OFDM详解

Q1、为什么使用OFDM ？
A1、OFDM 技术基于多载波，是正交的FDM ，可以用于提升容量，主要在基站侧使用。

早期的多载波方案：
合路器：让多路信号共用一根馈线和一副天线；
使用合路器的条件：载波的频率跨度不能太大，因为天线的增益与工作的频段相关。

使用合路器带来的挑战：ISI
华为公司提出的专利——在基带实现多载波合路的OFDM 方案：
在该方案中，用一个大的IFFT 承载多个载波，每个载波的数据放在大的IFFT 的输入端不同的区域，经过IFFT 后得到多个载波的基带信号，然后通过射频发送出去。

Q2、FDM 是正交技术吗？
A2、FDM 也是正交技术，利用滤波器滤除其他载波的干扰，从而分离出指定的载波，属于功率正交。

Q3、FDM 正交的条件？
A3、载波之间需要频率的保护间隔。

Q4、既然FDM 属于正交技术，那么为什么还会有OFDM 呢？
A4、FDM 属于功率正交技术，而OFDM 属于能量正交技术，OFDM 的正交体现在子载波之间能量正交。

Q5、CDMA 与OFDM 之间的关系？
A5、CDMA 使用的扩频码，一般为正交码，比如Walsh 码实现正交，用数学公式表示为： 如果只有一个数据符号为x (k )，使用长度为Q 的扩频码c (k)=[c 1(k)
,c 2(k)
,⋯,c Q (k)]T
∈ℂQ×1,k =1,⋯,K ，扩频后的信号可以表达为x sp (k)
=c (k)x (k)∈ℂQ×1,k =1,⋯,K
在OFDM中数学过程相同，不同的是扩频码为复指数序列，即c(k)=
[1,e j 2π
Q
(k−1),e j2πQ2(k−1),⋯,e j2πQ(Q−1)(k−1)]T∈ℂQ×1,k=1,⋯,K，复指数序列之间相互正交，实
现能量正交。

如果由Ｋ个用户符号，则x sp=∑K k=1x(k)c(k)，用矩阵表示为x sp=Cx，其中x=[x(1),x(2),⋯,x(K)]T∈ℂK×1,k=1,⋯,K;
C=
[11⋯1
1e j
2π
Q⋯e j
2π
Q
(K−1)
⋮⋮⋱⋮
1e j
2π
Q
(Q−1)⋯e j2πQ(Q−1)(K−1)]
∈ℂQ×K 。

，如果K=Q，则C就是一个IDFT矩阵。

采用常用的符号，表示为：x=W N−1x̂，其中x̂表示星座映射后的补零到长度N的符号矢量，W N−1是N点的IDFT矩阵。

因此，OFDM也是一种CDMA，二者都属于能量正交。

Q6、单载波和OFDM子载波的区别？
A6、单载波在每个周期最快能传递一个调制符号；而每个OFDM子载波在基波的完整周期内只能传递一个调制符号；
但是，虽然单载波的符号率高，OFDM可以利用多个子载波同时传输信息，因此总的传输效率是一致的。

Q7、功率正交？能量正交？
A7、功率正交：信号在频谱上可分离，可以用滤波器滤除指定的信号；
能量正交：引入一个额外的参照信号，与混合信号相乘后，积分后得到指定信号的能量。

子载波正交的条件：
①子载波是余弦波或正弦波；
②子载波的频率是基波频率的整数倍；
③积分区间是基波的完整周期；
④在基波的完整周期内，子载波的振幅保持不变。

Q8、承载了输入信号的子载波还能和其他子载波正交吗？
A8、在数字通信系统中，用矩形窗描述输入的数字信号，只要矩形窗的时长等于基波的周期，那么矩形窗函数与其他子载波还是能量正交，用时域上的波形表示为：
上图显示，在3个子载波周期中，第1和第3个周期有三个子载波，输入信号调制在第2个周期的子载波上即第2个周期上有4个子载波，改变正交子载波的数量不会影响正交子
载波的正交性。

OFDM的优点：
①减小符号间干扰：由于OFDM符号时长远大于单载波的调制符号，信号频率低则符号时长较长，因此等量时延带来的重叠对OFDM符号来说影响更小；
OFDM解决信号时延的方法：
符号间干扰来源于多径效应，多径延迟信号的时延和振幅各自不同，叠加在直达信号上，就形成了干扰。

多径效应带来如下两个问题：
①前后符号干扰的ISI问题；
②本符号多径延迟信号对本符号直达信号的同频干扰和对其他频率子载波带来的异
频干扰，称为ICI。

解决ISI问题：在前后符号之间插入一个保护间隔GI，这段时间可以让时延信号衰减到0，从而不会对下一个符号产生干扰
解决本符号多径时延带来的干扰问题：创造条件，让多径延迟信号与直达信号正交。

