新教材高一数学期末复习测试卷含详解

新教材高一数学期末复习测试卷
考试时间：120分钟
满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知函数()3
24f x x x =+-恰有一个零点，则该零点所在区间是（
）
A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,32．从一副52张的扑克牌中任抽一张，“抽到K 或Q ”的概率是（）A ．
126
B ．
113
C ．
326
D ．
213
3．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（
）
A ．()M P S
B ．()M P S
C ．()U M P S ⋂⋂ð
D ．()U M P S
⋂⋃ð4．已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,m ,40,50;
乙组：24,n ,33,44,48,52.
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
m
n
等于（）A ．
4
3
B ．107
C ．
12
7D ．74
5．幂函数的图像过点12,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，则它在[]1,2上的最小值为（
）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．1
2
6．设6log 4a =，9log 5b =，12log 8c =，则（）
A ．a b c
<<B ．b a c
<<C ．b c a <<D ．c a b
<<7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数322--=-x x
y x x
的图像大致是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数()2
4a x x x f =-+，()5g x ax a =+-，若对任意的[]11,3x ∈-，总存在
[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（
）
A ．(]
,9-∞-B ．[]
9,3-C ．[)
3,+∞D ．(][)
,93,-∞-+∞ 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（
）
A ．恰有1名女生和恰有2名女生
B ．至少有1名男生和至少有1名女生
C ．至少有1名女生和全是女生
D ．至少有1名女生和全是男生
10．下列化简正确的是（）
A ．
B ．21log 3
2
2
3
-=
C
D ．x
11．若样本1a x +，2a x +，…，n a x +的平均值是5，方差是4，样本112x +，212x +，…，
12n x +的平均值是9，标准差是s ，则下列结论中正确的是（
）
A ．1
a =B ．2
a =C ．16
s =D ．4
s =12．已知函数()2
21,223,2x x f x x x x +≥⎧=⎨+-<⎩
，关于函数()f x 的结论正确的是（）
A ．()f x 的单调递增区间是[)2,+∞
B ．()f x 的值域为[)
4,-+∞C ．()()412f f -=D ．满足()2
40f x -=成立的x 的值有4
个
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．已知命题p ：[]1,1x ∃∈-，230x x a +>-.若命题p ⌝为真命题，则实数a 的最大值是______.
14．设函数()21
21x
f x x
=-
+，则使得()()31f x f x >-成立的x 的取值范围是_______。

15．已知函数2,40
()2e ,0x
x x f x x ⎧+-≤<=⎨-≥⎩，若存在123,,x x x （123x x x <<），使()()123()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是______.
16．若1
()ln 2f x a b x
=+
+-是奇函数，则=a _____，b =______．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．化简求值：
(1)()()20.523
03274920.008π18925-
-⎛⎫⎛⎫
-+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
19-
(2)5log 3
50.55
51
log 352log log log 145;
50
--18．已知集合{}22
|240A x x ax a =-+-≤,{}|12=-<<B x x ．
(1)若3a =，求A B ⋃；
(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；
(3)如果袋中装的是4个红球，n 个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为
2
5
，那么n 是多少？
20．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样
的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：
[)20,30，[)30,40，
L ，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)已知样本中分数在[)40,50的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的第三四分位数；
(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.21．已知函数()e e 1
x x a
f x +=+为定义在R 上的奇函数.
(1)求a 的值；
(2)根据单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；
(3)若()()2
210f mt f mt -+-<对任意实数t 恒成立，求实数m 的取值范围.
22．已知函数()2
f x x x =-．
(1)解关于x 的不等式()f x a ax ≥-；
(2)若2t ∀>-，关于x 的不等式()3f x x a ≤-+在[]2,t -上恒有解，求实数a 的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据函数零点存在定理求解.
【详解】因为函数()3
24f x x x =+-在R 上单调递增.
又因为()()()3
1121470f -=-+⨯--=-<，()040f =-<，()3
1121410f =+⨯-=-<，
()32222480f =+⨯-=>，()3332340f =+⨯->，
所以()3
24f x x x =+-的零点所在的区间为()1,2.
故选：C 2．D
【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】52张的扑克牌中,K 有4张，Q 也有4张，所以“抽到K 或Q ”的概率为825213
=，故选：D 3．C
【分析】根据交并补的概念和韦恩图判断即可.
