到中考选拔作用的题目，所以建议要参加中考的同学专项训练二次函数综 合题最后一问的典型题目，总结归纳对应的解题方法和技巧。 那么怎么才能把最后一问的分数收入囊中呢？为帮助同学们顺利解决二次函数压轴题， 学而思北京中考研究中心团队通过数百道真题分析，提炼两种方法技巧，原创 13 种变式题， 为初三同学们带来权威、实用的解题秘籍。
又对称轴 x = − 则 ．
b −2m =− =1， 2a 2m
-4-
学 而
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
b 求出对称 2a 轴．你看看， 连续两年都考对
么直接利用 x = − 称轴，它重要不重要？！你再 看看 2012 年，一样也考！
思
【真题案例对比分析 2—— 2013 年北京中考 23 题】
学
题目进行针对性解决；3、限时巩固练习。
而
出以下 3 点分享：1、难度分析及考点分析；2、方法技巧提炼、针对最难点给出 13 个原创的
思
些解题方法和技巧？接下来，我们就二次函数在北京中考中的考察情况，为参加中考的同学做
培
那么，北京中考对于二次函数的考查，难度系数到底有多大？考点又有哪些？需要掌握哪
优
培
优
0.52 0.18 0.81 0.46 0.43 0.78 0.44
4 分 3.24 7 分 3.22 7 分 3.01 4 分 3.12 7 分 3.08
学
而 思
培
优
∴抛物线在 2 ＜ x ＜ 3 这一段与在﹣1 ＜ x ＜ 0 这一段关于对称轴对称， 1 这一段位于直线 l 的上方， 结合图象可以观察到抛物线在﹣2 ＜ x ＜﹣ 在﹣1＜ x ＜ 0 这一段位于直线 l 的下方， 当 x=﹣1 时，y=﹣2×（﹣1）+2=4， 所以，抛物线过点（﹣1，4）， 当 x= ﹣1 时，m+2m ﹣2=4， 解得 m=2， ∴抛物线的解析式为 y=2x2﹣4x﹣2． ∴抛物线与直线 l 的交点的横坐标为﹣ 1，
学
（3）∵抛物线的对称轴为直线 x=1，
而
思
培
优
2、掌握 13 个原创变式，完胜二次函数中考最难点 根据近 5 年北京中考、一二模考试对于二次函数综合题（一般 23 题）的考查情况以及 2015 年北京市招生管理办公室和北京市教育考试院给出的关于中考改革的意见，学而思中考 研究中心专家，根据历年此题最后一问的考查形式，原创了如下 13 个变式题目，帮助同学们 熟悉考法并彻底掌握此类题型，轻松应对中考。
n = −2 ，∴ 18 + 3m + n = 4
2
m = −4 n = −2
∴ 抛物线的表达式为 y = 2 x − 4 x − 2 对称轴 x = −
−4 =1. 2× 2
-3-
培 优
y 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x B
而 思
C
学
（2）由题意可知 C (-3,-4)
而 思
技巧 1. （1）若给出确定的解析式： 第一步：计算出对称轴（利用 或者 ）
学
第二步：再利用因式分解或求根公式求出抛物线与坐标轴的交点 （2）若给出含字母系数的解析式：
第二步：求出对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； 第三步：若求一次函数与二次函数的交点，只需把两解析式联立解方程组即可； 第四步：若有图像变换直接利用平移结论 “上加下减， 左加右减” ， 或对称公式来解决 .
值 11 分左右， 约占全卷总分值的 10%， 这一比例相当于普通章节的三倍， 比重之大， 可见一斑。
学
出现），同学们应当引起重视。 北京中考每年主要有两道题目考查二次函数的知识（并且其中一道为压轴题目），涉及分
而 思
根据 2015 年北京教育考试院下发的 《北京市高级中等学校招生考试说明——数学》 得知，
注意：求抛物线对称轴最重要！
【二次函数压轴题第（3）问的解决技巧】： 技巧 2. 搞定它的秘籍首先就是精确作图，一定要用 100% 的耐心加细心把图象画好，这是中 考说明中给出的 A 级要求，是最基本的要求，再找出临界点（临界点：图象边缘的两 个点，不等式中恰好在边界的那些数值），利用临界点确定字母系数的值或取值范围。