将多载波实现正交的方法用于处理多径信号。

正如前面所述，实现子载波正交需要满足4个条件，其中③不满足。

解决方法就是给多径信号补充一块，让多径信号也经历一个完整的周期。

OFDM产生填补的内容的方法，就是利用了前后符号间的保护间隔GI，将OFDM符号中时长为T c的最后一部分，复制到前一个保护间隔开始的时间来传送，T c的时长等于GI的时长
OFDM信号的处理过程：
①发送过程的波形和频谱
⑴多路信号
多路信号的每一路都是数字基带信号经过处理得到的离散信号，利用不同的幅度来
承载信息。

多路信号的时长都是一致的，等于基波的周期。

⑵正交子载波
⑶OFDM符号
多路信号与对应的正交子载波分别相乘后叠加，得到相应的OFDM符号。

多个OFDM符号组合在一起，就得到了OFDM信号。

⑷加CP后的OFDM符号
由于加了CP，输入信号的时长变长，随着时长的增加，矩形窗函数的功率零点的位
置将收缩，占用带宽变小。

但是，加CP之后OFDM符号的子载波能量不再正交。

②接受过程的波形和频谱
OFDM信号的发生方法：
①分立器发生方法——用硬件产生OFDM信号
②用集成器发生方法——用软件产生OFDM信号
傅里叶变换的作用：根据信号的时域表达式，找到其对应的频域表达式，而不是，将信号从时域转换到频域。

利用傅里叶变换可以从混合的信号中，提取出各个组成成分，从而分理处所需的某个组成成分。

DFT与IDFT：
DFT实现信号从合到分的转变；IDFT实现信号从分到合的转变，合并各次谐波。

IDFT根据信号的频域表达式，得到其对应的时域表达式，即根据信号的频谱，得到相应的波形。

利用IDFT可以产生OFDM信号。

任何变换过程只要能叠加各次谐波，就可以用于产生OFDM信号。

Ｑ9、OFDM技术中IFFT的作用是什么？
A9、OFDM技术中的IFFT与信号分析中的傅里叶变换有明显的区别。

区别在于：在OFDM 技术中，基波的频率是固定的，而在信号分析中，傅里叶变换得到的基波频率与信号有关。

在OFDM技术中的IFFT算法是被用于发生OFDM符号的。

经过IFFT后得到OFDM符号的时域离散符号，是时域波形。

Q10、OFDM技术为什么可以用IFFT方法实现？
A10、从两个角度进行阐述：
①数学分析的角度：OFDM是一种特殊的CDMA。

②理论分析的角度：IFFT可以根据信号的频谱，得到相应的波形。

基于复数IFFT的OFDM信号发生：
①输入参数的处理
⑴QAM星座映射：将数据变成对应的幅值，将若干比特映射为一个复数值，这样数
据块就变成了一个复数块；
⑵串并转换：分割附属快，将各个复数分别送到对应的各个正交子载波上。

②输出结果处理
⑴加入CP：抵抗ICI
⑵串并转换：将分布在各个子载波上的数据，还原为一路串行数据——“合“
⑶数模转换（D/A）：用两套D/A，将数值序列转换为幅度值，得到OFDM基带信号。

在D/A处理过程中，关键是工作节拍，其时间间隔对应基本时间单位T s，计算方法，其中T B为基波周期，N为IFFT算法的阶数。

为：T s=T B
N
Q：为什么D/A转换后可以不滤波？
A：因为LTE系统的OFDM符号率低，每个子载波占用的带宽很少，所以不用滤波。

OFDM相关变量：
基波频率/子载波间隔：f
OFDM有效数据符号时长：T B=1
f
保护时长：T GI
OFDM符号长度：T s=T B+T GI
出样点/采样点时间间隔：T s=T B
N
出样点/采样点频率：f s=1
T s
频点带宽：B
子载波数量：N=B
f
深入理解OFDM的相关术语：
①采样点vs 出样点
采样是A/D 转换的第一步，是信号输入端的工作；
而在OFDM 中，参考书中的采样点指的是OFDM 信号的发生过程，是信号输出端的工作，因此用出样点来代替OFDM 信号发生过程中的采样点。

每个出样点对应一个时刻，其幅值对应OFDM 符号的波形在该时刻的幅度值，出样点的数目不超过IFFT 的阶数，即由IFFT 的阶数来确定。

② 子载波间隔 vs 基波频率
OFDM 技术基于能量正交，能量正交的原因是子载波的频率是基波频率的整数倍，因此，基波频率才是基本参数，而子载波间隔是基波频率确定后才得到的衍生参数。

多载波系统中，子载波的数目要保证子信道的带宽小于相干带宽，才能经历平坦衰落。

缓解子载波衰减的方法：
① 时间和频率的交织编码(coding with interleaving)：在时间和频率上交错编码的基本思
想是将数据位编码为码字，在时间和频率上交错产生的编码位，然后在不同的子信道上传输编码位，这样一来，在一个给定的编码位上的编码位都经历独立的衰落； ② 频域均衡：在接收端反转衰落；
③ 预编码：与频域均衡的基本思想相同，只是precode 实在发射端反转衰落，因此需要发
射机了解信道的平坦衰落增益。

Precode 存在两个问题：⑴precode 只是信道翻转，这在衰减信道中是低能效的；⑵precode 需要精确知道发射机的信道估计，在快衰减信道中，这很难获得；
④ 自适应加载(adaptive loading)：基于自适应编码技术，基本思想是改变分配给每个子信
道的功率和数据速率。