【详解】
A 选项：()M P S = ⑤，故A 错；
B 选项：()M P S = ③⑤⑥⑦⑧，故B 错；
C 选项：M P ⋂=③⑤，U S =ð①②③④，所以()U M P S = ð③，故C 正确；
D 选项：()U M P S = ð①②③④⑤，故D 错.故选：C.4．A
【分析】根据百分位数的定义，求出,m n 的值即可得答案.【详解】解：因为甲乙两组都有6个数据，
30%6 1.8,50%63⨯=⨯=，
所以第30百分位数为30n =，第50百分位数为373344
22
m ++=，所以40m =，所以
404303
m n ==.故选：A 5．D
【分析】代入点坐标得到幂函数解析式，根据幂函数单调性得到最值.
【详解】设幂函数为()a
f x x =，函数过12,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，则()()1222a f -=-=-，故1a =-，
()1f x x -=，函数在[]1,2单调递减，故()()1min 1
222
f x f -===.
故选：D 6．B
【分析】利用对数运算性质和对数函数单调性分别求得a ，b ，c 所在的范围，即可得到a ，b ，c 的大小顺序.
【详解】43
66644log 4log 4log 63a ==>=，则34
a >
4399944log 5log 5log 93b ==<=，则34
b <
4312121244log 8log 8log 123c ==>=，则34
c >
所以b a <，b c <．
又54
66655log 4log 4log 64a ==<=，则45
a <
5412121255log 8log 8log 124c ==>=，则4
5
c >
，所以a c <．综上，b a c <<，故选：B ．7．A
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D ；当01x <<时，()0f x <，可排除C ；由()()()238f f f ><，可排除B.
【详解】函数()()()
3222211x x x x
f x x x x x x ----==--+，由30x x -≠，即0x ≠且1x ≠-且1x ≠，故函数的定义域为()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞，由()()332222x x x x
x x x x x
---+---===
-，
所以函数()322x x
f x x x
--=-为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除D ；
当01x <<时，22x x ->，3x x <，所以()0f x <，可排除C ；
由()5
28
f =，()21364f =，()21845843008f =，即()()()238f f f ><，可排除B.
故选：A.8．D
【分析】将问题化为在[]1,3-上()f x 值域是()g x 值域的子集，利用二次函数性质求()f x 值域，讨论a<0、0a =、0a >结合一次函数性质求()g x 值域，即可确定参数范围.【详解】要使对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立，即()f x 在[]1,3-上值域是()g x 在[]1,3-上值域的子集，
2()(2)4f x x a =-+-开口向上且对称轴为2x =，则[]1,3-上值域为[4,5]a a -+；
对于()5g x ax a =+-：
当a<0时()g x 在[]1,3-上值域为[25,52]a a +-，
此时，0
254525a a a a a <⎧⎪
+≤-⎨⎪-≥+⎩
，可得9a ≤-；
当0a =时()g x 在[]1,3-上值域为{5}，不满足要求；当0a >时()g x 在[]1,3-上值域为[52,25]a a -+；
此时，0255524a a a a a >⎧⎪
+≥+⎨⎪-≤-⎩
，可得3a ≥；
综上，a 的取值范围(][),93,-∞-+∞ .故选：D
9．AD
【分析】逐个选项分析事件之间是否有同时发生的可能性再判断即可.
【详解】A 中两个事件是互斥事件,恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生,它与恰有2名女生不可能同时发生，A 是；
B 中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生，B 不是；
C 中两个事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情况，C 不是；
D 中两个事件是互斥事件,至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D 是.故选：AD 10．BC
【分析】将根式转化为分数指数幂，结合对数运算性质得到正确答案.
【详解】
143
1233===，A 错误；
2231log 3log 2
22233
2-=÷=÷=
，B 正确；)
111112
3
2
3
2
99⎛⎫⎛⎫
=
== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭C 正确；
可得到0x <==D 错误.故选：BC 11．AD
【分析】由1122()2i i x x a a =+-++可得25219a ⨯-+=，解得1a =；再由222416s =⨯=可
得4s ==.
