2016-2017学年山东省枣庄市薛城区七年级(下)期中数学试卷

2016-2017学年山东省枣庄市七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分）
1．（3分）化简（﹣x）3x2，结果正确的是（）
A．﹣x6 B．x6C．﹣x5 D．x5
2．（3分）纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（）
A．3.5×104米B．3.5×10﹣4米 C．3.5×10﹣5米 D．3.5×10﹣9米
3．（3分）下列图形中，由AB∥CD，能使∠1=∠2成立的是（）
A．B．C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）
A．﹣2x2y•3xy2=﹣6x2y2B．（x﹣2y）2=x2﹣4y2
C．（﹣4x2y2）2=16x4y9D．9x3y2÷3x2y=3xy
5．（3分）清明节假期的某天，小米骑车从家出发前往革命烈士
陵园扫墓，行驶一段时间后，因车子出现问题，途中耽搁了一段时间，车子修好后，加速前行，到达烈士陵园扫完墓后匀速骑车回家．其中x表示小米从家出发后的时间，y表示小米离家的距离，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
6．（3分）下列等式恒成立的是（）
A．（m+n）（﹣m﹣n）=m2﹣n2B．（2a﹣b）2=4a2﹣2ab+b2
C．（x+3）（﹣x+3）=x2﹣9 D．（4x+1）2=16x2+8x+1
7．（3分）如图，直线AB、CD、EF相交于一点，∠1=50°，∠2=64°，则∠COF=
（）度．
A．66 B．50 C．64 D．76
8．（3分）已知ab=﹣5，a﹣b=6，则a2+b2=（）
A．13 B．19 C．26 D．37
9．（3分）如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则
∠C为（）
A．20°B．35°C．45°D．70°
10．（3分）下列说法中不正确的个数有（）
（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行；
（2）同位角相等；
（3）相等的角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
（5）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（3分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传
播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
下列说法错误的是（）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
12．（3分）如图，点E在CD延长线上，下列条件①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠5=∠B，④∠B+∠BDC=180°，不能判定AB∥CD的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分）
13．（4分）若∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，则∠1与∠3的关系是，理由是．
14．（4分）已知：3m=2，9n=5，33m﹣2n+1=．
15．（4分）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C分别在M，N的位置上，若∠EFG=56°，则∠1=，∠2=．
16．（4分）若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a=．b=．
17．（4分）一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于度．18．（4分）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若=8，则x=．三、解答题
19．（6分）尺规作图：
如图，在一个三角形支架上要加一根横杆DE，使DE∥BC，请你用尺规作出DE 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并说明理由．
20．（10分）计算：
（1）+（π﹣3.14）0﹣×（﹣2）3
（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）
21．（8分）先化简，再求值：[（5m﹣3n）（m+4n）﹣5m（m+4n）]÷3n（m=2，n=﹣1）
22．（8分）如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试问∠A与∠F有何关系？说明你的理由．
23．（8分）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图
中虚线均为分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方
形．
（1）图2的空白部分的边长是（用含ab的式子表示）；
（2）图2中空白部分的面积可以表示为，也可以表示为；（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系；（4）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面
积．
24．（10分）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的重量（kg）之间的关系如下表：
（1）当所挂物体的重量为3kg时，弹簧的长度是cm；
（2）如果所挂物体的重量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（3）当所挂物体的重量为5.5kg时，请求出弹簧的长度．
（4）如果弹簧的最大伸长长度为20cm，则该弹簧最多能挂多重的物体？25．（10分）（1）．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB 和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是．
（2）应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；
（3）拓展：
在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
2016-2017学年山东省枣庄市薛城区七年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分）
1．（3分）化简（﹣x）3x2，结果正确的是（）
A．﹣x6 B．x6C．﹣x5 D．x5