从循环卷积的角度理解Cyclic Prefix ： 设信道输入序列为x [n ]=x [0],…,x [N −1]，长度为Ｎ，离散时间信道的有限冲激响应为ℎ[n ]=ℎ[0],…,ℎ[μ]，长度为μ+1=
T m T s
，其中T m 为时延扩展，T s 为离散时间序列的抽样时
间，x[n]的循环前缀定义为{x[N −μ],…,x[N −1]}，为x[n]的后μ个值。

可以在输入数据前加上循环前缀，从而将线性卷积变成循环卷积。

如上图所示，x ̃[−μ],…,x ̃[N −1]=x[N −μ],…,x[N −1],x[0],…,x[N −1]，即x[N −μ],…,x[N −
1],x[0],…,x[N −1]。

故，y[n]=x ̃[n]∗ℎ[n]
=∑1k=0ℎ[k[ Administrator =∑μ
k=0ℎ[k]x[n −k]N =x[n]⊛ℎ[n]
得到循环卷积后，如果信道和输入是循环卷积，那么只要接收端知道h[n]，就可用
x[n]=IDFT{Y[i]/H[i]}，求得x[n]。

在输入数据块之前加入μ个符号的前缀，开销为μ
N ，导致有效数据速率下降为
N μ+N。

如上图所示，前缀是冗余信息，不管前缀是什么，只有丢弃数据块的前μ个样值，都可以消除数据块之间的ISI 。

可用全零前缀代替循环前缀，接收端见ISI 引起OFDM 符号末端的拖尾加回到符号的首部，等效于循环前缀，且此时系统开销为0，只会导致有效数据速率的下降。

CP 的长度设置：μ>
T m T s
，其中T m 是最大时延扩展，T s 是单载波的符号长度，这样设置可以
保证OFDM 符号之间不存ISI 。

《Wireless Communications 》P386
《Wireless Communications》P387
OFDM系统将宽带信道分解为一组窄带子信道，每个子信道上传输不同的QAM符号，这种分解不需要已知信道增益，只要将发送信号的频谱分割为不相重叠的子带即可。

OFDM的矩阵分析
OFDM的解调不需要知道信道信息。

向量编码（Vector Coding）
在OFDM中，N×N的循环信道矩阵H̃使用特征值分解。

向量编码（VC）可以将原始的N×(N+μ)的信道矩阵使用SVD，矩阵分解时需要知道信道信息。

Ｎ个发送符号和μ个后缀符号构成向量X=(X0,…,X N−1,X n,…,X N+μ−1)
数学上分析，滤波后的发送向量和接受向量分别为：
x=VX
Y=U H y
滤波后的接收向量Y没有ISI。

在VC中，后缀符号可以全0，因为SVD不需要后缀的这些符号有特定的形式。

，其中T N为符号的码元周期，多载波调制，为了保证子载波正交需要的总带宽：B=N(1+β+ϵ)
T N
是由于时间受限而增加的带宽。

β是余弦滚降滤波器的滚降系数，ε
T N
重叠子信道的系统总带宽：B=N+β+ϵ
，由于子信道相互重叠，因此除了第一个和最后一个
T N
子信道外，β和ε不会对总带宽造成影响。

DFT-s-OFDM技术
峰均比是无线通信中的一个重要问题。

PAPR太高会降低功放的使用效率，因此需要尽量降低信号的峰均比。

在上行链路中，为了解决峰均比问题，LTE采用了单载波FDMA（SC-FDMA），也被称为DFT扩展的OFDM（DFT-s-OFDM），原理如下图所示：
星座调制得到复数符号，首先经过一个小尺寸的DFT，比如64点，然后经过一个大尺寸的IDFT，如2048点，其他数据用0填充，经过IDFT后加上CP，即得到SC-FDMA信号。

SC-FDMA的调制过程，就是将一个窄带的时域信号放置在一个宽带信号的某个频域范围内。

SC-FDMA的处理相当于时域的插值，可以维持星座调制后的信号的峰均比而不会带来额外的提高。

OFDMA 有较高的PAPR，这是因为，经过了IFFT 以后，每一个时域上的符号是那N个符号(这N 个符号是来自QPSK, 16QAM, 64QAM modulation )经过phase rotation的和。

而SC-FDMA, 经过了DFT 和IFFT变换后，传送的符号就是输入的符号(符号周期变短了），所以peak power 不会太大
SC-FDMA相比于OFDMA，只是多了一个DFT的环节。

OFDM思考题
Q1、循环前缀填0是否可以？
A1、不可以，这样处理属于功率正交，无法实现能量正交。

Q2、循环前缀变后缀是否可行？
A2、可行，都属于能量正交，但失去了训练的功能。

参考文献
[1]《通信之道》——杨学志
[2]《LTE教程：原理与实现》——孙宇彤
[3]OFDM的ISI和CP
[4]深入理解OFDM（含Matlab代码）
[5]OFDM仿真实现
[6]OFDM仿真理解
[7]《Wireless Communications》_Andrea Goldsmith。