高三数学 同角三角函数关系与诱导公式、三角函数的图像、三角函数的性质 知识精讲

高三数学 同角三角函数关系与诱导公式、三角函数的图像、三角函数的性质 知识精讲
一. 同角三角函数关系与诱导公式 1. 同角三角函数间八大基本关系式 （1）平方关系：
s i n cos tan
sec cot csc 222
2221
11αααααα
+=+=+=
（2）倒数关系：
t a n c o t c o s s e c s i n c s c αααααα⋅=⋅=⋅=1
11
（3）商数关系：
t a n s i n c o s
c o t c o s
s i n αα
αααα
=
=
2. 同角关系式的主要应用
（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角恒等式。

3. 诱导公式 k ⋅
±π
α2
的各三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k 为奇数时得
角α的相应的余函数值，然后放上把α看作锐角时原函数所在象限的符号。

为便于记忆，还可用口诀表示上面的概括。

“奇变偶不变，符号看象限”。

4. 正确理解及灵活应用同角三角函数式和诱导公式求值，化简、证明。

（1）运用诱导公式求三角函数值的步骤是：任意角→正角→0360︒︒~→锐角→求值。

运用同角关系求值时要注意结合方程思想方法（如考题的“代换技巧”）。

（2）三角函数式化简的要求： （a ）项数尽量少；
（b ）函数种类尽量少； （c ）次数尽量低； （d ）尽量不含分母； （e ）尽量不带根号；
（f ）能求出值的求出数值。

（3）证明三角恒等式的一般方法：
（a ）化繁为简：从一边开始证得它等于另一边。

（b ）左、右同一：证明左、右两边都等于同一个式子（或值）。

（c ）变换结论，即改证与其等价的结论。

三角变形技巧常用弦切互化；“1”的代换法，有时用到比例性质。

二. 三角函数的图像
1. 正弦、余弦、正切、余切函数的图像
三角函数的图像从“形”的方面反映了任意角（弧度数）与它的函数y 的对应关系，形像直观，有助于理解和记忆三角函数的性质，应注意充分运用图像的直观性来解答三角函数的值域，最值，比较三角函数值的大小，解简单的三角方程和不等式。

（1）“五点法”作y A x A =+>>sin()()ωϕω00，的简图。

五点的取法是：设X x =+ωϕ由X 取02
32
2，
，，
，π
ππ
π来求相应的y 值。

五点法作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分点（取5个分点）分别找到函数图像的最高点、最低点，及“平衡点”，由于这五个点大致确定了函数图像的位置和形状，所以可以迅速画出函数的图像。

（草图）
（2）形如y A x A =+>>sin()()ωϕω00，的图像与y x =sin 的图像间的关系 （a ）振幅变换：将y x =sin 的图像上各点的纵坐标变为原来的A 倍（横坐标不变），得到y A x =sin 的图像；
（b ）相位变换：将y A x =sin 的图像上所有点向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位，得到y A x =+sin()ϕ的图像。

（c ）周期变换：将y A x =+sin()ωϕ的图像上各点的横坐标变为原来的1
ω
倍，（纵坐标
不变）得到y A x =+sin()ωϕ的图像。

2. 根据图像确定函数解析式y A x =+sin()ωϕ，观察图像特征、形状，所给条件通过判断分析和计算确定A 、ωθ、和得到函数的解析式。

一般方法是：
（1）由图像判断出函数的周期、振幅、初相，即用A 、ωθ、的意义求解。

（2）待定系数由图像经过的特殊点列出方程。

两者结合求解
三. 三角函数的性质
2. 利用函数单调性比较三角函数值的大小 其一般方法是：
（1）不同名函数化为同名函数，自变量不在同一单调区间化为同一单调区间；
（2）中间值比较。

3. 三角函数的单调性的判定
函数y A x A =+>>sin()()ωϕω00，等的单调区间的确定，基本思想是把ωϕx +看作一个整体，比如：由22
22
k x k k Z ππ
ωϕππ
-≤+≤+
∈()解出x 的范围所得区间即为增区间，
由22
232
k x k ππ
ωϕππ
+
≤+≤+
解出x 的范围，所得区间为减区间。

