七年级有理数知识点及典型例题

1.1 有理数
【知识点清单】
（一）学习温故 小学里学过的数可分为三类: 、 和 ，它们都是由于实际需要而产生的。

（二）正数
一、正数：大于0的数叫做正数。

如：2，0.6，3
7，，…… ※正数都比0要 。

二、正数的表示方式：在正数前面加上一个“＋”，读作“正”号。

如：3+，11
10+
， 1.9+，…… 其中“＋”号能够省略。

（三）负数
一、负数：在正数前面加上一个“－”号，如此的数叫做负数。

如：2-，0.6-，3
7-
，…… ※负数都比0要 。

二、负数的表示方式：一个负数前的“－”号不能够省略。

3、0既不是正数也不是负数。

4、正数和负数的意义
在同一个问题中，别离用正数与负数表示的量具有__________的意义。

如：若是80m 表示向东走80m ，那么-60m 表示：______________。

（四）有理数
一、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。

二、有理数的分类
【经典例题：】
例 1：把以下各数别离填在题后相应的集合中：
2
5-，0，1-，0.73，2，5-，87，52.29-，+28，27-，8，-311，-3.5，102.3，-35，1 （1）整数集合： { ……}
（2）负整数集合：{ ……}
（3）负分数集合：{ ……}
（4）自然数集合：{ ……}
（5）非负数集合：{ ……}
例 2：在下面每一个集合中任意写出3个符合条件的数：
例 3：以下选项中均为负数的是（
）
A ．2-， 1.9-
，0 B ．0.3，5-， 3.3- C ．19-，1-,0.6- D ．6-，80，4.0
例 4：以下说法中正确的选项是（ ）
A. 整数又叫自然数
B. 0是整数
C. 一个数不是正数确实是负数
D. 0不是自然数
例 5：以下说法正确的个数是（ ）。

①一个有理数不是整数确实是分数； ②一个有理数不是正数确实是负数；
③一个整数不是正的确实是负的； ④一个分数不是正的就是负的。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例 6：把以下各数填在相应的集合中：
正数集 负数集 整数集 自然数
1.2 数轴
【学习目标】
一、熟悉数轴
一、数轴的三要素：, ________, _________。

二、用原点表示，在原点的左侧，在原点的右边
画数轴要注意：⒈画直线. ⒉在直线上取一点作为原点. ⒊确信正方向，并用箭头表示.
⒋依照需要选取适当单位长度.
说明：任何一个有理数都能够用数轴上的一个点来表示
【目标检测】
1．判定以下数轴是不是正确．
2.在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（）．
A．负数B．正数C．整数D．非负数
3．与原点的距离为2个单位的点有______个，它们别离表示_____和_____．
4．如图，数轴上的点A，B别离表示数—1和2，点C是线段AB的中点，
那么点C•表示的数是_________．
5．如图，写出数轴上A，B，C，D，E 各点表示的数．
6．画出数轴，并在数轴上标出表示以下各数的点：—80，—60，—40，0，60，80，100．
二、数轴上的点与有理数之间的关系
1．所有的有理数都能够用_______上的点来表示，且所有正数的对应点都在数轴上原点的________，所有负数的对应点都在数轴上原点的________．
2．观看数轴能够明白，以下语句正确的选项是（）
A．1是最小的正有理数B．—1是最大的负有理数
C．0是最大的非正的整数D．有最小的正整数和最小的正有理数
3．一个点从数轴上表示_______的点开始，向右移动5个单位，抵达表示3的点处．
4．数轴上，从—10到32共有_______个奇数点．
5．•在数轴上，•与表示数—3的点的距离为4个单位长度的点所表示的数是________．
三、数轴上比较有理数的大小
（1）在数轴上表示的数，________边的数总比______边的数大
（2）负数__ __0___ _ 正数（填<、=、>）
结论：若是a表示正数，那么能够用a>0表示，当a 是负数？那么能够用________表示.
◆当堂测试
1．大于-3小于2的所有整数是______．
2．以下说法正确的个数有（）
①所有的有理数都能在数轴上找到唯一的对应点②数轴上每一个点都表示有理数
③0是最小的有理数④—2>—1，—1>0
A．1个B．2个C．3个D．0个
3．以下图是5个城市的国际标准时刻（单位：时），那么北京时刻2007年6月17•日上午9时应是（）
A．伦敦时刻2007年6月17日凌晨1时B．纽约时刻2007年6月17日晚上22时
C．多伦多时刻2007年6月16日晚上20时D．汉城时刻2007年6月17日上午8时
4．比较-0.3，-，-1
2
的大小，正确的选项是（）
A．->-0.3>-1
2
B．-0.3>->-
1
2
C．-
1
2
>-0.3>- D．-
1
2
>->-0.3
5．如图，在数轴上有A，B，C三点．
（1）将点B向左平移3个单位后，三个点所表示的数哪个最小？是多少？
（2）将点A向右平移4个单位后，三个点所表示的数哪个最小？是多少？
（3）将点C向左平移6个单位后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？（4）如何移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移法？
6．利用数轴求以下点所表示的数．
（1）一个点从原点开始，先向左移2个单位，再向右移3个单位，抵达终点所表示的数为_________．
（2）一个点从-2开始，先向左移3个单位，再向左移4个单位，抵达终点所表示的数为________．
（3）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从点A处向左跳3个单位到点B，然后由点B•向右跳4个单位到点C，假设点C所表示的数为—1，那么点A所表示的数为________．
（4）一只小鸟落在数轴上，先向右跳2个单位，再向左跳3个单位，终点所表示的数为0，那么小鸟的初始位置点A所表示的数是_________．
1.3 绝对值
【知识点归纳】
1．数轴：规定了_______、__________、__________的一条直线叫做________.
2．数轴上两个点表示的数，右边的总比左侧的；正数大于，负数小于，正数大于一切。

