全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-y

y+2z

的值为（ ）

（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）1

2

【答】B ．

解：设 2x =3y-x =5z+x =1

k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，

即x=2k ，y=6k ，z=3k 。 所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =1

3

，故选B.

2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）

（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.

解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032

=-+x x

的两根，则 1942

231+-x x 等于（ ）

（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.

解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.

4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）

214

a - （C ）12 （D ）14

【答】D.

解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为

1(1)(1)(2)34244

a a

b a b a b

+++++++++=

， 中位数为 (1)(1)44224

a a

b a b

++++++=

， 于是 4423421444

a b a b ++++-=. 故选D.

5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△

AEG 的面积为（ ）

（A ）232

a （B ）223a （C ）21

2a （D ）2a

【答】C ．

6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4

=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形

（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.

解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，

∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2

.

∴△

ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法

a 4

+b 2c 2

- a 2c 2

-b 4

=0， （a 4

-a 2c 2

）-（-b 2c 2

+b 4

）=0 （a 2

-22c ）2 -（22

c -b 2）2

=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2

. ∴△

ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.

7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万

元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据： 5

1.2

2.5≈，6

1.2 3.0≈，

71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）

（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.

8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）

（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.

解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=

2

1AB = 3 由勾股定理得BE =

33

∴21

BC

A s △AC ·BE =32

9 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是

323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △32

3AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =32

9

∴AD = 2 故选A

9.若m=20132

+20132

×20142

+20142

，则m ( )

（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.

解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142

=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2

=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)

2

所以(2013×2014+1)2

是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨

++=⎩

，，则222

ab bc ca

a b c ++++的值为（ ） （A ）12-

（B ）0 （C ）1

2

（D ）1 【答】A.

解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=， 故 2

()0a b c ++=．于是 2

221()2

ab bc ca a b c ++=-++， 所以

2221

2

ab bc ca a b c ++=-

++．故选A. 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+， 43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．

【答】1006-

12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ． 【答】22

解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是22.或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。

13、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2014，a c -＝2013．若