4. 三角函数奇偶性的判定
函数y A x =+sin()ωϕ及y A x A =+≠≠cos()()ωϕω00，的奇偶性。

（1）当ϕπ=k 时，y A x y A x =+=+sin()cos()ωϕωϕ，分别为奇函数和偶函数。

（2）当ϕππ
=+
k 2
时，y A x =+sin()ωϕ和y A x A =+≠≠cos()()ωϕω00，分别为
偶函数和奇函数。

注意：
（1）函数的定义域是否关于原点对称是判断函数的奇偶性的重要条件之一，必须首先予以考虑。

（2）一般情况下，须对函数式进行化简后再判断奇偶性。

5. 周期函数
对于函数y f x =()，如果存在一个非零常数T ，使得对于定义域内的任意值x ，都有
f x T f x ()()+=，那么函数y f x =()叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个
周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小的正数，叫做这个函数的最小正周期。

注意：
（1）一般地，如果T （T>0）是函数y f x =()的一个周期，那么k T k Z ⋅∈()也是它的周期。

（k ≠0）
（2）周期函数未必都有最小正周期（如f c c ()=，就不存在最小正周期）。

（3）对于函数y f x =≠()()ωω0，如果存在非零常数T ，使得f x T f x ()()ω+=对定义域内的任何值x 都成立，那么这个函数的一个周期为T T
=|
|ω。

6. 三角函数的周期
一般地，是把函数f x ()化成易求周期的函数y A x =+sin()ωϕ或y A x =+cos()ωϕ或y A x =+tan()ωϕ等形式，化简的一般思路是：“多个化一个，高次化一次”。

y A x =+s i n ()ω
ϕ或y A x =+cos()ωϕ或y A x =+tan()ωϕ的最小正周期分别为T T T =
==22πωπωπω||||||
，，。

例1. （1994·全国）
已知sin cos ()θθθπ+=
∈1
5
0，，，则cot θ的值是__________。

解析：解法1： sin cos ()θθ+=1
51 两边平方得521
25
+⋅=sin cos θθ
∴⋅=-<224
25
0sin cos θθ θπ∈[)0，
∴><s i n c o s θθθ00，，为第二象限角
(s i n c o s )s i n c o s ()θ
θθθ-=-⋅=--=2
121242549
25
s i n
cos ()θθ-=7
5
2
()()12+得28545sin sin θθ=∴=， ()()12-得2653
5
cos cos θθ=-∴=-，
∴=
=-cot cos sin θθθ3
4
解法2：由sin cos θθ+=15得sin cos θθ=-1
5
两边平方得sin cos cos 2
212525θθθ=
-+ 即2252425
02
cos cos θθ--
= θπθ
∈∴=()c o s 04
5
，（舍去） ∴=-cos θ3
5
从而sin cot θθ==-453
4
，
解法3：同1得sin cos θθ=-12
25
∴+=-
∴+=-s i n c o s s i n c o s c o t c o t 221225
12512
θθθθθθ
即12251202
cot cot θθ++=
∴=-cot θ34或cot θ=-4
3
又0000<<∴<∴><θπθθθθ，，，sin cos sin cos 而sin cos θθ+>0
∴>∴<|s i n ||c o s |
|c o t |θθθ1
故cot θ=-
3
4
说明：这是一道较为典型的题，解法灵活考查三角函数的求值，考查学生的思维能力和运算能力。

例2. （1999·全国）
函数y M x =+>sin()()ωϕω0在区间[]a b ，上是增函数，且f a M ()=-，f b M ()=，则ϕωϕ()cos()x M x =+在[a ，b]上（ ）
A. 是增函数
B. 是减函数
C. 可以取得最大值M
D. 可以取得最小值-M
解析：解法1：取M ===ωϕ10，，则有f x x g x x ()sin ()cos ==，，取
a b =-
=
π
π
2
2
，，这时g(x)在[a ，b]即[]-
π
π
2
2
，
上既不是增函数，也不是减函数，且取得
最大值1，因而排除A 、B 、D ，故选C 。

解法2： f x ()在[a ，b]上是增函数，f a M f b M T ()()=-==，，2π
ω
∴>>f b f a M ()()，0
而由y M x T =+>−→−−−−=sin()()ωϕωπω021
4
左移
y M x M x =++=+s i n [()]c o s ()ω
π
ω
ϕωϕ2 也就是说，函数g(x)是f(x)向左平移1
4
T 得到的，可知选C 。