3. 相反数：若是两个数只有______不同，那么称其中一个数为另一个数的________,也称这两个数____________.
专门地，0的相反数是_______。

4. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫该数的。

如：+2的绝对值是2，记作|+2|=2 －2的绝对值是2，记作|－2|=2
归纳：正数的绝对值是_________；负数的绝对值是__________；零的绝对值是______
a（a﹥0），
用式子表示： |a|= 0（______），
—a（_______）.
例1求以下各数的绝对值： - 1.5， 1.5， - 6， +6， - 3， 3, 0.
5. 比较两负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

归纳：比较两负数的大小的步骤：
1.别离求出两负数的________；
2.比较这两个数的绝对值大小；
3.依照“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”作出判定。

例2比较以下每组数的大小
（1） -7 和–3；（2）-3.1 和 -2.7
解：（1）∵|—7|=_____,|—3|=_____,7﹥3 解：（2）
∴____﹤____
6. 非负数的性质：几个非负数的和为0，确实是每一个非负数为0。

例：假设|a |+|b |=0，那么0,0==b a 例3 已知|a —1|+|b + 3|=0，那么a =_____，b =_____。

◆当堂测试
一、选择题
1.(2021·汕头中考)-5的绝对值是 ( )
A.5
B.-5
C.
D.-
2.(2021·丽水中考)如图,数轴的单位长度为1,若是点A,B 表示的数的绝对值相等,那么点A 表示的数是 ( )
A.-4
B.-2
C.0
D.4
3.若是|a|=-a,那么a 的取值范围是 ( )
A.a>0
B.a<0
C.a ≤0
D.a ≥0
二、填空题
4.│-(+4.8)│的相反数为________.
5.已知|x|=2021,|y|=2021,且x>0>y,那么x=________,y=________.
6.现概念某种新运算:对任意两个有理数a,b,有a ※b=×|b|,如2※3=×|3|=×3=,4※(-2)=×|-2|=×2=. 计算:3※(-6)=________.
三、解答题
7.已知│a-2│+│b-3│=0,求a +2b 的值.
8.北京航天研究院所属工厂,制造“神舟十号”运载火箭上的一种螺母,要求螺母内径能够有±0.02mm 的误差, 抽查5个螺母,超过规定内径的毫米数记作正数,没有超过规定内径的毫米数记作负数,检查结果如下： +0.010, -0.018, +0.006, -0.002, +0.015.
(1)指出哪些产品是合乎要求的?(即在误差范围内的)
(2)指出合乎要求的产品中哪个质量好一些,哪个质量稍差一些?
1.4 有理数的加减混合运算
【知识点归纳】
一、有理数的加法法那么
（1）同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去
较小的绝对值；
（3）一个数同零相加仍得那个数。

二、有理数的加法一样拥有和)用字母表示为:
（1）互换律:a+b=b+a ； （2）结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。

