数学建模：抢渡长江

抢渡长江
摘要：
渡河问题在实际生活中十分常见，怎样选择渡河方向以及怎样更多的节省时间，同时又能抵达目的地，那么渡河速度（大小方向）的选择是十分关键的，在此又由于诸多因素的影响（河流的水流速度，运动员体能，风向，水温等）致使要求我们作出合理的规划。

本文通过适当的假设，从不同层次作了多方面分析，排除了一些偶然因素的影响，把游泳者抵达目的地的最小时间作为目标，通过简化的数学模型进行求解抢渡长江这一问题。

主要运用三角函数、运动的等时性、速度的合成与分解、线性关系、解三角形知识、积分知识以及借助MATHEMATICA数学软件进行求解。

最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并给出了抢渡长江的推广和运用。

关键词：抢渡长江运动等时性线性关系三角函数 MATHEMATICA 积分求解数学模型
问题重述：
“渡江”是武汉城市的一张名片。

早从1934年，武汉市就曾举行大型渡江比赛，随后好几年都一直延续这个比赛。

由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

现就如何根据自身情况最大效率地渡过河建成一个数学模型。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。

通过数学建模来分析上述情况并回答：
1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大 小和方向不变，且竞渡区域每 点的流速 均为 1.89米/秒。

试说明2002 年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。

如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度 能保持在1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2、在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据数学模型说明为什么 1934 年 和2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3、若流速沿离岸边距离的分布为 ：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v
(设从武昌汉阳门垂直向上为 y 正向) ：游泳者的速度大小（1.5 米/秒）仍全
程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。

4、若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=1160960)1160(200
28.296020028.2200020028
.2)(y y y y y y v ，，，
先判断这个水流分布的正确性，若不正确，再提出自己认为合适的的看法。

5、用简洁明了的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文，帮助其更好地渡江。

6、模型的推广与应用
二、模型假设：
（1） 人在游泳过程其速度中不受天气和水温的影响； （2） 将人看作是一个质点； （3） 两河岸是相互平行的；
（4） 人游泳时的速度大小恒定； （5） 不考虑流体层流动速度的差异； （6） 游泳者改变速度的方向在瞬间完成。

三、符号说明
t 为游泳者所用的时间
L 为游泳者垂直于河岸的位移 S 为沿河岸的位移
θ为问题1中游泳者位移与河岸的夹角 d 为起点和终点之间沿河岸的距离
1θ为开始时游泳者的合速度与河岸的夹角
2θ为y=200时游泳者的合速度与河岸的夹角
人v 为游泳者速度的大小
水v 为水流速度的大小
1ϕ为开始时游泳者的速度与河岸的夹角 2ϕ为y=200时游泳者的速度与河岸的夹角
合v 为游泳者的合速度
S 1 为水流速度变化时游泳者的位移之和 S 2 为水流速度不变时游泳者的位移
3θ为问题4中y=200时游泳者的合速度与河岸的夹角
四、模型建立与求解
（一）模型一
假设游泳者的速度大小和方向均不随着时间变化,运动途径如图（a ）所示。

此时，水平方向的合速度为u v +θcos ，竖直方向的合速度为θsin v 。

根据运动的同时
性可知，一个合运动在各个方向上的分运动具有等时性，故可列出等式：
t=
θsin 人v L =水
人v cos +θv S
（1）
又根据河岸的长宽关系可以得出：
tan θ=L/S （2）
将L=1160米，S=1000米，ν=1.89米/秒，T=14分钟8秒=848秒代入目标函数求得θ=118.2o ,v=1.57米/秒 。

第一名运动的方向成θ=118.2o ，大小为1.57米/秒的速度直线运动，最终与水流合成的运动为连接起点和终点的一条线段。

当一个人的速度大小确定为1.5米/秒时，将L=1160米，S=1000米，ν=1.89米/秒，v 水=1.5米/秒代入（1）（2）式子求得
θ=121.7o ,t=901秒=15.1分。

故其是沿着于河岸下流方向成θ=121.7o 运动，算得成绩为15.1分。

图（a ）
（二）a 、对于问题2，在问题1的假设下用1中所建立的模型
假设运动员能渡过河，将L=1160米，S=1000米，人ν=1.89米/秒，θ=90o 代入目标函数t=
θsin 人v L =水
人v v S
+θcos （3）
求得t=529秒，v=2.19米/秒。

由于2.19>1.57（1.57米/秒为2002年横渡长江中选手的最大速度），按问题2中所给定的条件，人的速度不可能达到2.19米/秒，故不能到达终点。

b 、1934年和2002年能游到终点的人数百分比差别如此大的原因是：它们的全程不同。

1934年9月9日的那次渡河，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。

而2002年5月1日的渡河起点设在武昌汉阳门码头，终点设在离出发点水平距离1000米的汉阳南岸咀，江面宽约1160米，由勾股定理可算得其直线的距离，远小于5000米。