【详解】解：因为样本1a x +，2a x +，…，n a x +的平均值是5，方差是4，样本112x +，212x +，…，12n x +的平均值是9，
又因为1122()2i i x x a a =+-++，
所以样本112x +，212x +，…，12n x +的平均值为25219a ⨯-+=，解得1a =；
所以样本1a x +，2a x +，…，n a x +即为11+x ，21+x ，…，1+n x ，方差222416s =⨯=，
所以标准差4s ==.故选：AD.12．BD
【分析】根据函数的解析式可得函数的图象，结合图象及条件逐项分析即得.【详解】由题可得函数的图象，
由图象可得函数()f x 的单调递增区间是[)1,-+∞，故A 错误；函数()f x 的值域为[)4,-+∞，故B 正确；
由题可得()()2
442435f -=--⨯-=，()()()4525111f f f -==⨯+=，故C 错误；
由()2
40f x -=，可得()2f x =或()2f x =-，则函数()y f x =的图象与2y =±的交点的横
坐标即为方程的根，
结合函数的图象可得满足()2
40f x -=成立的x 的值有4个，故D 正确.
故选；BD.13．－4
【分析】先求出p ⌝，然后由命题p ⌝为真命题，可得23a x x ≤-+在[1,1]-上恒成立，再求出
23x x -+的最小值即可.
【详解】因为命题p ：[]1,1x ∃∈-，230x x a +>-，所以命题p ⌝：[]1,1x ∀∈-，230x x a -+≤，因为命题p ⌝为真命题，
所以23a x x ≤-+在[1,1]-上恒成立，令23,[1,1)](x x x f x +∈-=-，对称轴为3322
x =-
=-，所以()f x 在[1,1]-上单调递增，所以()()min 1134f x f =-=--=-，所以4a ≤-，
所以实数a 的最大值为4-，故答案为：4-.14．11,42⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【分析】证明函数()f x 是偶函数，在0x ≥是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解．【详解】()f x 的定义域是R ，22
11()2
2()1()1x
x
f x f x x x
--=-
=-=+-+，()f x 是偶函数，0x ≥时，设120x x ≤<，
1
2
22x x <，2212
x x <，2212011x x <+<+，从而2212
1111x x >++，所以122212112211x
x x x -
<-++，即12
()()f x f x <，2
1()21x
f x x =-+是增函数，不等式()()31f x f x >-化为()()31f x f x >-，所以31x x >-，22(31)x x >-，解得1142
x <<．故答案为：11,42⎛⎫
⎪
⎝⎭
15．[4,ln 24)--.
【分析】先画出函数图象，由图可知12(,0),(,0)x x 关于点(2,0)-，从而可得124x x +=-，然后当0x ≥时，求出函数的零点，则可求出3x ，进而可求出结果.
【详解】()f x 的图象如图所示，
当0x ≥时，()2e x f x =-，由()2e 0x f x =-=，得ln 2x =，
因为存在123,,x x x （123x x x <<），使()()123()f x f x f x ==，
所以由图可得12(,0),(,0)x x 关于点(2,0)-，30ln 2x ≤<，
所以124x x +=-，
所以1234ln 24x x x -≤++<-，
即123x x x ++的取值范围是[4,ln 24)--，
故答案为：[4,ln 24)--.
16．14-##0.25-ln 4
【分析】根据奇函数定义解决即可.【详解】因为1()ln 2f x a b x
=++-是奇函数，所以其定义域关于原点对称，由102a x
+≠-可得，()()2210x a ax -+-≠，所以212a x a +=
=-，解得14a =-，所以函数的定义域为(,2)(2,2)(2,)-∞--+∞ ，
因为()f x 在0x =处有定义，即(0)0f =，所以1ln 04
b +=，解得ln 4b =，故答案为：14
-；ln 417．(1)1
(2)1
【分析】（1）根据指数幂的运算进行化简求值；
（2）根据对数的运算性质进行化简求值.
【详解】（1）原式
()20.5
3222333372137284870.2125212325923259993---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-=-+⨯+=+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式
1112
255552523550log 352log 2log 50log 143log 2log 23log 1252114-⨯=-+--=+-=-=18．(1){}
|15A B x x ⋃=-<≤(2)[0,1]
【分析】（1）由已知确定集合A ，再根据集合的并集运算即可；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，列不等式求解，即可得实数a 的取值范围．
【详解】（1）解：若3a =，则{}{}2|650|15A x x x x x =-+≤=≤≤，又{}
|12=-<<B x x 所以{}|15A B x x ⋃=-<≤；
（2）解：{}{}22|240|22A x x ax a x a x a =-+-≤=-≤≤+，
因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，
所以2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩
，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[0,1]．19．(1)
25(2)7
15
(3)2
n =【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；
（2）结合（1）求解即可；
（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可.