3、有理数的减法法那么：减去一个数，等于加上那个数的相反数。

（1）两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

（2）不变：被减数不变。

能够表示成： a －b=a+（－b ）。

◆当堂测试
一、选择题
一、绝对值不大于10的所有整数的和等于（ ）
A.－10
B.0
C.10
D.20
二、假设有两个有理数的和为正数，那么以下结论正确的选项是（ ）
A.两个数都是正数
B.两个数都是负数
C.至少有一个数是正数
D.以上结论都不对
3、若是0<+b a ，0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）
A.b a b a -<-<<
B.b a a b <-<<-
C.b a b a <-<-<
D.a b b a -<<-<
A. 1月1日
B. 1月2日
C. 1月3日
D. 1月4日
五、将)2()7()3(6-+--+-写成省略加号的和的形式应是（ ）
A.2736-+--
B.2736---
C.2736-+-
D.2-7-36+
六、b a b a +=+，那么a 、b 的关系为（ ）
A.a 、b 的绝对值相等
B. a 、b 异号
C. a+b 的和是非负数
D. a 、b 同号或其中至少有一个为零
二、 填空
一、把())8()7()5(3+-++---写成省略括号的和的形式______________________________
二、假设a<0,b>0而且b a >，那么a+b__________0.
3、温度3℃比5-℃高______________
4、假设0523=+-+-++z y x ，那么x+y+z=_________, x —y —z=___________.
五、绝对值大于3而小于8的所有整数的和__________________.
六、已知m 是6的相反数，n 比m 的相反数小2，那么n m -=_________
三、应用
一、计算：
（1） )32(1531-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）107)8()56()12(-
-+---
（3）)5.1(2.0)1.2()2.1(8.1----+-- （4） )5.5()75.2()4
1()5.0(+-++---
二、出租车司机小李某天下午营运满是东西走向的人民大街上进行的，若是规定向东为正，向西为负，他此日下午车里程（单位：km ），记录如下: 6,5,4,12,2,3,1015215+-++--+-+-+，，，，
（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的起点多远？
（2）假设汽油耗油量为a L/km ，此日下午小李营运共耗油多少升？
1.5 有理数的乘法
【知识点归纳】
一、有理数的乘法法那么
(1)乘法法那么：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0. (2)两个有理数相乘的步骤： ①先确信积的符号；②再求出积的绝对值．
(3)多个有理数的乘法
①几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
②几个有理数相乘，有一个因数为0，结果确实是0；反之，假设几个数的积为0，那么至少有一个因数为0.
【例1】 计算：(1)(＋4)×(－5)； (2)(－0.75)×(－1.2)； (3)⎝⎛⎭
⎫－29×0.3；
(4)0×⎝⎛⎭⎫－17； (5)⎝⎛⎭⎫－112×113×⎝⎛⎭⎫－114×⎝⎛⎭⎫－115×116.
2.倒数：若是两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数． ① 0没有倒数；②互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； ③假设两个数互为倒数，那么它们的乘积为1； ④倒数等于它本身的数是1和－1.
【例2】 填空：(1)－76的倒数是__________；0.2的倒数是__________；(2)倒数是4的数是__________．
3．有理数的乘法运算律
(1)乘法互换律：两个数相乘，互换因数的位置，积不变．用字母表示为：a ×b ＝b ×a .
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变．
用字母表示为：(a ×b )×c ＝a ×(b ×c )．
(3)乘法对加法的分派律：一个数同两个数的和相乘，等于把那个数别离同这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示为：a ×(b ＋c )＝a ×b ＋a ×c .
【例3】 计算：(1)(－8)×9×(－1.25)×⎝⎛⎭⎫－19； (2)⎝⎛⎭
⎫114－56＋12×(－12)；
(3)－5.372×(－3)＋5.372×(－17)＋5.372×4； (4)⎝
⎛⎭⎫－2434
35×2.5×(－8)；
(5)⎝⎛⎭⎫1112－79－518×36－6×1.43＋3.93×6.
4．与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算
依照已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件，进行有关的综合计算，其步骤是：
(1)利用条件，先求出有关字母的数值或有关式子的数值；(2)将所求的式子变形，使其符合上述条件；(3)将条件代入变形后的式子，依照规定的运算进行计算．
【例4】 已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，m 的绝对值是4，求m ×(c ＋d )＋a ×b －3×m 的值．
1.6 有理数的除法
【知识点归纳】
1.有理数的除法法那么1
(1)除法法那么1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0.
①注意：0不能作除数；②除法法那么1与有理数的乘法法那么相类似，都是先确信运算结果的符号，再确信绝对值．
(2)两个有理数相除的步骤：①先确信商的符号；②求出商的绝对值．
【例1】下面的计算中，正确的有( )．
①(－800)÷(－20)＝－(800÷20)＝－40； ②0÷(－2 013)＝0； ③(＋18)÷(－6)＝＋(18÷6)＝3； ④(－0.72)÷0.9＝－(0.72÷0.9)＝－0.8. A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②④
