高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直练习(含解析)-

专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直
【考试要求】
1.理解直线的方向向量及平面的法向量；
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；
6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
【知识梳理】
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
3.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
4.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，
n 〉|＝
|a ·n |
|a ||n |
. 5.求二面角的大小
(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →
〉.
(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离
用向量方法求点B 到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A ，求向量AB →
到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n ，点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n |
|n |.
【微点提醒】
1.平面的法向量是非零向量且不唯一.
2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.
3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.
4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
(4)两异面直线夹角的X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的X 围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，二面角的X 围是[0，
π].( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；
(2)a⊥α；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.
【教材衍化】
2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直
D.以上均不对 【答案】 C
【解析】 ∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直.
3.(选修2－1P112A4改编)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1
2，则l 与α所成的角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】A
【解析】 由于cos 〈m ，n 〉＝－1
2，所以〈m ，n 〉＝120°，所以直线l 与α所成的角为30°.
【真题体验】
4.(2019·某某和平区月考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A.2a B.3a C.23a D.3
3
a 【答案】 D
【解析】 显然A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(a ，－a ，a )，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，BA →
＝(0，－a ，0)，则两平面间的距离d ＝|BA →
·n ||n |＝3
3
a .
5.(2018·某某区检测)已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，
k )，若α∥β，则k 等于( )
A.2
B.－4
C.4
D.－2 【答案】 C
【解析】 因为α∥β，所以1－2＝2－4＝－2
k
，所以k ＝4.
6.(2019·某某月考)若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为______. 【答案】 l ⊥α
【解析】 因为a ＝－1
2n ，所以l ⊥α.
【考点聚焦】
考点一 利用空间向量证明平行问题
【例1】 如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .
证明：PQ ∥平面BCD . 【答案】见解析
【解析】证明 法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .
由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0). 设点C 的坐标为(x 0，y 0，0). 因为AQ →＝3QC →，
所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
4
x 0，24＋34y 0，12.
因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，
所以PQ →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
4x 0，24＋34y 0，0.
又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ →
·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD .
法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0).
∵CF →＝14CD →
，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则
(x －x 0，y －y 0，0)＝1
4(－x 0，2－y 0，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0
，y ＝24＋3
4
y 0
，∴OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0
，24＋34y 0
，0
又由法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
4x 0，24＋34y 0，0，
∴OF →＝PQ →
，∴PQ ∥OF .
又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD . 【规律方法】
(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.
(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
【训练1】 如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，
G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .
【答案】见解析
【解析】证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，
∴AB ，AP ，AD 两两垂直.
以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，
D (0，2，0)，P (0，0，2)，
E (0，0，1)，
F (0，1，1)，
G (1，2，0).
法一 ∴EF →＝(0，1，0)，EG →
＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，
x ＋2y －z ＝0，
令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， ∵PB →＝(2，0，－2)，∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →
， ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .
法二 PB →＝(2，0，－2)，FE →
＝(0，－1，0)， FG →
＝(1，1，－1).设PB →＝sFE →＋tFG →
，
即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，
解得s ＝t ＝2. ∴PB →＝2FE →＋2FG →，
又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →
共面. ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 考点二 利用空间向量证明垂直问题
【例2】 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：
(1)PA ⊥BD ；
(2)平面PAD ⊥平面PAB . 【答案】见解析
【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .
以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.
∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，PA →
＝(1，－2，－3).
∵BD →·PA →
＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴PA →⊥BD →
，∴PA ⊥BD .
(2)取PA 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－1，32.
∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，0，32，PB →＝(1，0，－3)，
∴DM →·PB →＝3
2×1＋0×0＋32×(－3)＝0，
∴DM →⊥PB →
，即DM ⊥PB .
∵DM →·PA →＝3
2×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，
∴DM →⊥PA →
，即DM ⊥PA .
又∵PA ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面PAB . ∵DM ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB . 【规律方法】
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. ③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
【训练2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .
【答案】见解析
【解析】证明 法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，
μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →
.
令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →
＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一个基底，
则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→
＝a －c ，
m ＝λBA 1→
＋μBD →＝⎝
⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛⎭
⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc
＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证. 法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .
因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .
因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.
取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →
所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，
B 1(1，2，0).
设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
BA 1→＝(－1，2，3)，BD →
＝(－2，1，0).
因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →
，
故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，
－2x ＋y ＝0，
令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，
故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→
∥n ，
故AB 1⊥平面A 1BD .
考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 角度1 与平行有关的探索性问题
【例3－1】 如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面
ABCD .
(1)求证：BD ⊥AA 1；
(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析
【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，
∴A 1O 2
＝AA 2
1＋AO 2
－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2
＋A 1O 2
＝AA 2
1， ∴A 1O ⊥AO .
由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD . 以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，
B (3，0，0)，
C (0，1，0)，
D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).
由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→
＝(0，1，3)，
AA 1→·BD →
＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，
∴BD →⊥AA 1→
，即BD ⊥AA 1.
(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→
，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).
从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ).
设n 3⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，
又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)， 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，
3x 3＋3z 3＝0，
取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，
则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，
即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .
角度2 与垂直有关的探索性问题
【例3－2】 如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直，已知BC ＝4，AB ＝AD ＝2.
(1)求证：AC ⊥BF ；
(2)在线段BE 上是否存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ？若存在，求出BP PE
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)证明 ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AF ⊥AD ，AF ⊂平面ADEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .
∵AC ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥AC .
过A 作AH ⊥BC 于H ，则BH ＝1，AH ＝3，CH ＝3，
∴AC ＝23，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AC ⊥AB ，
∵AB ∩AF ＝A ，∴AC ⊥平面FAB ，
∵BF ⊂平面FAB ，∴AC ⊥BF .
(2)解 存在.由(1)知，AF ，AB ，AC 两两垂直.
以A 为坐标原点，AB →，AC →，AF →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －
xyz ，
则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (－1，3，2).
假设在线段BE 上存在一点P 满足题意，则易知点P 不与点B ，E 重合，设BP PE
＝λ，则λ>0，P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－λ1＋λ，3λ1＋λ，2λ1＋λ. 设平面PAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z ).
由AP →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－λ1＋λ，3λ1＋λ，2λ1＋λ，AC →＝(0，23，0)， 得⎩⎨⎧m ·AP →＝2－λ1＋λx ＋3λ1＋λy ＋2λ1＋λz ＝0，m ·AC →＝23y ＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝0，z ＝λ－22λx ，令x ＝1，则z ＝λ－22λ， 所以m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，0，λ－22λ为平面PAC 的一个法向量. 同理，可求得n ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，33，1为平面BCEF 的一个法向量. 当m ·n ＝0，即λ＝23
时，平面PAC ⊥平面BCEF ， 故存在满足题意的点P ，此时BP PE ＝23
. 【规律方法】 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.
(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y ，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0，0，z )；④直线(线段)AB 上
的点P ，可设为AP →＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算.
【训练3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，
AC ＝CD ＝ 5.
(1)求证：PD ⊥平面PAB ；
(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)证明 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，
所以AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD .
又PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB .
(2)解 取AD 的中点O ，连接PO ，CO .
因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .
因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，
所以PO ⊥平面ABCD .
因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO .
因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .
如图，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得，A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (2，0，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1).
设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0，1]，使得AM →＝λAP →.
因此点M (0，1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ).
因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD ，
则BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，
解得λ＝14
. 所以在棱PA 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，
此时AM AP ＝14
. 【反思与感悟】
1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.
2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直.
【易错防X 】
1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.若直线l 的一个方向向量为a ＝(2，5，7)，平面α的一个法向量为u ＝(1，1，－1)，则( )
A.l ∥α或l ⊂α
B.l⊥α
C.l ⊂α
D.l 与α斜交
【答案】 A
【解析】 由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l ⊂α.故选A.
2.已知a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A.a ∥c ，b ∥c
B.a ∥b ，a ⊥c
C.a ∥c ，a ⊥b
D.以上都不对
【答案】 C
【解析】 ∵c ＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a ，∴a ∥c ，
又a ·b ＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a ⊥b .
