推荐-2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)

2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)

第一试

一、选择题

1．设S ＝{(x ，y )|xy ＞0}，T ＝{(x ，y )|x ＞0且y ＞0}，则( )

A 、S ∪T ＝S

B 、S ∪T ＝T

C 、S ∩T ＝S

D 、S ∩T ＝Φ

2．若f (x )＝1

x

的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )

A 、A ∪

B ＝B

B 、A ≠⊃B

C 、A ⊆B

D 、A ∩B ＝Φ

3．已知ta nα＞1，且sinα＋cosα＜0，则( )

A 、cosα＞0

B 、cosα＜0

C 、cosα＝0

D 、cosα符号不确定

4．设a ＞0，a ≠1，若y ＝a x 的反函数的图像经过点(

22，－1

4

)，则a ＝( ) A 、16 B 、4 C 、2 D 、 2

5．已知a ≠0，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像关于原点对称的充要条件是( )

A 、b ＝0

B 、c ＝0

C 、d ＝0

D 、b ＝d ＝0 6．若△ABC 三条边长依次为a ＝sin 34，b ＝cos 34，c ＝1，则三内角A 、B 、C 的大小顺序为( )

A 、A ＜

B ＜

C B 、B ＜A ＜C C 、C ＜B ＜A

D 、C ＜A ＜B

7．若实数x 满足log 2x ＝3＋2cosθ，则|x －2|＋|x －33|等于( )

A 、35－2x

B 、31

C 、2x －35

D 、2x －35或35－2x 8．区间[0，m ]在映射f :x →2x ＋m 所得的象集区间为[a ，b ]，若区间[a ，b ]的长度比区间[0，m ]的长度达5，则m ＝( )

A 、5

B 、10

C 、2.5

D 、1

9．设数列{a n }(a n ＞0)的前n 项和是S n ，且a n 与2的算术平均值等于S n 与2的几何平均值，则{a n }的通项为( )

A 、a n ＝n 2＋n

B 、a n ＝n 2－n

C 、a n ＝3n －1

D 、a n ＝4n －2 10．函数f (x )＝－9x 2－6ax ＋2a －a 2在区间[－13，1

3

]上的最大值为－3，则a 的值为( )

A 、－32

B 、6＋2或－ 2

C 、6＋2或2－ 6

D 、2－6或－ 2

二、A 组填空题

11．已知定义在非零自然数集上的函数f (n )＝⎩⎨⎧n ＋2 n ≤2005

f (f (n －4))，n ＞2005

，则当n ≤2018时，n －f (n )

＝____________；当2018＜n ≤2018时，n －f (n )＝____________. 12．若sinαcosβ＝1，则cosαsinβ＝____________. 13．化简

sin 7π

8

＋sin 3π

8

的结果为______________. 14．There are 2018 balls lined up in a row . There are coloured to be red ，white ，blue and black in the following order :5 red ，4 white ，1 blue ，3 black ，5 red ，4 white ，1 blue ，3 black …….Then the last ball is coloured to be _______________.

(英汉词典：to lined up in a row 排列成一行；to colour 染色；order 顺序、次序)

15．已知集合A ＝{x |x ＝3n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈N *}，将A ∩B 的元素按照从小到大排列成一个数列{a n }，则a 3＝_____________；数列{a n }的通项公式为_______________. 16．Suppose that the graph of quadratic function f (x ) passes through the origin ，and there holds f (x ＋2)＝f (x )＋x ＋2 for all x ∈R . Then the expression of f (x ) is _________.

(英汉词典：graph 图像、图形；quadratic 二次的、平方的；origin 原点；to hold 成立；expression 表达式)

17．tan 24°＋3tan 24°tan 36°＋tan 36°＝______________.

18．计算：12－22＋32－42＋……＋20182－20182＝______________.

19．王先生乘坐一辆出租车前往首都国际机场，该车起价10元(3公里以内)，3公里以外每行驶0.6公里增加1元，当王先生到达机场时，计价器显示应付费34元，设王先生乘车路程为s 公里，则s 的取值范围是______________.

20．已知f (x )＝⎩

⎨⎧2x ＋1，(1

2≤x ＜0)

e x ＋e

－x 2

，(x ≥0)，则f －

1(x )＝___________________.

三、B 组填空题 21．设f (x )＝x 2＋mx ＋1，若对于任意的x ∈R ，f (x )＞0恒成立，则m 的取值范围是__________. 22．试写出不定方程x 2－2y 2＝1的两组整数解为______________，______________. 23．函数y ＝sin [2(x －π

3)＋Φ]是偶函数，且0＜Φ＜π，则Φ＝____________;其单调减区间是

_____________________.

24．数列1，2，3，1，2，3，……的通项公式a n ＝_____________，前n 项和S n ＝______________.(分别用一个式子表示)

25．已知数列{a n }的前10项依次为12，13，23，14，24，34，15，25，35，4

5，那么这个数列的第2018

项是_____________，它的前2018项和为________________.