[考研数学]概率论考试复习题

概率论与数理统计练习1
一、选择题：
1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。

A.()()P A B P A +=
B.()()P AB P A =
C.()()P B A P B =
D.()()()P B A P B P A -=-
2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。

A.0.5
B.0.8
C.0.55
D.0.6
3、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。

A.0()1f x ≤≤
B.()f x 为偶函数
C.()f x 单调不减
D. ()1f x dx +∞
-∞=⎰
4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。

A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221
()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123
X X CX μ=
++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.
12 B. 13 C. 15 D. 16
二、填空题：
1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.4
2、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.6
3、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为
则= 0.3
4、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，
且161
116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为
三、计算题：
1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。

2、设A ，B 两厂产品的次品率分别为1%与2%，现从A ，B 两厂产品分别占60%与40%的一批产品中任取一件是次品，则此次品是A 厂生产的概率为多少？
3、设连续型随机变量X 的概率密度为01()0
kx x f x α
⎧=⎨⎩<<其他 ，其中,0k α>，
又已知()0.75E X =，求,k α的值。

4、现有10件产品，其中6件正品，4件次品。

从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量X ，Y 如下：
1101X ⎧=⎨⎩第次抽到正品第次抽到次品 ，10Y ⎧=⎨⎩第2次抽到正品第2次抽到次品
试在第一次抽取后放回的情况求(,)X Y 的联合概率分布和边缘概率分布。

5、设123,,X X X 是取自总体X 2(,)N μσ 的样本，试证下列统计量都是总体均值μ的无偏估计量，并通过计算指出哪一个方差最小？
（1）^1123111236X X X μ=++（2）^2123111333X X X μ=++(3)^3123112663
X X X μ=++ 6、某种电子元件的寿命服从参数是1100
小时的指数分布，现随机地抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率。

四、应用题：
1、设考生的某次考试成绩服从正态分布，从中任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分。

问在0.05的显著性水平下，可否认为全体考生这次考试的平均成绩为70分，给出检验过程。

0.025(35) 2.0301,(0.8)0.7881t =Φ=
2、设总体X 的概率密度为
(1)01()0x x f x θ
θ⎧+=⎨⎩<<其他，其中未知参数1θ->，12,,,n X X X 是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求θ的估计量。

五、证明题： 已知事件,,A B C 相互独立，求证A B +与C 也独立。

概率论与数理统计练习2
一、选择题：
1、设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）。

A. A B C ++
B.A B C ++
C.AB AC BC ++
D. ABC ABC ABC ++
2、设,A B 为任意两个事件，且A B ⊂，()1P B 0<<，则（ D ） A. ()()P A P A B < B. ()()P A P A B ≤ C. ()()P A P A B > D. ()()P A P A B ≥
3、若随机变量X 的分布为
12340.20.40.30.1X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()F x 为其分布函数，则(3.5)F =（ ） A.1 B.0.9 C.0.6 D.0.3
4、设随机变量X 的期望和方差为2,EX DX μσ==，则(
)X D μσ-=（ ） A.0 B.1 C. 2σ D. 2μσ
5、设123,,X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则（ ）统计量是μ的无偏估计量。

A. ^1123X X X μ=++
B. ^2123111222
X X X μ=
++ C. ^3123111632X X X μ=++ D. ^4123111444
X X X μ=++ 二、填空题：
1、某班级8个男生和2个女生随机排成一列，则两个女生相邻的概率为
2、如果函数()()x f x Ae x -=-∞+∞<<是随机变量的概率密度，则A =
3、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为了使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则a b -=
4、将一枚硬币掷一次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则()E X Y +=
5、设1X ，2X 都服从于标准正态分布，且相互独立，则2212Y X X =+服从于
分布，EY = ，DY = 。

三、计算题：
1、以,,A B C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用,,A B C 表示以下事件：
（1）只订日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）至少订一种报；
（5）不订阅任何报；（6）至多订阅一种报； （7）三种报纸都订阅
2、从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

3、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[,]a b 上，试求球的体积的数学期望。

4、设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为
0,()0y
e x y x
f x -⎧=⎨⎩>>其他，试求(,)X Y 关于,X Y 的边缘概率密度。

5、设随机变量,X Y 相互独立且都服从正态分布2(,)N μσ，试求：12,Z X Y Z X Y αβαβ=+=-的相关系数12Z Z ρ，其中,αβ为常数。