【分析】根据同底数幂相乘：底数不变，指数相加，直接得出答案即可．
【解答】解：（﹣x）3x2=﹣x5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确记忆同底数幂的乘法运算法则是解决问题的关键．
2．（3分）纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（）
A．3.5×104米B．3.5×10﹣4米 C．3.5×10﹣5米 D．3.5×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：35000纳米=35000×10﹣9米=3.5×10﹣5米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列图形中，由AB∥CD，能使∠1=∠2成立的是（）
A．B．C．
D．
【分析】根据平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、由AB∥CD可得∠1+∠2=180°，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠2，
故本选项正确；
C、由AC∥BD得到∠1=∠2，由AB∥CD不能得到，故本选项错误；
D、梯形ABCD是等腰梯形才可以有∠1=∠2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰梯形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．﹣2x2y•3xy2=﹣6x2y2B．（x﹣2y）2=x2﹣4y2
C．（﹣4x2y2）2=16x4y9D．9x3y2÷3x2y=3xy
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=﹣6x3y3，不符合题意；
B、原式=x2﹣4xy+4y2，不符合题意；
C、原式=16x4y4，不符合题意；
D、原式=3xy，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）清明节假期的某天，小米骑车从家出发前往革命烈士陵园扫墓，行驶一段时间后，因车子出现问题，途中耽搁了一段时间，车子修好后，加速前行，到达烈士陵园扫完墓后匀速骑车回家．其中x表示小米从家出发后的时间，y表示小米离家的距离，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
【分析】一开始是匀速行进，随着时间的增多，离家的距离也将由0匀速增加，停下来修车，距离不发生变化，后来加快了车速，距离又匀速增加，扫墓时，时间增加，路程不变，扫完墓后匀速骑车回家，离家的距离逐渐减少，由此即可求出答案．
【解答】解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶﹣﹣﹣扫墓﹣﹣匀速骑车回家，故离家的距离先增加，再不变，后增加，再不变，最后减少．
故选：D．
【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
6．（3分）下列等式恒成立的是（）
A．（m+n）（﹣m﹣n）=m2﹣n2B．（2a﹣b）2=4a2﹣2ab+b2
C．（x+3）（﹣x+3）=x2﹣9 D．（4x+1）2=16x2+8x+1
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算．
【解答】解：A、（m+n）（﹣m﹣n）=﹣（m2++2mn+n2），故本选项错误；
B、（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2，故本选项错误；
C、（x+3）（﹣x+3）=9﹣x2，故本选项错误；
D、（4x+1）2=16x2+8x+1，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
7．（3分）如图，直线AB、CD、EF相交于一点，∠1=50°，∠2=64°，则∠COF=（）度．
A．66 B．50 C．64 D．76
【分析】先根据平角求出∠DOE，再根据对顶角相等求出即可．
【解答】解：∵∠1=50°，∠2=64°，
∴∠DOE=180°﹣∠1﹣∠2=66°，
∴∠COF=∠DOE=66°，
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角和邻补角，能根据题意求出∠DOE的度数是解此题的关键．
8．（3分）已知ab=﹣5，a﹣b=6，则a2+b2=（）
A．13 B．19 C．26 D．37
【分析】利用完全公式得到a2+b2=（a+b）2﹣2ab，然后把ab=5，a﹣b=6代入计算即可．
【解答】解：a2+b2
=（a﹣b）2+2ab
=62+2×（﹣5）
=26．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
9．（3分）如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（）
A．20°B．35°C．45°D．70°
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=AOB=35°，
∵CD∥OB，
∴∠BOC=∠C=35°，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
10．（3分）下列说法中不正确的个数有（）
（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行；
（2）同位角相等；
（3）相等的角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
（5）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据同一平面内，两直线的位置关系，对顶角的定义和平行线的性质进行判断．
【解答】解：（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行，正确．
（2）只有两直线平行时，同位角相等，错误．
（3）相等的角不一定是对顶角，错误；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离，正确；（5）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离以及同位角．熟记相关性质和定义即可解答该题，属于基础题．
11．（3分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
下列说法错误的是（）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确；
∵342×5=1710（m），
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误；