【详解】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有10990⨯=（种）可能，即()90n Ω=，设事件A =“两次取出的都是红球”，则()4312n A =⨯=，
设事件B =“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则()4624n B =⨯=，
设事件C =“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则()6424n C =⨯=，
设事件D =“两次取出的都是绿球”，则()6530n D =⨯=，
因为事件,,,A B C D 两两互斥，
所以P （第二次取到红球）()12242905
P A C +=== .（2）由（1）得，P （两次取到的球颜色相同）()123079015P A D +==
= ；（3）结合（1）中事件，可得()4312n A =⨯=，()()()43n n n Ω=++，
因为()()
()25n A P A n ==
Ω，所以()()55123022n n A Ω=⨯
=⨯=，即()()4330n n ++=，解得2n =（负值舍去），故2n =.
20．(1)20人
(2)78.75(3)117
4
【分析】（1）（2）由频率分布直方图数据求解，
（3）由平均数与方差的计算公式求解，
【详解】（1）由频率分布直方图知，分数在[)50,90的频率为()0.010.020.040.02100.9+++⨯=，在样本中分数在[)50,90的人数为1000.990⨯=（人），
在样本中分数在[)40,90的人数为95人，所以估计总体中分数在[)40,90的人数为
4000.95380⨯=（人），总体中分数小于40的人数为20人
（2）测试成绩从低到高排序，样本中分数在[)40,70的频率为0.4，
样本中分数在[)40,80的频率为0.8，则75%分位数在[)70,80之间，所以估计测评成绩的75%分位数为0.750.47010708.7578.750.80.4
-+⨯=+=-.（3）总样本的均值为31708072.544
⨯+⨯=，所以总样本的方差为()()222311171072.5701272.580444
s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦总21．(1)1a =-；
(2)证明见解析；
(3)(]8,0-.
【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，利用()00f =，求得a ；
（2）利用作差法证明即可；
（3）由（2）知，函数()f x 为R 上单调递增的奇函数，故()()2210f mt f mt -+-<等价于
2210mt mt -+<对任意实数t 恒成立，分类讨论0m =和0m ≠两种情况，从而求出m 的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数()e e 1
x x a f x +=+为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，得1a =-，
经检验符合题意，
所以1a =-；
（2）证明：根据（1）知()e 121e 1e 1
x x x f x -==-++，1x ∀，2R x ∈且12x x <，
则()()()
()()1221122e e e 1e 1x x x x f x f x --=++，
因为12x x <，所以12e e 0x x -<，1e 10x +>，2e 10x +>，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
所以函数()f x 在R 上单调递增；
（3）解：由（2）知，函数()f x 为R 上单调递增的奇函数，
()()2210f mt f mt -+-<，即()()
221f mt f mt -<--，
即()()221f mt f mt -<-+，则221mt mt -<-+，
所以2210mt mt --<对任意实数t 恒成立，
当0m =时，22110mt mt --=-<，显然成立；
当0m ≠时，20Δ80m m m <⎧⎨=+<⎩
，解得80m -<<，综上可知，实数m 的取值范围是(]8,0-.
22．(1)答案见解析
(2)[)
11,+∞【分析】（1）原不等式等价于()()10x a x +-≥，分类讨论a 与1-的关系即可求解；
（2）原不等式等价于223x x a -+≤在[]2,t -上恒有解，令()223h x x x =-+，故()min a h x ≥恒
成立，分为21t -<<和1t ≥两种情况讨论，求出()min h x ，进而得解.
【详解】（1）原不等式即()()()2110x a x a x a x +--=+-≥．
当<1a -，即1a >-时，解集为(][),1,a -∞-⋃+∞；
当1a -=，即1a =-时，解集为R ；
当1a ->，即1a <-时，解集为(][),1,a -∞⋃-+∞．
（2）不等式()3f x x a ≤-+在[]2,t -上恒有解，即223x x a -+≤在[]2,t -上恒有解．令()()2
22312h x x x x =-+=-+，则函数()h x 的图象的对称轴为直线1x =．若21t -<<，则()()2min 23h x h t t t a ==-+≤恒成立，
则()()2
222311a ≥--⨯-+=；
若1t ≥，则()()2min 1123h x h a ==-+≤，解得2a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为[)11,+∞．。