6、总体2(,)X N μσ ，2σ已知，问样本容量n 取多大时才能保证μ的置信水平为95%的区间的长度不大于k 。

四、应用题：
1、市质监局接到投诉后，对某金店进行质量调查，现从出售的标志18k 的项链中，抽取9件进行检测，检测结果如下：
17.3，16.6，17.9，18.2，17.4，16.3，18.5，17.2，18.1
假定项链的含金量服从正态分布2(,)N μσ，试用检测结果能否认定金店出售的是
18k 的项链（α=0.01
）？1117.5,0.742n i i x x s n =====∑ 2、设总体X 的概率分布为221232(1)(1)θθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭
，其中01θ<<，当样本值为1，1，2，2，1，3时，求未知参数θ的极大似然估计值和矩估计值。

五、证明题： 设0()1P B <<，且1212[()]()()P A A B P A B P A B +=+， 求证：1212()()()P A B A B P A B P A B +=+
已知：0.050.005(9) 1.833,(8) 3.355,(1.96)0.975t t ==Φ=，0.025 1.96u =
概率论与数理统计练习3
一、选择题：
1、设,,A B C 表示三个事件，则“,,A B C 都不发生”表示为（ ）。

A.A B C B.ABC C.A B C ++ D.A B C ++
2、在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，进行n 次独立实验，则A 至少发生一次的概率为（ ）
A. n p
B. (1)n p -
C. 1n p -
D. 1(1)n p --
3、抛两颗骰子，它们出现点数之和等于6的概率为（ ） A. 112 B. 19 C. 536
D. 16 4、随机变量X 的概率密度为2
01()0
x x f x λ⎧-≤≤=⎨⎩其他，则常数λ=（ ）
A. 1
B.2
C. 32
D. 43 5、已知随机变量X 的数学期望EX =2，方差DX =3，则2EX =（ ）
A. 1
B.5
C.7
D. 11
6、总体X 服从区间[2,5]上的均匀分布，126,,,X X X 为其一样本，61
16i i X X ==∑为样本均值，则()D X =（ ） A. 112 B. 18 C. 16 D. 34
7、正态总体2(,)X N μσ ，用样本12,,,n X X X 对未知参数2σ作假设检验，当μ未知时用统计量（ ）
A.X u =
B.X t =2212
0()
n i i X μχσ=-=∑ D.2212
0()n i i X X χσ=-=∑ 二、填空题：
1、箱中装有10件产品，其中一等品6件，二等品3件，三等品1件。

现从中任取3件，则取得的三件中仅有一件一等品的概率为 ；取得的三件中一、二、三等品各有一件的概率为 。

2、两个独立运行的电子元件，元件甲通电的概率为0.8，元件乙通电的概率为0.9。

若将两电子元件并联，则电路断电的概率为 ；若将两电子元件串联，则电路断电的概率为 。

3、若随机变量(4,0.2)X B ，则X 的概率函数{}P X m == ，
EX = ，DX = 。

4、X 为随机变量，且EX =1，DX =2，则(32)E X -+= ，(32)D X -+=
5、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为
则X 的边缘分布为 ；X 与Y 是否相互独立。

6、若123,,X X X 是来自标准正态总体(0,1)X N 的样本，则统计量
222123X X X ++ ；统计量 。

三、计算题：
1、某商场销售甲、乙、丙三家企业生产的儿童玩具，它们的供应量分别占45%，35%，20%，又已知在三家企业生产的儿童玩具中不合格率分别占1%，2%和5%。

求：（1）顾客买到不合格品的概率
（2）若某顾客买到一件不合格品，该产品为乙企业生产的概率。

2、已知随机变量X 的概率密度为220()0x x a f x -<<⎧=⎨⎩其他
， 求：（1）常数a （2）1{2}3
P X << （3）EX 与DX 3、设(,)X Y 服从矩形区域{(,)02,04}D x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布。

求：
（1）(,)X Y 的联合密度函数(,)f x y ；
（2）(,)X Y 落入区域21{(,)}D x y y x =<的概率；
（3）X 与Y 是否独立。

4、设总体X 的概率密度为
1
01()0x x f x θθ-⎧=⎨⎩<<其他，其中θ>0，12,,,n X X X 是来自总体的样本，求θ的极大似然估计量。

5、某百货商场的日销售额X 服从正态分布，今随机抽查了9个日销售额为： （单位：万元）
57.2 57.8 59.3 56.4 58.9 47.5 49.5 53.4 55
在置信度10.90α-=下，求日均销售额的置信区间。

6、某险种投保人的年龄X 服从正态分布，现随机抽取24名投保人，计算出24人的平均年龄为39岁，标准差7.2s =岁，在显著性水平α=0.05下，能否认为投保人的年龄的方差为40？
7、某产品广告费用X 与销售额Y 的关系统计资料如下表：
广告费用X （十万元） 2 3 4 5 6 7 8 9 销售额Y （十万元） 32 40 46 50 52 55 60 65 求（1）用相关系数检验Y 与X 之间是否存在显著的线性相关关系
（2）若存在显著的线性相关关系，求出线性回归方程。

