4.5 向量空间(同济大学第五版)

例 4 集合
V{x| x(1 x2 xn)T x2 xnR} 不是向量空间 证明 若a(1 a2 an)TV 则 2a(2 2a2 2an)T V
例5
设a b为两个已知的n维向量 集合 L{x| xab R} 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间) 证明 若x11a1b x22a2b 则 x1x2(12)a(12)bL kx1(k1)a(k1)bL
⎛ 2 2 −1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎟ 例：设 A = (a1 , a2 , a3 ) = ⎜ 2 −1 2 ⎟ , B = (b1 , b2 ) = ⎜ 0 ⎜ −1 2 2 ⎟ ⎜ −4 ⎝ ⎠ ⎝
4⎞ ⎟ 3⎟ 2⎟ ⎠
验证a1, a2, a3 是R3 的一个基，并求 b1, b2 在这个基中的坐标. 解： 2 ⎛ ⎜1 0 0 3 ⎛ 2 2 −1 1 4 ⎞ ⎜ 2 ⎜ ⎟r⎜ ( A, B ) = ⎜ 2 −1 2 0 3 ⎟ ~ ⎜ 0 1 0 − 3 ⎜ −1 2 2 −4 2 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 1 −1 ⎜ ⎝ 2 2 4 2 于是 b1 = a1 − a2 − a3 , b2 = a1 + a2 + a3 3 3 3 3 4⎞ 3⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ ⎟ 2⎟ 3⎟ ⎠
向量空间的基的概念
定义：设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量a1, a2, …,
ar，满足
① a1, a2, …, ar 线性无关； ② V 中任意一个向量都能由 a1, a2, …, ar 线性表示； 那么称向量组 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基．
注： （1）若向量空 间V没有基 那么V 的维数为0 （2）0维向量 空间只含一个向 量0，没有基
r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间 ．
向量空间 向量空间的基 向量空间的维数 向量组 向量组的最大无关组 向量组的秩
最大无关组 若在向量组 A 中找到 r 个向量 1 , 2 , , r (1) A0 : 1 , 2 , , r 线性无关,
(2) A 中任一向量都可由 A0 表示, 则向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
满足
向量空间的基 设V 为向量空间 若有 r 个向量 a1 a2 arV 且满足 ① a1 a2 ar 线性无关 ② V 中任一向量都可由 a1 a2 ar 线性表示 则称向量组 a1 a2 ar 就称为向量空间V 的一个基 基础解系
例3
集合
V{x| x(0 x2 xn)T x2 xnR} 是一个向量空间 证明 若a(0 a2 an)T V b(0 b2 bn)T 则 ab(0 a2b2 anbn)TV a(0 a2 an)TV
则组合系数 (x1, x2, …, xm ) 称为向量 x 在基 1, 2, …, r 下的坐标. 注：x 在基 1, 2, …, r 下的坐标是唯一的. 事实上, 若还有另一坐标 (y1, y2, …, yr ), 即 x = y1 1 + y2 2 +… + yr r , (2) 由(1)式减去(2)式, 得 (x1 y1) 1 + (x2 y2) 2 +… + (xr yr) r = 0, 由于1, 2, …, r 线性无关, 故 x1 y1 = x2 y2 =…= xr yr= 0, 即 xi = yi ( i = 1, 2, …, r).
注
在向量空间Rn中以单位坐标向量组 e1 e2 en 为基 则向量 x(x1 x2 xn)T 可表示为 x x1e1x2 e2 xn en
可见向量 x 在基 e1 e2 en 中的坐标就是该向量的分量 向量组 e1 e2 en 叫做 Rn 中的自然基（标准基）
§5 向量空间
封闭的概念
定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合． 例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？
� � �
整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
向量空间的概念
定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭， 具体地说，就是：
n－1 ．
结论：若V1 是V 的子空间，则V1 的维数不超过V 的维数． 3. n 元齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维 数等于 n－R(A) ．
4.由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间
L = { λ1a1 + λ2a2 + …+ λmam | λ1, λ2, ..., λm∈R }
V = { λ1a1 + λ2a2 + …+ λmam | λ1, λ2, ..., λm∈R }
向量在给定基下的坐标
定义 设 , , …, 是向量空间 V 的一个基, x V, 则 1 2 r
x 可由 1, 2, …, r 线性表出: ( x1, x2, …, xrR ) x = x1a1x2a2 xrar , (1)
λa
a
L = {λ a | λ∈R }
b
µb a λa L = {λ a + µ b | λ, µ∈R }
c
γc b a
µb λa L = {λ a + µ b + γ c | λ, µ, γ ∈R }
例 7 齐次线性方程组的解集