解法3： f x ()在[a ，b]上是增函数，f a M ()=-，f b M ()= ∴>>f b f a M ()()，0
x a =时，ωϕωϕππ
x a k +=+=-22
x b =时，ωϕωϕππ
x b k k Z +=+=+∈22
()
x a b ∈[]，时，k x k k Z ππ
ωϕππ
-
≤+≤+
∈2
2
()
从而当ωϕπx k +=2时，y M x =+cos()ωϕ有最大值M ，故应选C 。

说明：本题主要考查函数y A x =+sin()ωϕ的性质，兼考分析思维能力，要求对基本函数
的性质能熟练运用（正用逆用），方法一取特殊值可降低难度简化命题。

例3. （1998·全国） 关于函数f x x x R ()sin()()=+
∈423
π
有下列命题：
（1）由f x f x ()()120==可得x x 12-必是π的整数倍； （2）y f x =()的表达式可以改写为y x =-426
cos()π
；
（3）y f x =()的图像关于点()-
π
6
0，对称；
（4）y f x =()的图像关于直线x =-
π
6
对称。

其中正确命题的序号是__________（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 解析：先验证（1）令423
0sin()x +
=π
得
23
x k k Z +
=∈π
π()，x k k Z =
-∈ππ
26
() 设x k x k k k k k Z 112212122626
=
-=-≠∈ππππ
，，，、 则f x f x ()()120==，但x x k k 12122
-=-π
()
当k k 12-为奇数时，命题（1）不正确。

验证（2）y f x =()
=+
=-+
=-
423
42
23
422
s i n ()
c o s [()]cos()
x x x π
ππ
π
∴（2）正确
验证（3），根据sin()23
0x +=π
得x k =
-ππ
26
当k =0时，x =-
π
6
故f x ()的图像关于点()-
π
6
0，对称，从而（3）正确
（4）不正确，故应填（2）、（3）
说明：此题有一定难度，对于具体的每一个判断我们只要熟练掌握其相应知识即可，难度在于出题的形式，虽不算综合题，但知识含量大，往往容易顾此失彼，全盘皆输，所以一定要仔细、耐心、讲究方法。

例1. 若
sin cos sin cos α
α
αα11022-+-=，判断cos(sin )sin(cos )αα⋅的符号。

解：依题设有
sin |sin ||cos |
cos αααα
+=0 ∴<s i n
cos αα0 故知α是第二象限或第四象限
（1）若α在第二象限，则0110<<-<<sin cos αα， ∴><c o s (s i n )s i n (c o s)ααα00，
∴原式<0
（2）若α在第四象限，则-<<10sin α，01<<cos α 有cos(sin )α>0，sin(cos )α>0 ∴原式>0
例2. 函数f x a a x x x ()cos sin ()=-
-++≤≤12402
2π
的最大值为2，求实数a 的值。

解：f x x a a a ()(cos )=--+-+22
4
22因01≤≤cos x
（1）当021≤≤a ，即02≤≤a 时，应cos x a
=2，函数f(x)可取得最大值，此时
f x a a ()|max =-+22
4
由
a a 22
42-+=得a =3或a =-2均不合题意 （2）当a
2
0<即a <0时，应cos x =0，函数f x ()可取得最大值，此时
f x a a a a ()|()max =--+-+=-+2242
4
22
由
-+=a 2
42得a =-6 （3）当a
2
1>，即a >2时，应cos x =1
函数f(x)可取得最大值，此时
f x a a a a ()|()max =--+-+=-122432
4
22
由3242a -=得a =10
3
∴=-a 6或a =10
3
说明：此题为三角函数与二次函数的综合题考查三角函数的性质，二次函数的性质，分类讨论思想。

例3.
（1 （2 解：（1 ∴=ω22
T 又A =∴3，所给曲线是由y x =32sin
沿x 轴向右平移π
3
而得到的
∴解析式为：y x =-3123sin ()π （2）设(x ，y)为y x =-3126sin()π
上的任意一点，则该点关于直线x =2π的对称点应为
()4π-x y ，，故与y x =-3126
sin()π
关于直线x =2π对称的函数解析式是
y x x x =--=----31246
326326
s i n [()]
s i n ()s i n ()
ππ
ππ
说明：注意函数y f x =()关于直线x a =对称的函数是y f a x =-()2这种关系（对称
性）。