0.05(8) 1.860t = 2
0.025(23)38.076χ= 2
0.975(23)11.689
χ=
概率论与数理统计练习4
一、选择题：
1、设事件A 与B 互不相容，则有（ ） A.()1P A B += B.()1P A B = C.()()()P AB P A P B = D.()1()P A P B =-
2、随意地投掷一颗均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和为8的概率是（
） A. 1
12 B. 19 C. 536 D. 1
18
3、设随机变量X 的分布律为
01230.10.30.40.2X ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，()F x 为其分布函数，则(2.5)F =（ ）
A.1
B.0.8
C.0.4
D.0
4、设(3,2)X N - ，则X 的概率密度为()f x =（ ） 2
2
x - B. 2(3)4x +- C. 2(3)4x +- D. 2
(3)
4
x +-
5、若随机变量(,)X B n p ，且EX =6，DX =3.6，则n =（ ）
A.6
B.9
C.15
D.20
6、当随机变量X 服从（ ）时，有EX =DX 。

A.指数分布
B.泊松分布
C.均匀分布
D.正态分布
7、设(,)X Y 是二维离散型随机向量，则X 与Y 独立的充要条件是（ ）
A. ()E XY EX EY =⋅
B. ()D X Y DX DY +=+
C. (,)0Cov X Y =
D. {,}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y =====
8、设随机变量X 与Y 相互独立且同分布：
1{1}{1}{1}{1}2
P X P Y P X P Y =-==-===== 则下列各式中正确的是（ ）
A.{}1P X Y ==
B.1{}2P X Y ==
C.1{0}4P X Y +==
D.1{1}4
P XY == 9、若总体2(,)X N μσ ，其中μ未知，2σ已知，求参数μ的置信区间时所用的随机变量为（ ）
A.X U =
B.X T =
C.2
2(1)n S W σ-= D.2
11()n i i Z X n μ==-∑ 10、设总体2(,)X N μσ ，其中μ，2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体的样本，
则2σ的无偏估计量为（ ） A.211()n i i X X n =-∑ B.211()n i i X n μ=-∑ C.211()1n i i X X n =--∑ D.21
1()1n i i X n μ=--∑ 二、填空题：
1、若事件A B ⊂，且()P A =0.3，()P B =0.8，则()P B A -=
2、10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽取两件产品，则第一次取到次品后，第二次取到正品的概率为 ，两次都取次品的概率为 。

3、已知随机变量X 的概率密度函数为()f x ，则()P a X b ≤≤= 。

X 的分布函数()F x = 。

4、若随机变量(2)X P ，则X 的概率分布为 。

5、二维随机向量(,)X Y 服从区域D 上的均匀分布，其中区域{(,)1,1}D x y x y =≤≤，则X 的边缘概率密度为1()f x = 。

6、若随机变量X 与Y 的协方差存在，则()D X Y += 。

7、将一枚硬币掷n 次，X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数ρ= 。

8、设总体X 的期望EX μ=，方差2DX σ=，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，
^
111n i i X n μ==∑，^211k i i X k μ==∑ ，（k n <）都是μ的无偏估计量，则在^1μ与^2μ中
更有效。

9、总体(,4)X N μ ，其中μ未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，则μ的置信度为1α-的对称置信区间的长度为 。

10、对正态总体的期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受0H ：0μμ=，那么在显著水平0.01下对假设0H ：0μμ=应 。

三、计算题：
1、将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收为B 的概率是0.02，而B 被误收为A 的概率是0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1，求（1）接收站收到信息A 的概率；（2）若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率为多大？
2、设随机变量X 的概率密度为2
01()0a bx x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他，且712
EX =， （1）确定常数,a b ；（2）求1{}2
P X ≥；（3）求DX 。

3、设总体2(,)X N μσ ，12,,,n X X X 是来自总体X 的一组样本，样本均值
1
1n i i X X n ==∑。

（1）写出12,,,n X X X 的联合概率密度及X 的概率密度（2）当n =6，μ=10，σ=3时，求{1013}P X <<。

4、设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，且总体X 的概率密度为
101()0x f x ≤≤=⎪⎩其他，其中0θ>，θ为未知参数，求θ的极大似然估计量。

5、抽测某批烟草的尼古丁含量（单位：mg ），得到10个样本值
18，24，27，21，26，28，22，31，19，20
假定烟草的尼古丁含量服从正态分布2(,)N μσ，试求这批烟草尼古丁平均含量μ的90%的置信区间（23.6, 4.30x s ==）。

