对面积的曲面积分

（3）将曲面方程 z z( x, y) 及
dS
1
z
2 x
(
x,
y
)
z 2y
(
x,
y
)d
xd
y
代入 f ( x, y, z)dS 中即可。 一投、二代、三换
（4）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
z 0, zx zy 0, f ( x, y, z)dS f ( x, y,0)dxdy
解 xdS xdS xdS
1
2 xdS
（3）在 3 上，
3
x2 y2 1, 0 z x 2,
显然 3 关于 xoz 面对称，
xoz
被积函数关于 y 为偶函数，
31
所以 xdS 2 xdS, 31 为位于 xoz 面右边的半片
3
31
即 31 : y 1 x2 , 1 x 1, 0 z x 2,
| x yz | dS 4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
2
40
d
01
2
cos
sin
2
1 4 2d
2
20
sin
2
d
01
5
1 4 2d
125 5 1. 420
例 2 计算| xyz | dS ,
其中 为抛物面 z x2 y2（0 z 1 ）.
所以有 x2dS 8 x2dS
1
0
y
1 : z 4 x2 y2 , Dx1y {( x, y)| x2 y2 4, x 0, y 0} x
若 的密度是均匀的，即 ( x, y, z) 常数
则 M = 的面积 ，而
的面积
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
其中，z = z (x , y) 是曲面 的方程。
实例 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连
续函数( x, y, z), 求它的质量 M .
（1）用一组曲线网将 分成 n 个小曲面
如不等式性质： 若在 上， f ( x, y, z) g( x, y, z), 则
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS
及
| f ( x, y, z)dS | | f ( x, y, z) | dS
三、第一类曲面积分的计算方法
n
f ( x, y, z)dS
lim
0
被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 为偶函数
| x yz | dS 4| x yz |dS 4 x yzdS
x
y
(为第一卦限部分曲面)
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dx y {( x, y) |x2 y2 1, x 0, y 0}
第四节 对面积的曲面积分
• 一、概念的引入 • 二、对面积的曲面积分的定义 • 三、计算法 • 四、小结 思考题
一、概念的引入
实例 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连续函数 ( x, y, z), 求它的质量 M .
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面, 且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
D
（5）若 f (x , y , z) = 1，则 dS 的面积
2. 若曲面 的方程为 y y( x, z) 则
f ( x, y, z)dS f [x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz
Dxz
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
D yz
例1 计算 ( x y z)ds, 其中为平面 y z 5
被柱面 x2 y2 25所截得的部分.
解 积分曲面 : z 5 y ,
投影域 ： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
2
1
2 xdS
（3）在 3 上，
3
x2 y2 1, 0 z x 2,
3
显然 3 关于 xoz 面对称，
1
被积函数关于 y 为偶函数，
所以 xdS 2 xdS, 31 为位于 xoz 面右边的半片
3
31
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
y
二、对面积的曲面积分的定义
1.定义：设曲面 是光滑的，f (x , y , z) 在 上有界
首先，用任意一组曲线网将 分成 n 个小曲面
S1,S2,, Sn, 直径分别为： 1, 2, , n
其次，在每个小曲面 Si 上任意取一点 (i ,i , i ),
n
作乘积 f (i ,i , i ) Si , 并作和 f (i ,i , i ) Si ,
dS
1
z
2 x
z 2y d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1},
xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
解 xdS xdS xdS
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
解 xdS xdS xdS
2
1
2 xdS
3
（1） 1 : z 0, dS d xd y, D1x y {( x, y) | x2 y2 1}
3 1
xdS xd xd y 0,
1
D1x y
（2） 2 : z x 2,
1
2
3
2
xdS xdS 0, xdS ,
1
2
3
xdS 0 0
3
思考题：在计算 xdS 时，
1
3
若不利用对称性，如何计算？
例4 计算 x2dS , 其中 是球 x2 y2 z2 4 的表面.
