七年级数学《三角形的外角》学案

7.2.2三角形的外角
【知识脉络】
【学习目标】
1、使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质
2、利用学过的定理论证这些性质
3、能利用三角形的外角性质解决实际问题
【要点检索】
（1）三角形的外角的性质；
（2）三角形外角和定理；
（3）三角形外角的定义及定理的论证过程。

【方法导航】
（一）学习诱导
【课前热身】
1、上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？
2、那什么叫三角形的外角呢？
三角形的一边与（）组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角的性质
三角形的一个外角等于（）。

三角形的一个外角大于任何一个（）。

【头脑风暴】
三角形的外交和三角形的三个内角之间都有什么样的关系呢？
【追根索源】
∠1是△ABC 的一个外角， ∠1与图中的其他角有什么关系呢？ 能证明你的结论吗？
证明：∵∠1+∠CAB=180。

（ ） ∠B+∠C+∠CAB=180。

（ ）
∴∠1=∠-----+∠-----( 等量代换 ) 【学用结合】
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120°
4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )
A.等腰直角三角形;
B.一般的等腰三角形;
C.等边三角形;
D.等腰钝角三角形 5.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度.
6.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
7.如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
【拓展提升】
1、如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的
度数.
2、(2004·吉林)如图所示,∠CAB 的外角等于120°,
∠B 等于40°,则∠C 的度数是_______.
_4 _3 _2 _1
_D
_C _B _A
_B
_A
D C
A
120︒
40︒
C
B A
【再攀高峰】（1）已知△AB C 中，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。

（2）已知BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。

（3）已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系。

由前面的探索同学们可以发现三角形三个角（或外角）
的平分线所夹的角与第三个内角之间存在着一定的数量关系。

（二）为你支招：
三角形外角的定义及定理是证明教的相等和不等问题的重要依据，必要
B C A E
B C E
时要添加辅助线来构造内、外角的位置关系从而确定数量关系。

【达标检测】
一、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共24分）
1、五条线段长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm ，以其中三条线段为边长，则可以组成 个三角形。

2．三角形的一个外角小于它相邻的内角，这个三角形是 三角形． 3、若a,b,c 为三角形的三边长，此三角形周长为18cm ，且，a b c b a 2,2==+则a=______,b=______,c=______
4．如图，有 个三角形，∠l 是 的外角，∠ADB 是 的外角．
5.在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B 、∠C 越来越大，若∠A 减少α度，∠B 增加β度，∠增加γ度，则α、β、γ三者之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿。

6.如图，△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝78°，点O 为△ABC 角平分线的交点，BO 的延长线交AC 于点D ，则∠BDC 的度数为＿＿＿＿＿。

7.如图，已知AD ∥BC ，且EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA ，则EA 与EB 的位置
关
系
是 。

E
D
C
B
A
C
B
A
第5题图 D O
C
B
A
第6题图
8.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是 。

二、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共24分）
1．如图所示，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、BC 的中点，则下列说法不正确的是( )
A ．DE 是△BDC 的中线
B ．BD 是△AB
C 的中线 C ．A
D ＝DC ，B
E ＝EC D ．图中∠C 的对边是DE
2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那∠这个三角形是
( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定
3、等腰三角形的一边长为7，另一边长为4，则此三角形的周长是（ ） A 、18 B 、15 C 、18或15 D 、无法确定。

4、适合条件C
B A ∠=∠=∠31
21的△ABC 是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、任意三角形
5、如图，点D 、E 分别是AB 、AC 上
E
D
C
B A
α
γ
β
b
a
的点，连BE 、CD ，若∠B ＝∠C ，则∠AEB 与∠ADC 的大小关系是（ ）
A 、∠ADC ＞AE
B B 、∠AD
C ＝∠AEB C 、∠ADC ＜∠AEB
D 、不能确定
6、如图，a ∥b ，则下列式子中值为180°的是（ ）
A 、γβα-+
B 、γβα++
C 、αγβ-+
D 、γβα+- 7、两根木棒分别为5cm 和7cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（ ）种。

A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
8．把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，∠A 与∠1十∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是
( ) A ．∠A ＝∠l ＋∠2
B ．2∠A ＝∠1＋∠2
C ．3∠A ＝2∠1十∠2
D ．3∠A ＝2(∠1＋∠2)
三、用心做一做，马到成功！（共52分）
1、如图所示中的三个三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
第7题图
第8题图
2、如图，襄樊有三个车站A 、B 、C 成三角形，一辆公共汽车从B 站前往到C 站。

（1）当汽车运动到点D 点时，刚好BD ＝CD ，连结线段AD ，AD 这条线段是什么线段有？这样的线段在△ABC 中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E 时，发现∠BAE ＝∠CAE ，那么AE 这条线段是什么线段呢？在△ABC 中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点E 时，发现∠AFB ＝∠AFC ＝90°，则AF 是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条？ 3.已知CM 是△ABC 的边AB 边上的中线． (1)请你作出△AMC 中AM 边上的高； (2)若△ABC 的面积为40，求△AMC 的面积；
(3)若△AMC 的面积为12，且AM 边上的高为4，求AB 长．
四、用心做一做，马到成功！
1、如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，P 为BC 上一点，设∠CDP ＝α，∠CPD ＝β，当点P 在BC 上移动时，猜想α，β与∠B 的关系，并说明理由。

2、如图，试判断AB 与CD 平行吗？并说明理由。

C
F
E
D B
A
2
1
O
D
C
A
B
四（2）图
α
β
P
B
A
C
D
四（1）图
,
652,151,80︒=∠︒=∠︒=∠BOD。