6、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，样本标准差为15，问在显著水平α=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
(2.45)0.99286Φ=，0.05(9) 1.833t =，0.025(35) 2.0301t = ，20.025(35)53.203χ=，
20.975(35)20.569χ=
概率论与数理统计练习4
一、选择题：
1、对于任意两事件A 与B ，()P A B -等于（ ）。

A.()()P A P B -
B.()()()P A P B P AB -+
C.()()P A P AB -
D.()()()P A P B P AB +-
2、设A 、B 是两个互不相容事件，且()0,()0P A P B >>，则结论正确的是（ ）
A.()()()P AB P A P B =
B.()0P A B =
C.()()P A B P A =
D.()0P A B >
3、事件A 与B 相互独立的充要条件是（ ）
A.A B +=Ω
B.()()()P AB P A P B =
C.AB =Φ
D.()()()P A B P A P B +=+
4、射击3次，记i A =｛第i 次命中目标｝（i =1，2，3），则“恰有一次命中目标”的事件概率为（ ）。

A. 123123123A A A A A A A A A ++ B.123A A A
C.123A A A Ω-
D. 12132()()A A A A A +-+-
5、已知X 服从二项分布，且EX =3.6，DX =2.16，则二项分布的参数为（ ）
A. 6,0.6n p ==
B.9,0.4n p ==
C.12,0.3n p ==
D.36,0.1n p ==
6、设2(3,1),()X N x Φ 为标准正态分布函数，则{11}P X -≤≤=（ ）
A. 2(1)1Φ-
B.(4)(2)Φ-Φ
C.(4)(2)Φ--Φ-
D.(2)(4)Φ-Φ
7、设X 、Y 是任意两个随机变量，DX ，DY 均存在且为正，则下列各式中错误的是（ ）
A.X 与Y 相互独立，则(,)0Cov X Y =
B.X 与Y 相互独立，则()E XY EX EY =⋅
C.X 与Y 相互独立，则()D X Y DX DY +=+
D.若0XY ρ=，则X 与Y 相互独立
8、设12,,,n X X X 为总体X 的样本，且2(,)X N μσ ，2,μσ均未知，则下面（ ）不是统计量。

A.X
B.11n i i X X n ==∑
C.2211()1n i i S X X n ==--∑
D.21
1()n i i X n μ=-∑ 9、总体未知参数θ的估计量^θ是（ ）
A.随机变量
B.总体
C.θ
D.均值
10、设X 和2S 是来自正态总体2(,)N μσ的样本均值和样本方差，样本容量为n ，
则02(X t n αμ->- ） A. 00:H μμ=的拒绝域 B.00:H μμ=的接受域
C.表示μ的一个置信区间
D.表示σ的一个置信区间
二、填空题：
1、若事件A 、B 相互独立，且()P A =0.3，()P B =0.2，则()P A B +=
2、将一枚硬币连续掷两次，则正面不出现的概率为
3、设随机变量(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则()x Φ+()x Φ-=
4、设总体2(,)X N μσ ，12,,,n X X X 为总体X
X 5、设,αβ分别是假设检验中犯第一类错误和第二类错误的概率，为了同时减少α和β，只有
三、计算题：
1、已知男性中色盲占5%，女性中色盲占2.5%。

某班共有男生40人，女生20人，现从该班随机地挑选一人。

（1）求此人是色盲患者的概率；（2）若经检查，此人是色盲患者，问他是男性的概率多大？
2、设随机变量X
的分布函数00()0111x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
，（1）确定常数A
（2）计算{00.25}P X ≤≤；（3）求密度函数()f x ；（4）求,EX DX 。

3、设总体X 服从正态分布2
(10,3)N ，126,,,X X X 是它的一组样本，6116i i x x ==∑，求11x ≥的概率。

4、设12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，总体X 的分布列为1{}(1),1,2,
x P X x p p x -==-= ，p 未知，01p <<，求参数p 的极大似然估计量。

5、对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826（cm ），样本标准差为0.042（cm ），求滚珠轴承均值为95%的置信区间。

6、某炼铁厂铁水含碳量2(,)X N μσ ，现对操作工艺进行了某些改变，从中抽
取7炉铁水的试样，测得含碳量X 的样本均值17x =，71
4.36i i x ==∑，样本方差72
21
1()0.03516i i s x x ==-=∑，问是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为20.12？（α=0.05）
(0.82)0.7939Φ=，0.025(195) 1.96t =，
20.975(6) 1.237χ=，20.025(6)14.449χ=。