2．有理数的除法法那么2
除法法那么2：除以一个数等于乘那个数的倒数，即a ÷b ＝a ×1b
(b ≠0)．
【例2】 计算： (1)⎝⎛⎭⎫－2829÷⎝⎛
⎭⎫－1129； (2)(－1)÷(－2.25)．
7.乘法对加法的分派律在除法中的应用
(1)几个数的和除以一个数．
方式：①先把除法转化为乘法；②依照乘法对加法的分派律：a×(b ＋c)＝a×b ＋a×c 进行计算． (2)一个数除以几个数的和．
方式：①先互换被除数与除数的位置，即把形如a÷b 的算式先写成b÷a ； ②转化为乘法，依照乘法对加法的分派律进行计算； ③求出商的倒数，即为原式的结果．
【例3】 计算：⎝⎛⎭⎫13－14＋19－112÷136. 【例4】 计算：50÷⎝⎛⎭
⎫14－13－112.
1.7 有理数的乘方
【知识点归纳】 1．乘方的意义
(1)乘方的概念
求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)．
乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数．
(2)乘方的意义：a n 表示n 个a 相乘．即a n ＝n a
a a a a ⨯⨯⨯⋯⨯个.
如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．
【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10，其中底数是__________，指数是__________． (2)120137111777⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⨯-⨯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
个写成乘方的形式是_____ _____， 2．乘方运算的符号法那么
乘方运算确实是依照乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27.
①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数；③负数的偶次幂是正数；④0的奇次幂、偶次幂都是0.
【例2】 以下说法不正确的选项是( )．
A ．(－2)2 013是负数
B ．－4200是正数
C ．0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身
D ．－1的38次幂等于它的相反数
【例3】 计算：
(1)(－2)4； (2)－34； (3)⎝⎛⎭⎫453； (4)⎝⎛⎭⎫－1232； (5)274
-； (6)(－1)2 014.
【例4】 以下说法正确的有( )．
①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是0和1；④1的立方等于它本身； ⑤－1的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数． A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．2个
【例5】 若x ，y 为有理数，且(5－x )4＋|y ＋5|＝0，那么2013
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛y x 的值为( )．
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
1.8 科学记数法
【知识点归纳】 1．科学记数法
概念：一样地，一个大于10的数能够表示成a ×10n (1≤a ＜10，n 是正整数)的形式，这种记数的方式叫做科学记数法．
【例1】 用科学记数法表示以下各数：
(1)3 400 000； (2)－98 120 000； (3)23 458.2； (4)960万．
【例2】 假设97 000 000用科学记数法表示为a ×10n ，那么a ＝__________，n ＝__________.
2．把科学记数法表示的数还原
【例2】 假设一个数用科学记数法表示为1.754×105，那么原数为_____________． 【例3】 下面用科学记数法表示的数，原先是什么数？
(1)赤道长约4×104千米； (2)按365天计算一年有3.153 6×107秒．
【例4】 “天上星星有几颗，7后跟上22个0”，这是国际天文学联合大会上宣布的消息，用科学记数法表示宇宙空间星星颗数为( )．
A ．700×1020
B ．7×1023
C ．0.7×1023
D ．7×1022
1.9 有理数的混合运算
【知识点归纳】
1．有理数的混合运算
(1)有理数混合运算：一个算式中含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算，确实是有理数的混合运算．
如：－42×[(1－7)÷6]3＋[(－5)3－3]÷(－2)3.
(2)混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．若是有括号，先算括号里面的．
【例1】 计算：
(1)－0.252÷⎝⎛⎭⎫－123×(－1)2 013＋(－2)2×(－3)2； (2)⎪⎪⎪⎪－122－122＋()－1 2 013－112×⎝
⎛⎭⎫0.5－23÷119.
2．混合运算中的简便运算技术
有理数的混合运算要注意运用运算律简化运算．
运算律有：加法互换律、结合律，乘法互换律、结合律、分派律．解题时要依照题目特点，灵活选择．
【例2】 计算：⎝⎛⎭⎫74－78－712÷⎝⎛⎭⎫－78＋⎝⎛⎭
⎫
－83. 【例3】 7
521-2
1275--752
11⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯
【例4】 某个家庭为了估量自己家6月份的用电量，对月初的一周天天电表的读数进行了记录，上周日电表
的读数是115度．以后每日的读数如下表(表中单位：度)，请你估量6月份大约用多少度电．
【例5】观看以下解题进程：
计算：1＋5＋52＋53＋…＋524＋525的值.
解：设S＝1＋5＋52＋53＋…＋524＋525，（1）
那么5S＝5＋52＋53＋…＋525＋526（2）（2）－（1），得4S＝526－1
S＝
41
526
通过阅读，你必然学会了一种解决问题的方式，请用你学到的方式计算：
（1）1＋3＋32＋33＋…＋39＋310 （2）1＋x＋x2＋x3＋…＋x99＋x100。