（全程越大能够到达目的地的人越多）。

所以我们给出了能够成功到达终点的条件为：
t =
θsin 人v L ≤水
人v v S
+θcos （4）
（垂直方向上所用时间小于等于水平方向上所用时间）
根据此等式，可以看出y 、v 水是定值当d 的值不同时，v 人和θ对游泳者能否到达目的地起到了决定性的作用。

d 值越大，对v 人、θ的要求越小。

（三）模型二
模型二中考虑到了水流速度与离岸边的距离关系，江中部的水流速度一定比靠岸边时的水流速度大一些，因此有了题目中对水流速度u 与距岸边的距离y 做出了如下假设：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v （5）
现拟将游泳者游泳的路线分成三段，如图（b ）所示
图（b ）
则游泳者垂直河岸的位移为1000，得到如下方程：
L =+21cot 760cot 200*2θθ （6）
由（6）式可以得到1θ和2θ的关系
图（c ） 则
）
（水
人111
-sin v sin θϕθ=
v （7）
图（d ） 同理可得到
）
（水
人222
-sin v sin θϕθ=
v （8）
且时间2
211sin 760
sin 400θθv v t +=
（9）
以（6）、（7）、（8）式为限制条件，以（9)式为目标函数，可以利用lingo 软件解得当1θ≈125度，此时时间t 最小约为904s ，此时即为最优解。

(四)模型三
模型三进一步完善了模型二，考虑到水流速度与离岸边的距离关系可能更为复杂，因
此题目中对模型的假设做了进一步的完善，假设如下：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=1160960)1160(200
28.296020028.2200020028
.2)(y y y y y y v ，，，
（10）
仍将游泳者的路线分成三段。

如图所示：
图（e ）
当0≤y ≤200时，游泳者速度的方向是时刻发生变化的，一开始时y=0，水流速度为v 人=0米/秒，游泳者v 人的方向与河岸的夹角为1θ；当y=200时，水流速度v 水=2.28，此时，
游泳者v 人的方向与河岸的夹角是2θ。

在这个过程中，游泳者速度的方向是不断变化的，此时，
图（f ）
图（g ）
此时，由三角形的正弦定理得：
()
()
323
2-sin sin sin v θθθθπ水人合v v =
=
- （11）
由余弦定理得：
()水
人合
水人v v 2v -v cos 2
222+=
-v θπ （12）
将（7）式中的
()
()
322-sin sin θθθπ水合v v =
-代入（8）中得：
()()
水
人水水人v v 2-sin v -v v -cos 3222222θθθπ+=
（13）
{
水
人人v v v v v x y +==θθcos sin （14）
则，由于位移是速度的积分，则可得到如下方程：
⎰=2
1
200
sin θθ
θθd v 人
（15）
0≤y ≤200时，沿河岸的位移为S 1，它与v 有如下的关系：
)200
28
.2cos (22
1
200
1⎰⎰
+=θθθθydy d v S 人
(16)
当200≤y ≤960时，水流速度恒定，游泳者速度的大小和方向都是不变的，因此，他做一个匀速直线运动，此时S 2与3θ的关系如下：
32cot 760θ=S (17)
令210S S S += （18） 联立（11）、（13）、（15）、(16)、(17)、（18）并利用MATHMATICA 软件可求得
人v =1.538米/秒时仍然无解，而正常人游泳速度最大约为1.538米/秒
所以根据计算，基于这样的假设之下，是没有人可以到达终点的，说明此假设是不合理的，现在在分析判断的基础上做出如下假设：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=1160960)1160(200
28.296020028.2200020028
.2)(y y y y y y v ，，，
再利用原模型求解
⎰⎰
+=2
1
200
200
28
.2cos 2θθθθdy y d v S 人 （19）
21S S S += (20)
联立（7）、（9）两式，只要给出一个人的速度，即可得到他一开始游泳的方向。

再联立、（11）、(13)、（15）、(16)
即可得到他沿河岸的位移，与1000进行比较，就可以判断他是否可以到达终点。

至于如何选择路线的问题，我们认为，他在游泳过程中速度的在不断的调整自己的方向，而以我们目前所学的知识，我们还无法确定θ与时间t 的关系为什么样的时候是最优的，所以无法得到得到最优路线。

(五) 给有意参加竞渡的游泳爱好者的一份竞渡策略短文
在人们物质生活改变的这个社会中，越来越多的人选择了一社会性的竞技活动。

“抢渡长江挑战赛”自开赛以来受到了各界人士的关注，同时由于其挑战人的方面众多，对参加比赛的人员而言，也是一种自我身体和智力的挑战。

通过
我们几个同学的讨论研究，得到了一些结论，希望能给竞渡者一些帮助，让他们有更好的发挥。

首先，竞渡者应该做好充分的准备，对当地的人文、气候、风向、水情、水性等因素进行观察、预测，及时掌握相关的变化情况，用心衡量自己的体质、调节好自己的心态，沉着冷静，大胆应战。

其次，在竞渡过程中，有一些原理上的注意点。

竞渡者要根据自己的实际情况来调节游泳的速度和方向，比如，对于游泳速度较大的选手而言，应该尽量选择逆水前行以使时间用的更少。

五、模型的优缺点
此次建模，我们主要运用三角函数、运动的等时性、速度的合成与分解、线性关系、解三角形知识、积分知识等简单的数学知识，同时借助MATHEMATICA 数学软件进行求解，将数学知识完美结合，突出知识的应用性。

整个过程通俗易懂并且附有许多图片，给人很好理解。

但模型的求解建立在一些假设上，使得结果和真实的比赛存在一定差异。

如模型中假设选手的速度不变，假设中忽略了一些实际上不可以避免的因素（如风向、水温、漩涡等）对选手结果的影响。

但总体来讲，此模型还是能作为选手的参考，帮助他们更好地发挥。

六、模型的推广
通过横向比较，航空、航海、轮渡、摆渡、军事（潜艇）等项目于渡江有一定的相似性。

此模型还可以着重运用于这些方面，帮助决策者设计运行的速度，设计最优路线，节能减排，铸造低碳社会。