∵324﹣318=6（m/s），330﹣324=6（m/s），336﹣330=6（m/s），342﹣336=6（m/s），
348﹣342=6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了自变量、因变量的含义和判断，要熟练掌握．
12．（3分）如图，点E在CD延长线上，下列条件①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠5=∠B，④∠B+∠BDC=180°，不能判定AB∥CD的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定方法直接判定．
【解答】解：①∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1=∠2，所以应是AC∥BD，故错误；
②∵∠3=∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故正确；
③∵∠5=∠B，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故正确；
④∵∠B+∠BDC=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故正确；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
二、填空题（每小题4分）
13．（4分）若∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，则∠1与∠3的关系是∠1=∠3，理由是同角的补角相等．
【分析】根据同角的补角相等得出即可．
【解答】解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3（同角的补角相等），
故答案为：∠1=∠3，同角的补角相等．
【点评】本题考查了补角的性质，能灵活运用补角的性质进行推理是解此题的关键．
14．（4分）已知：3m=2，9n=5，33m﹣2n+1=．
【分析】逆运用同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加以及幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算即可得解．
【解答】解：33m﹣2n+1=33m÷32n×31，
=（3m）3÷（32）n×3，
=23÷9n×3，
=8÷9×3，
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟记各性质并熟练应用是解题的关键．
15．（4分）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C分别在M，N的位置上，若∠EFG=56°，则∠1=68°，∠2=112°．
【分析】首先根据折叠的性质和平行线的性质求∠FED的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠1的度数，最后根据平行线的性质求出∠2的度数．
【解答】解：∵一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C 分别在M，N的位置上，
∴∠MEF=∠FED，∠EFC+∠GFE=180°，
∵AD∥BC，∠EFG=56°，
∴∠FED=∠EFG=56°，
∵∠1+∠GEF+∠FED=180°，
∴∠1=180°﹣56°﹣56°=68°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°﹣68°=112°．
故答案为：68°，112°．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
16．（4分）若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a=2．b= 4．
【分析】本题需先根据已知条件求出（x﹣2）与（x2+ax+b）的积，再根据积中不出现一次项和二次项这个条件，即可求出a、b的值．
【解答】解：（x﹣2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b
∵积中不含x的二次项和一次项，
∴a﹣2=0，b﹣2a=0，
解得a=2，b=4．
故答案为：2，4．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，在解题时要根据多项式乘多项式的运算法则和运算顺序分别进行相乘是本题的关键．
17．（4分）一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于60度．
【分析】设这个角为x，根据互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，
根据题意得，180°﹣x=4（90°﹣x），
解得x=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了互为余角与补角的定义，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．
18．（4分）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若=8，则x=5．【分析】根据2阶行列式的定义，把问题转化为方程即可解决问题．
【解答】解：由题意：（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）2=8，
解得x=5，
故答案为5
【点评】本题考查整式的混合运算、有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
19．（6分）尺规作图：
如图，在一个三角形支架上要加一根横杆DE，使DE∥BC，请你用尺规作出DE 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并说明理由．
【分析】过点D作∠EDC=∠C，点E在点D的右边BA的延长线上即可．
【解答】解：作法：过点D作∠EDC=∠C，点E在点D的右边BA的延长线上即可．
理由：∵∠EDC=∠C∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（10分）计算：
（1）+（π﹣3.14）0﹣×（﹣2）3
（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂和幂的乘方可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）+（π﹣3.14）0﹣×（﹣2）3
=2017+1﹣
=2017+1+2
=2020；
（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）
=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]
