第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章-多元函数微分学习题参考答案第五章多元函数微分学习题
练习5.1
1.在空间直⾓坐标系下,下列⽅程的图形是什么形状? (1) )(422
2
椭圆抛物⾯z y x =+ (2)
圆锥⾯）(4222z y x =+
(3) 椭球⾯）(19
164222=++z y x (4) 圆柱⾯）(12
2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=
解：??
≥-≥0
y x y
即??
≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{
}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),(
(2) z =解：0≥-y x
{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为
3. ()y x f ,对于函数=
y
x y
x +-,证明不存在),(lim 0y x f x →
分析：由⼆元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所
得极限值不同即可。

证明：
①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，
(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===
②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k
f x y f x y k x kx k k
→→---=
1.求下列函数的偏导数①;,,33y
z x z xy y x z -=求解：
23323,3xy x y
z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y
z
x z xy z =求
解：[]1
211ln()
2z xy y x xy -?=??=?
[]1
211ln()
2z xy x y xy -
== ③222ln(),,z z z x x y x x y
=+?求
解：
1ln()z x y x x x y
=+++ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++=
+-+++=+++??==??
222
1()(ln())()()z z x x y
x y x y y x y x y x y x y x y ==++=-=?++++ ④;,3z y x u
e u xyz
=求
解；2
2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y
==+=+? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz
u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z
==+=+++???
=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++
y x f y xy ?-?+=→?)
1,2()1,2(lim
,),(0
2
则
解：①2
2(1)200(2,1)(2,1)0
lim lim ()0
y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式2
2(1)04(1)10lim 1
y y e y +??→?+??-= = 42e ②2220
1
(2,1)(2,1)
lim
(2,1)24xy y x y y f y f f e xy
e y
=?→=+?-'==?=?
3．设23ln(1),111x y z u
x y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=
+++ 23
21y
y
u x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1) 1233
()|4442
x y z u u u '''∴++=++= 4．设2
,20x
y z z
z e x
y x y
=+=求证: 证明：2
x
y y z e y e x y
-?=?=?Q 22331
(2)2x x
y y z e x xy e y y
-?=??-=-?Q
222223231
22(2)22x x x x
y y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y
---??∴+=+??-=-?+?? = 0
证毕
练习5.3
1.求下列函数的全微分
(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f z
x y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+
(2,3)
0.10.2
30.12(0.2)0.1dx dy dz
==-=?+?-=-
（2）求时的全微分当2,1),1ln(2
2
==++=y x y x z
解：2222
2211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=
+=+??++++ dy dx dy dx dz
3
2
3141144112)
2,1(+=+++++=
（3）,u xy yz zx du =++求
解：u u u
du dx dy dz x y z
=
2．计算下列各式的近似值
（分析运⽤公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）（1）03
.2)
1.10(
解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取
2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?
01.0ln 1.010)2,10()
2,10(1
2?+?+=-x x yx y y
9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+
解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-2
3
(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+
3
4(1,1)1|(0.02)y -+
-
= 0+005.002.04
1
03.03
1=?-
(3) 0046tan 29sin
解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,6
180
4
180
x x y y π
π
=
=-
=?=
则原式=)180
4
,
1806
(
π
π
ππ
+
-
f
(,)(,)()(,)
646418064180
x y f f f ππ
ππππππ
''≈+-+ =
2(,)(,)6464
11cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?
= 0.5023
练习5.4
1. 求下列函数的导数或偏导数。

（1）.,.23,,ln 2
y
z x z y x v y x u v u z -==
=求⽽解：2
22
23122ln 3ln(32)32x z z u z v u x y u v x y x u x v x y v y x y =+=?+?=-+ - 2
2
2)23(3)23ln(2y
23(2)23ln(2)2()(ln 222
3222y x y x y x y x v u y x v u y v v z y u u z y z ----=-+-?=+=?? (2) dt dz
e y e x x y z t t 求⽽,1,,2-===
解:
dt dy y z dt dx x z dt dz ??+??= )2(122
t
t e x e x
y -+?-
= 22211
(2)t t t t t e e e e e
-=-?+-
=()t t
e e -=-+
(3) dx
dz
x y y x y x z 求⽽,32,2-=+-=
解：⽅法1：
222
2
2323()()2333
(22)(33)(23)3(33)dz d x x d x x dx dx x x dx x x x x x x -+-+==+------+?=
- 2
2)
1(31
2---=x x x ⽅法2：
dx
dy y f x f dx dz ??+??= =2
22222)1(3122)()()()()()(2---=
+--+-++--+x x x y x y x y x y x y x y x x （4） 22,cos ,sin ,,z z
z x y xy x u v y u v u v
=-==⽽求
解：
u
2222(2cos sin sin )cos (cos 2cos sin )sin u v u v u v v u v u v u v v =?-+-?
=2
3sin cos (cos sin ),u v v v v -
z z x z y v x v y v
=+ =22
(2)(sin )(2)cos xy y u v x xy u v --+-
=3333
2sin cos (sin cos )(sin cos )u v v v v u v v -+++
2.求下列隐函数的导数或偏导数.