1. 已知tan x a
a =
-21
2
其中01<<a 且x 是∆ABC 的一个内角，则cosx 的值为（ ） A. 212a a + B. 112
2-+a a
C. a a 2211-+
D. ±-+a a 221
1
2. 已知51213cos sin x x +=，求tan x 的值。

3. 如果函数y x a x =+sin cos 22的图像关于直线x =-π
8
对称，那么a 的值等于（ ）
A.
2
B. -2
(2
【试题答案】
1. 解法1： 0121
022
<<∴=-<∴∈a x a a x ，，，tan ()π
π ∴<s e c x 0且sec tan ()()22
22222112111
x x a a a a =+=+-=+-
∴=+-∴=
-+sec cos x a a x a a 22
2
21
1
11
故选C
解法2：取a =12得tan x =-4
3
，又x 是∆ABC 的内角 ∴∈x (
)π
π2
，
从而cos x =-
3
5
，只有B 符合 2. 解法1： 51213cos sin x x +=
两边平方得2512014416922
cos sin cos sin x x x x ++=
即251201441692222
cos sin cos sin (sin cos )x x x x x x ++=+
∴-+=1441202502
2
cos sin cos sin x x x x
即(cos sin )12502
x x -=
∴-=∴=
1250
12
5
cos sin tan x x x
解法2：比例换元
设tan x k =，则sin cos x k x =代入已知式得 51213cos cos x k x += ∴=
+cos x k 13512，从而sin x k
k
=+13512
又由平方关系得 ()()1351213512122k k k
+++=
∴+=+∴-+=169169512251201440
22
2
k k k k ()
解得k =125，即tan x =12
5
3. 解法1： f x x a x ()sin cos =+22图像以直线x =-π
8
为对称轴
∴到x =-π
8
距离相等的x 值对应的函数值相等
即f x f x ()()-
+=-
-π
π
8
8
令x =π
8
f f ()()-
-
=-π
π
π
8
84
=-+-=-s i n ()c o s ()
ππ
221
a
f f a a
a ()()s i n c o s -
+
==+=∴=-π
π
880001
解法2：检验法（略） 4. 解：由题意知A T
==-=22
624，
∴==
=T T 824
，ωππ 将点()22，代入解析式得
224
2s i n ()⋅
+=π
ϕ
即
π
ϕππ
2
22
+=+
∈k k Z ， ∴=ϕπ2k ，又ϕππϕ∈-∴=[]，，0
∴函数解析式为y x =
28
sin
π
5. 解法1： y x x x =+2sin (sin cos )
=+⋅=-+=+-
221221224
2sin sin cos cos sin sin()x x x
x x
x π
由2224232k x k πππππ
+≤-≤+得
k x k k Z ππππ+≤≤+∈3878
() 而此函数的单调减区间为[]k k k Z ππππ++∈3878
，， 解法2：将函数解析式化简为 y x =+
-
1224
s i n ()π
，作出其一个周期的简图（五点法）如图
6. f x x x ()|sin()||cos()|+=+++π
π
π22
2 =++-=+=|c o s ||sin ||cos ||sin |()x x x x f x 恒成立
∴π
2是此函数的周期
假设存在常数02<<T π也使得对于任意的x
f x T f x ()()+=恒成立
则f T f ()()ππ
22+=成立 即|sin()||cos()||sin ||cos |π
πππ
22
22+++=+T T 即cos sin T T +=1
s i n ()T T T +=<<
<+<πππππ422024434 ， ∴<+≤2241s i n ()T π与sin()T +=π422
矛盾 故不存在常数02
<<T π使得5()()x T f x +=恒成立 ∴π2
是此函数的最小正周期 7. y f x =()的图像关于直线x a a =≠()0对称，则对于任意的x ，有f x f a x ()()=-2，f x f a x ()()-=+2
又f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()
从而f x f a x ()()=+2恒成立
即f(x)是周期为2a 的函数。