=a2﹣（2b﹣c）2
=a2﹣4b2+4bc﹣c2．
【点评】本题考查完全平公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
21．（8分）先化简，再求值：[（5m﹣3n）（m+4n）﹣5m（m+4n）]÷3n（m=2，n=﹣1）
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=[5m2+20mn﹣3mn﹣12n2﹣5m2﹣20mn]÷3n
=[﹣3mn﹣12n2]÷3n
=﹣m﹣4n．
当m=2，n=﹣1时，
原式=﹣2﹣4×（﹣1）=2
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
22．（8分）如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试问∠A与∠F有何关系？说明你的理由．
【分析】首先根据∠1=∠2可以证明DB∥EC，进而得到∠CBD=∠C，再有∠C=∠D，进而得到AC∥DF，再根据平行线的性质可得∠A=∠F．
【解答】解：∠A=∠F．
∵∠1=∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C+∠CBD=180°，
∵∠C=∠D，
∴∠D+∠CBD=180°，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定与性质．
23．（8分）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均为分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b（用含ab的式子表示）；
（2）图2中空白部分的面积可以表示为（2a﹣b）2，也可以表示为（2a+b）2﹣4×2a×b；
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系（2a ﹣b）2=（2a+b）2﹣8ab；
（4）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面
积．
【分析】（1）根据线段的和差关系可求空白正方形的边长；
（2）图2中空白部分的面积可以根据正方形面积公式可求，也可以根据面积的和差关系求解；
（3）利用等量关系式S
空白=S
大正方形
﹣4个S
长方形
代入即可；
（4）直接代入（2）中的式子求解即可．
【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b；
（2）图2中空白部分的面积可以表示为（2a﹣b）2，也可以表示为（2a+b）2﹣4×2a×b；
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系为（2a ﹣b）2=（2a+b）2﹣8ab；
（4）当2a+b=7，ab=3时，S=（2a+b）2﹣8ab=72﹣8×3=25．
则图（2）中的空白正方形的面积为25．
故答案为：2a﹣b；（2a﹣b）2，（2a+b）2﹣4×2a×b；（2a﹣b）2=（2a+b）2﹣8ab．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要是根据图形特点，利用面积的和差来计算．
24．（10分）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的重量（kg）之间的关系如下表：
（1）当所挂物体的重量为3kg时，弹簧的长度是13.5cm；
（2）如果所挂物体的重量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（3）当所挂物体的重量为5.5kg时，请求出弹簧的长度．
（4）如果弹簧的最大伸长长度为20cm，则该弹簧最多能挂多重的物体？
【分析】（1）由表可知，当物体的重量为3kg时，弹簧的长度是13.5cm；
（2）由表中的数据可知，x=0时，y=12，并且每增加1千克的重量，长度增加0.5cm，所以y=0.5x+12；
（3）令x=5.5，代入函数解析式，求出y的值即可；
（4）令y=20，代入函数解析式，求出x的值即可．
【解答】解：（1）物体的重量为3kg时，弹簧的长度是13.5cm．
故答案为13.5；
（2）根据上表可知y与x的关系式是：y=12+0.5x；
（3）当x=5.5时，y=12+0.5×5.5=14.75cm；
（4）当y=20时，得20=12+0.5x，解之得x=16千克．
【点评】本题考查了函数关系式，做题时需仔细分析表中的数据，进而解决问题，关键是写出解析式．
25．（10分）（1）．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB 和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等，）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是小明．
（2）应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为100°；
（3）拓展：
在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ=∠A，∠C=∠CPQ，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，求出∠APQ和∠CPQ，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠C=∠POB，根据三角形外角性质得出∠APC=∠POB ﹣∠A，代入求出即可．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等），
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠CPQ=∠C，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C；
故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两条直线互相平行，小明；
（2）如图2，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，
∵∠A=120°，∠C=140°，
∴∠APQ=60°，∠CPQ=40°，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=100°，
故答案为：100°；
（3）∠APC=∠C﹣∠A，
理由是：如图3，∵AB∥CD，
∴∠C=∠POB，
∵∠APC=∠POB﹣∠A，
∴∠APC=∠C﹣∠A．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
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