比例及平行线分线段成比例定理

一、比例
1、比例的基本性质：
1)
,a c ad bc b d =
⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b d
b d a
c =⇔
=(反比定理); 3)a c a b b d c d =⇔=(或d c
b a =)(更比定理);
4)a c a b c d b d b d ++=⇔=(合比定理);
5)a c a b c d b d b d --=⇔=(分比定理);
6)a c a b c d b d a b c d ++=⇔=--(合分比定理);
7)(0)a c m a c m a b d n b
d
n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).
2、比例中项：
若::a b b c =,则b 叫做,a c 的比例中项. 3、如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则
AB DE
BC EF
=.此定理 称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.
l 3
l 2l 1F
E D C
B A
二、平行线分线段成比例定理及其推论
1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则
AD AE DE
AB AC BC
==
A
B
C
D
E
E
D
C B A
3. 平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容 难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用 关键：掌握好与相似的过渡
板块一、比例的基本性质
【例1】 已知：a c b d
=，求证：ab cd +是2222
a c
b d ++和的比例中项。

【例2】 已知：
234x y z
==。

求33x y z x y
-+-. 【例3】 设1
4a c e b d f ===，则a c e b d f
+-=+-_______
板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例4】
如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

E
D
C
B
A
【例5】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，
，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

例题精讲
重、难点
O
F
E
D C
B
A
【例6】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ， 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

Q
P
F
E
D C
B
A
板块三、定理及推论与中点有关的问题
【例7】
（2007年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1
4
AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. M
E
D
C
B
A
（2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ）
(2)
F E
D
C
B
A
A.
52 B.1 C.3
2
D.2
【例8】
（2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE
交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD 的值；
（2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想. E D C
B A
O
【例9】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交
点.
（1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
F E D
C
B
A
【例10】如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

求证：AF EF =。

F
E
C
B
A
【例11】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P 。

若2AD DE =，求证:3AP AB =。

P
E
D
C
B
A
【例12】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分别是AB AC ，的中点，则111
2
D E a =；
若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213
224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；
若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则33137
248
D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；
…………
若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.
E n D n E 3D 3E 2D 2E 1
D 1C
B
A
板块四、利用平行线转化比例
【例13】
如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111
c a b
=+.
F
E D
C
B
A
【例14】（黄冈市中考题）如上图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，
垂足为F .证明：111
AB CD EF +=
.
【例15】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
N
H F E
D C
B A
M
【例16】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
【例17】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．
G F
E
C
D
B
A
【例18】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，
求证：1AD AE
DC EB
+=
P
N
M
E D C
B
A
【例19】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
M
H G F
E
C
B
A
【例20】
如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、
AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
F N
M
E
D C
B
A
【例21】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.
F
E
M
D
C
B
A
【例22】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长。

F E D
C
B
A
【例23】 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值。

O
F
E D
C
B
A
【例24】 已知等腰直角ABC ∆中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且CE CD =，过E 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L ，K ． 求证：BL LK =．
L K
E
D
C B
A
【例25】如已知DE AB ∥，2
OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.
D
O
E
C
B A
【例26】在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.
P
E
D C
B
A
【例27】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线
相交于P ，求证：BP BD
CP CE
=
P
E
D
C
B
A
【例28】已知，在ABC ∆中，AD 、BE 、CF 为其三条高线，P 为此三角形内一点，且PG BC ⊥，PH AC ⊥，
PK AB ⊥，G 、H 、K 为垂足，求证：
1PG PH PK
AD BE CF ++=.P
K
H
G F E D
C
B
A。