（1）.,0ln ln dx
dy
x y xy 求
=-+ 解：①两边同时对x 求导
11
0,y xy y y x
''++
-= 11()y x y y x '+=-
1
1y x y x y
-'=+
2
2y xy x x y -=+
②(,)ln ln F x y xy y x =+-令
1x F y x '=- 1y F x y '=+ 1
1x y y F dy x dx F x y
-
'=-=-'+2
2
y xy x x y -=+ （2）dx
dy xy e y x 求,0sin 2
=-+
解：两边同时对x 求导
2cos 20x y y e y xyy ''+--=
(cos 2)x
y y xy y e '-=- 2
cos 2y y y xy
'=-
3.已知⽅程222(,)0(,).F x y z x y z z f x y ++++==所确定的函数
,z z
F x y
且的两个⼀阶偏导数存在，求
解：①令2
2
2
,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则
两边同时对x 求偏导，
0u x u z x v x v z x F u F u z F v F v z ''''''''''?+??+?+??= 11220u u x v v x F F z F x F z z ''''''?+??+?+??=即22u v x u v F xF z
z x F zF ''+?'=
=-''
+ 两边同时对y 求偏导，
0u y u z y v y v z y F u F u z F v F v z ''''''''''?+??+?+??=
11220u u y v v y F F z F y F z z ''''''?+??+?+??=即
22u v y u v F yF z
z y F zF ''+?'=
=-''
+ ②令222,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则
122u v u v F F u F v F F x F xF x u x v x
''''=+=?+?=+ 2u v F F u F v
F yF y u y v y
''=+=+ 2u v F F u F v F zF z u z v z
''=+=+ 22u v u v F
F xF z x F x F zF z
''+=-=-''+ 22u v u v F F yF z y
F y F zF z ?''+??=-=-?''
+ ③2
2
,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则
两边同时求微分： 0u v F du F dv ''+=
222()()0u v F d x y z F d x y z ''+++++=
2220u u u v v v F dx F dy F dz xF dx yF dy zF dz ''''''+++++=
2222u v u v u v u v F xF F yF dz dx dy F zF F zF ''''
++=---''''
++
22u v x u v F xF z z x F zF ''+?'=
=-''?+ 22u v y u v
F yF z
z y F zF ''+?'==-''?+
练习5.5
1. 22
9620z x xy y x y =-++-+求⼆元函数的极值
解：290
4260
1x y z x y x z x y y '=-+==-
'=-+-==??解得 (4,1)20,(4,1)1,(4,1)2xx xy yy A z B z C z ''''''=-=>=-=-=-=Q ⼜ 03412<-=-=-=?AC B 是极⼩值1|)1,4(-=∴-Z 226012022515z x y x xy y x y =+---+=2.求⼆元函数在条件下的极值
解：2
2
(,,)60120225(15)F x y x y x xy y x y λλ=+---++-
604201202100150x y F x y F x y F x y λλλ'=--+=??
'=--+=??'=+-=?
解得 6
918x y λ=??
=??=-?
因为只有唯⼀的⼀个驻点，
且2222
()(30)(230)230z x y x y =-+----+?应有极⼤值，
故极⼤值855|)9,6(=z
12112212
1212123.,,82,102532,,Q Q x x Q P P Q P P C Q Q P P x x P P =-+=+-=+1212设分别为商品,的需求量⽽它们的需求量为总成本
11122122821025P
P PP P PP P =-+++- 121212(,)3(82)2(1025)
C P P P P P P =?-+++- 22
121212714544
L R C P P P P PP =-=+--+-利润函数 12121221724063/214141040P P
L P P P P L P P '=-+=?=
'==-+=解得为唯⼀驻点 1112
63
63
14201442
2
P P P P A L B L ''''==-<==Q （，）（，） 22
21
263
141040,263
,142
P P C L B AC L P P ''==--=-<==（，）有极⼤值.故在时利润最⼤.
练习5.6
221.,(,)64244321464440403248024(40,24)40x y xx x y L x y x x xy y y x y x y x y L x y x L x y y A L =-+-+-'=-+==
'
=+-==??''==-""
xy
yy B L C L ''''====-()()2160,40,2440,241650.
B A
C L ∴-=-<=故在取得极⼤值,即为最⼤值最⼤值()()()32
2
2.1
3(,)71341225024
x y
C x y x
y xy x y =+
-+++某公司同时销售煤⽓和电⼒，煤⽓的销量为单位:万⽶,电⼒的销量为单位:千⽡，总成本函数为单位:万元(),4360.,4360x y x y C x y x y +-=+-=其中满⾜问应如何安排销售,才能使总成本最低?
解:条件极值问题,实际中有最⼩值,即求在条件下的极值.
解：()22
13(,,)71341225043624
F x y x y xy x y x y λλ=
+-+++++-令 ()()3
713440
3138871202814360
x y
F x y F y x x y F x y λλλ'=-++='=-++==??'=+-=??382解得=万⽶千⽡即为销售安排.81()22,6202f L K L K L K =+--3.设某企业和⽣产函数为 L K 其中表⽰⽣产⼒,表⽰资本投⼊.如果这两种⽣产要素
的单价为4和8,且希望投⼊的总成本为88.求满⾜该条件的最⼤可能⽣产量.
f L K 解:条件极值问题.实际中有最⼤可能⽣产量.所以即求在条件4+8=88下的极⼤值.
()()2
2
,,62024888L K L K L K L K λλ=+--++-令F
62402048048880(6,8)32
L K
F L F K F L K L K f λ
λλ'=-+=??
'=-+=??'=+-=?∴=解得=6,=8,根据实际意义有最⼤可能⽣产量.所求最⼤⽣产量。