浙江省2018版高一数学人教版A版必修一学案：第二单元 习题课 基本初等函数(Ⅰ)

习题课　基本初等函数(Ⅰ)
学习目标　1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．
1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76<60.7<log 0.76 B ．0.76<log 0.76<60.7C ．log 0.76<60.7<0.76
D ．log 0.76<0.76<60.7
解析　由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．
答案　D
2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析　因为0<a <1，所以函数y ＝a x 的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案　C 3．lg 32－lg ＋lg ＝________.
1
24385解析　原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)1
24
33
2125
21
21
21
21
2＝lg 10＝.
1
21
2
答案　12
4．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．解析　∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，
∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．答案　(－∞，3]
类型一　指数与对数的运算【例1】　计算：
(1)2log 32－log 3＋log 38－5log 53；
32
9(2)0.064－－
＋[(－2)3]
－＋16－0.75＋0.01.
13
(－7
8)43
12
解　(1)原式＝log 3
－3＝2－3＝－1.
22×832
9
(2)原式＝
0.4
3×
－1＋2－4＋
2
4×
＋0.1＝－1＋＋＋＝.
5
211618110143
80规律方法　指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；
(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．
【训练1】　计算：
(1)－0＋0.25×
－4；
3
(－4)3(1
2)
12
(－12
)
(2)log 3＋2log 510＋log 50.25＋71－log 7
2.
4
27
3解　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.
1
22(2)原式＝log 3
＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 7
2＝log 33－＋log 552＋＝－＋2＋＝.
1
4
72147221
4类型二　指数、对数型函数的定义域、值域【例2】　(1)求函数y ＝x 2
－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域；
(1
2
)
(2)已知－3≤
x ≤－，求函数f (x )＝log 2·log 2的最大值和最小值．
log
1232x 2x
4解　(1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时，
(1
2)
t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，
∴5≤y ≤1，故所求函数的值域为
.(1
2)
(1
2)
[132，
12]
(2)∵－3≤
x ≤－，∴≤log 2x ≤3，
log
12323
2∴f (x )＝log 2·log 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝
2－.
x
2x
4(
log2x －
3
2)
1
4当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝时，
3
2f (x )min ＝－.
1
4规律方法　函数值域(最值)的求法
(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围．(2)配方法：适合二次函数．
(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝中，由x 2＝≥0可求y 的范围，可得值1－x 2
1＋x 21－y
1＋y 域．
(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．
【训练2】　(1)函数f (x )＝＋的定义域是________．3x 2
1－x lg (3x ＋1)(2)函数f (x )＝Error!的值域为________．解析　(1)由题意可得Error!解得0≤x <1，则f (x )的定义域是[0,1)．
(2)当x ≥1时，x ≤
1＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，
log
12log
12所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．答案　(1)[0,1)　(2)(－∞，2)
类型三　指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
【例3】　(1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝a x ＋1的图象大致是( )
(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )1
2A ．
B ．
C ．(1，)
D ．(，2)
(0，
2
2)
(22
，1
)
22解析　(1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f
(x )＝a x ＋1＝a ·a x ，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．
(2)∵0<x ≤时，1<4x ≤2，要使4x <log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知1
2只需2<log a x ，
∴Error!即Error!对0<x ≤时恒成立，
1
2∴Error!解得<a <1，故选B ．2
2答案　(1)A
(2)B
规律方法　函数图象及应用
(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．
(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．
【训练3】　(1)函数y ＝Error!的图象大致是( )
(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．
解析　(1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．
(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．
当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，
则0<3a <2，即0<a <，
2
3综上所述，a 的取值范围是
.
(0，
2
3)答案　(1)B (2)
(0，
2
3)
类型四　比较大小问题
【例4】　比较下列各组中两个值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log 53，log 63，log 73.
解　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log 35<log 36<log 37，∴log 53>log 63>log 73.
规律方法　数(式)的大小比较常用的方法及技巧
(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．(2)常用的技巧：
①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
【训练4】　(1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c B ．b >a >c
C ．b >c >a
D ．c >b >a
(2)设a ＝2，b ＝
3，c ＝0.3，则( )
log
13log
12(1
3
)
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
解析　(1)∵a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝20.3>20＝1,0<c ＝0.30.2<0.30＝1，∴b >c >a .故选C ．
(2)∵a ＝2<0，b ＝
3<0，
3<2<2，c ＝0.3>0.∴b <a <c .故选D ．
log
13log
12log
12log
12log
13(1
3
)
答案　(1)C (2)D
类型五　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
【例5】　已知函数f (x )＝lg 在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范
1＋2x ＋a ·4x
3
围．
解　因为f (x )＝lg
在x ∈(－∞，1]上有意义，
1＋2x ＋a ·4x
3
所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，
所以a >－在(－∞，1]上恒成立．
[(1
4)x ＋
(1
2)x ]令g (x )＝－，x ∈(－∞，1]．
[(1
4)x ＋
(1
2)x ]由y ＝－x 与y ＝－x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，(1
4)
(1
2)
所以g (x )max ＝g (1)＝－＝－.
(14
＋
12)3
4因为a >－在(－∞，1]上恒成立，[(14)x ＋
(12)x ]所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－.3
4故所求a 的取值范围为.
(－3
4，＋∞
)
规律方法　函数性质的综合应用
指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．
【训练5】　函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解　(1)要使函数有意义，则有Error!解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.
由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－＝.
1
2
1
21．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。