S{x| Ax 0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 证明 若 x1 x2S 则 A(x1x2) Ax1Ax2 = 0+0 = 0 A(kx1) kAx1 = 0, 因此，x1x2，kx1S
� �
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， λ ∈ R，则 λ a ∈ V ．（对乘数封闭）
那么就称集合 V 为向量空间．
例Hale Waihona Puke 全体 n 维向量的集合{(x1, x2, …, xn)| xi R, i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为 Rn.
若齐次线性方程组 Ax 0 的一组解向量 1 , 2 , , r 满足 (1) 1 , 2 , , r 线性无关;
(2) Ax 0的任一解都可由 1 , 2 , , r 线性表示. 则称1 ,2 , ,t 称为Ax 0的一个基础解系.
1. n 维向量的全体 Rn 解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n . 0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 2.集合 V1 = { ( (0 解：En 的后 n－1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于
解： L = { λ1a1 + λ2a2 + …+ λmam | λ1, λ2, ..., λm∈R } 向量组 A：a1 , a2 , ..., am 等价于 向量组 A 的最大无关组 A0 ：a1 , a2 , ..., ar 故向量组 A0 就是 L 的一个基， A0中向量的个数就是 L 的维数. 一般来说，若 a1 , a2 , ..., am ∈V，则 L 是 V 的子空间． 若向量组 a1 , a2 , ..., am 是向量空间V 的一个基，那么
例 8 非齐次线性方程组的解集
S{x| Axb} 不是向量空间 证明 当 S 为空集时 S 不是向量空间 当 S 非空间 若S 则 A(2)2bb 知 2S
定义2
设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称 V1是V2 的子空间 由定义可知，向量空间 V 的非空子集 W 是 V 的子空间 当且仅当对任意的α，β∈ W 及数 k, l ∈ R, 都有 kα+lβ∈W. 例9 V 本身和 {0} 都是 V 的子空间，称它们为 V 的平凡子空间. 它们分别构成 V 的最大和最小 的子空间. V的其他的子空间称为非平凡子空间.
x11 x2 2 xr r y11 y2 2 yr r
设 1, 2 , …, r 及 1, 2 , …, r 是向量空间 V 的两 个基. 那么由基的定义, 向量 i (i = 1, 2, …, r ) 可由 1, 2 , …, r 唯一线性表出. 设
β1 a111 a21 2 ar1 r , β2 a12α1 a22α2 ar 2αr ,
特别的 n = 1 时全体实数 R 是一个向量空间; n = 2 时全体平面中的向量 {(x1, x2 ) | xi R, i=1, 2} 是 一个向量空间，记为R2. n = 3 时全体三维向量 {(x1, x2, x3) |xi R, i= 1, 2, 3 } 是一个向量空间，记为R3.
例2 仅含一个 n 维零向量 0 = (0, 0, …, 0) 的集合 {0} 构成一个向量空间，称为零空间.
一般地 由向量组a1 a2 am所生成的向量空间为 L{x| x1a12a2 mam 1 2 mR}
例6
设向量组 a1 a2 am 与向量组 b1 b2 bs 等价 记 L1{x| x1a12a2 mam 1 2 mR} L2{x| x1b12b2 sbs 1 2 sR} 试证 L1L2 (结论：等价的向量组所生成的空间相等．) 证明 设 xL1 则 x 可由 a1 a2 am 线性表示 因为 a1 a2 am 可由 b1 b2 bs 线性表示 故 x 可由 b1 b2 bs 线性表示 所以 xL2 这就是说若 xL1 则 xL2 因此 L1L2 类似地可证：L2L1 所以 L1L2

βr a1r α1 a2 r α2 arr αr . a11 a12 a a22 21 (β1 ,β2 , ,βr ) ( α1 ,α2 , ,αr ) ar1 ar 2
( α1 ,α2 , ,αr ) A .

a1r a2 r arr
⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ 上三角形矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) = ⎜ 0 1 1 ⎟ 的列向量组也是 R3 ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ 的一个基，那么 ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 + ( − 2) 1 + 7 5 = ( − 3) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ = −3a1 − 2a2 + 7a3 ⎜ 7⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．
矩阵 A 称为由基 1, 2 , …, r 到基 1, 2 , …, r 的 过渡矩阵, 它是可逆的.
将上式简记为: (1, 2 , …, r) = (1, 2 , …, r ) A (2)
新基
旧基
过渡矩阵
公式(2)称为基变换公式. 基变换公式
设向量 在基 1, 2 , …, r 与基 1, 2 , …, r 下的 坐标分别为 (x1, x2 , …, xr ) 与 (y1, y2 , …, yr ) 即