z
解 方法一： 关于三个坐标面均对称
1
而被积函数关于 x , y , z 均是偶函数
x
0
(i ,i )
i z(i ,i )
Si •
(i ,i , i )
y •
( i )x y
n
f ( x, y, z)dS lim
0
f (i ,i , i )Si
i 1
1. 若曲面 : z z( x, y)
Si
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
(
i
)
x
y
,
(i ,i ) ( i )x y , i z(i ,i )
S1,S2,, Sn
z
直径： 1, 2, , n
（2）作和，求质量的近似值
Si •
Mi (i ,i , i ) Si ,
n
M (i ,i , i ) Si ,
i 1
（3）取极限，求质量的精确值 0
取 max{ 1, 2,, n}
n
x
则
M
lim
0
i 1
(
i
,i
,
i
) Si
(i ,i , i )
（1）请注意本题所用到的对称性原理；
（2）本题若不用对称性，会给计算带来什么困难？
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
2
3 1
解 xdS xdS xdS xdS
1
2
3
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
即 31 : y 1 x2 , 1 x 1, 0 z x 2,
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
解 xdS xdS xdS
1
2 xdS
（3）在 3 上，
3
x2 y2 1, 0 z x 2,
0
f (i ,i , i )Si
i 1
其中 f ( x, y, z)叫被积函数， 叫积分曲面.
对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分。
几点说明：
（1）对面积的曲面积分具有以下两个主要特征
• 积分和是在曲面 上作出的； • 积分和中的微元素是小块曲面的面积。
（2）当 光滑，f (x , y , z) 在 上连续时，第一类 曲面积分存在。
解 | x yz | dS 4 x yz dS (为第一卦限部分曲面)
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dx y {( x, y) |x2 y2 1, x 0, y 0}
| x yz | dS 4 x yzdS 125 5 1.
420
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
解 xdS xdS xdS xdS
z
1
2
3 z x 2
所以 xdS 2 xdS,
3
31
Dx3oz
31 : y 1 x2 ,
1 0 1 x
Dx3oz {( x, z) | 1 x 1, 0 z x 2,}
dS
f ( x, y, z)dS
n
lim
0
f [i ,i , z(i ,i )]
i 1
n
lim
0
f [i ,i , z(i ,i )]
i 1
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
(
i
)
x
y
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
(
i
)
x
y
f [ x, y, z( x, y)]
1
z 2x
(
i 1
n
并取 max{ 1, 2,, n},
若
lim
0
i 1
f
(
i
,i
,
i
)
Si
存在，且与 的分法及点 (i ,i , i ), 的取法无关，
则称该极限为 f (x , y , z) 在 上对面积的曲面积分，
记为 f ( x, y, z)dS .
积分和
n
即
f ( x, y, z)dS lim
例 2 计算| xyz | dS ,
其中 为抛物面 z x2 y2（0 z 1 ）.
解 | x yz | dS 4 x yz dS (为第一卦限部分曲面)
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dx y {( x, y) |x2 y2 1, x 0, y 0}
（3）面密度为 (x , y , z) 的空间曲面 ，其质量为
M ( x, y, z)dS
（4） 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
（5）第一类曲面积分的性质与第一类曲线积分的性质
完全相似：线性性质、有限可加性及不等式性质等。
x
,
y
)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
Dx y
1. 若曲面 : z z( x, y)
f ( x, y, z)dS
f [ x, y, z( x, y)]
1zΒιβλιοθήκη 2 x(x,
y
)
z
2 y
(
x
,
y
)
d
xd
y
Dx y
（1）确定 的方程: z z( x, y);
（2）确定 在 xoy 面上的投影区域 Dx y
故 ( x y z)ds 2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
2 (5 x)dxdy 202 d 05(5 cos )d 125 2.
Dxy
例 2 计算| xyz | dS ,
其中 为抛物面 z x2 y2（0 z 1）.
解 依对称性知：
z
积分曲面 关于 yoz 和 xoz 面对称，
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
解 xdS xdS xdS
1
2 xdS
（3）在 3 上，
3
x2 y2 1, 0 z x 2,
所以 xdS 2 xdS,
xoz
3
31
31
31 为位于 xoz 面右边的半片
所以 xdS 2 xdS,
3
31
31 为位于 xoz 面右边的半片
z z x2
Dx3oz
1 0 1 x
即 31 : y 1 x2 , 1 x 1, 0 z x 2,
Dx3oz {( x, z) | 1 x 1, 0 z x 2,}
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
1 yx2 yz2dxdz
1 d xd z 1 x2
xdS 2 x
3
Dx3oz
1 dxdz 1 x2
211
1
x
x2
dx
x2 0
dz
,
例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0所围成的空间立体的表面.
解 xdS xdS xdS xdS
f (i ,i , i )Si
i 1
z
1. 若曲面 : z z( x, y)
设 在 xoy 面上的投影为 Dx y
Si在 xoy 面上的投影为 ( i )x y
Si
1
z
2 x
z 2y
dxdy
( i )x y
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
(
i
)
x
y
其中 (i ,i ) ( i )x y