3.若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.在平面内
D.平行或在平面内
【答案】 D
【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面.
则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.
4.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A.P (2，3，3)
B.P (－2，0，1)
C.P (－4，4，0)
D.P (3，－3，4)
【答案】 A
【解析】 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，
∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，
∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.
5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝
2a 3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A.斜交
B.平行
C.垂直
D.MN 在平面BB 1C 1C 内
【答案】 B 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3
，
则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3
，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，
所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量.
因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，
又MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .
二、填空题
6.(2019·某某调研)已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平
面ABC ，则实数x ＋y ＝________.
【答案】 257
【解析】 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，
解得x ＝407，y ＝－157
，z ＝4， ∴x ＋y ＝407－157＝257
. 7.(2018·某某月考)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.
【答案】 垂直
【解析】 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方
体的棱长为1，则A (0，0，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.AM →·ON →＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直.
8.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ＝(2，2，4)，若a ＝(1，1，2)，则直线l 与平面α的位置关系为________；
若a ＝(－1，－1，1)，则直线l 与平面α的位置关系为________.
【答案】 l ⊥α l ∥α或l ⊂α
【解析】 当a ＝(1，1，2)时，a ＝12
n ，则l⊥α； 当a ＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l∥α或l ⊂α.
三、解答题
9.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12
PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .
【答案】见解析
【解析】证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP ，DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .
依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，
则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0).
∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0.
即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，
∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，
∴平面PQC ⊥平面DCQ .
10.如图正方形ABCD 的边长为22，四边形BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .
(1)求证：AE ∥平面BCF ；
(2)求证：CF ⊥平面AEF .
【答案】见解析
【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，
又四边形ABCD 为正方形，
∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，
故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0). BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →
＝(－1，－2，3).
(1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，
即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，
x ＋3z ＝0， 取z ＝1，得n ＝(－3，3，1).
又四边形BDEF 为平行四边形，
∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →
＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)，
∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ，
又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .
(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0，∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ，
又AE ∩AF ＝A ，
AE ，AF ⊂平面AEF ，
∴CF ⊥平面AEF .
【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：
①A 1M ∥D 1P ；
②A 1M ∥B 1Q ；
③A 1M ∥平面DCC 1D 1；
④A 1M ∥平面D 1PQB 1.
以上说法正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】 C
【解析】 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12
AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥平面DCC 1D 1，A 1M ∥平面D 1PQB 1.①③④正确.
12.(2019·某某调研)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点.则AM 与PM 的位置关系为( )
A.平行
B.异面
C.垂直
D.以上都不对
【答案】 C
【解析】 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，
依题意，可得，D (0，0，0)，P (0，1，3)，C (0，2，0)， A (22，0，0)，M (2，2，0).
∴PM →＝(2，2，0)－(0，1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2，0)－(22，0，0)＝(－2，2，0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，
即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .
13.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________.
【答案】1
【解析】 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设CE ＝x ，DF ＝y ，
则易知E (x ，1，1)，B 1(1，1，0)，F (0，0，1－y )，B (1，1，1)， ∴B 1E →＝(x －1，0，1)，∴FB →＝(1，1，y )，
由于B 1E ⊥平面ABF ，
所以FB →·B 1E →＝(1，1，y )·(x －1，0，1)＝0⇒x ＋y ＝1.
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).
(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；
(2)是否存在λ，使平面EFPQ ⊥平面PQMN ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)证明 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，
2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，M (2，1，2)，N (1，0，2)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，
0，λ)，FE →＝(1，1，0)，MN →＝(－1，－1，0)，NP →＝(－1，0，λ－2).
当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，
因为BC 1→＝(－2，0，2)，
所以BC 1→＝2FP →，
即BC 1∥FP .
而FP ⊂平面EFPQ ，
且BC 1⊄平面EFPQ ，
故直线BC 1∥平面EFPQ .
(2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，
可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0. 于是可取n ＝(λ，－λ，1).
同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1).
则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，
即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，
解得λ＝1±
2
2
.
故存在λ＝1±
2
2
，使平面EFPQ⊥平面PQMN.。