微专题七 主从联动模型
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动
5.根据从动点的路径长∶主动点的路径长＝k（QQ'∶PP'＝k），从而求出
从动点的路经长.（当k＝1时，从动点的路径长＝主动点的路径长，即QQ'
＝PP'）
5
类型
点在圆
上运动
条件
建模过程
基本结论
1.P是主动点，Q
1.点Q和点P的运动轨迹都是
是从动点，A是
圆，且运动轨迹长度之比为k；
定点；
2.点Q的运动轨迹圆的半径等
建模过程
基本结论
1.点Q和点P的运动轨迹都是圆，且运
动轨迹长度之比为k（点Q与点P的关
系相当于伸缩＋旋转）；
1.P是主动点，
点在圆
上运动
Q是从动点，A
2.点Q的运动轨迹圆的半径等于k·OP；
3.△AMQ∽△AOP，相似比为k（当k＝1
时，△AMQ≌△AOP）；
是定点；
2.AQ∶AP＝k；
4.△AMQ与△AOP的对应线段所在的直
连接DE.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得线段DF，连接AE，CF，OF，则线段OF长的
最小值为 2 －2 .
第6题图
25
7.如图，△ABC内接于☉O，BC＝12，∠A＝60°，D为弧BC上一动点，BE⊥OD于点E.当
点D从点B逆时针沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（
第7题图
8 3
9
▶类型1：点在直线上运动
【例1】如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上一动点，以CD为一边作正方形CDEF.当
点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为 5 .
10
思路点拨
判断出主动点D，从动点E，
定点C
四边形DCFE是
正方形
↓
↓
主动点D的运动起止位置
的路径长为AB＝5
从动点E的运动
线所夹的较小角都等于α（或180°－
α）
3.∠PAQ＝α
8
类型
条件
建模过程
基本结论
1.点P取任意位置（A，P，O三点共线除外），连接
点在圆
上运动
AO，PO；
构图步骤
2.在AP上截取AQ'＝AQ，作Q'M'∥PO交AO于点M'；
3.将线段AM'绕点A逆时针旋转α得到AM，连接QM；
4.以点M为圆心，QM的长为半径的圆即为点Q的运动轨迹
↓
1
CE＝ AB＝5，ME＝2
2
↓
CMmax＝CE＋ME＝7
18
方法归纳
点在圆上运动时求最值问题的解题策略
1.画出初始位置图形；
2.画出终止位置（或任意位置）图形；
3.画出从动点路径所在的圆或弧；
4.连接目标定点与从动点的圆心，当目标定点、从动点与从动点圆心三点共线时，目标
线段有最值.
19
▶类型1：点在直线上运动
QQ'＝PP'）；
4.点P，Q的运动轨迹所在
的直线所夹的较小角为α或
180°－α（当α＝90°时，
QQ'⊥PP'）
1.P是主动点，Q
点在 是从动点，A是
直线 定点；
上运 2.AQ∶AP＝k；
动
基本结论
3.∠PAQ＝α（0°
＜α＜180°）
4
类型 条件
点在
建模过程
基本结论
1.确定主动点（P）、从动点（Q）和定点（A）；
路径为GE（如图）
↓
△GBC和△EDC都是等腰直角三角形
11
↓
＝ ＝
2，∠BCD＝∠GCE
↓
△BCD∽△GCE
↓
GE＝ 2BD＝5 2
↓
即得点E的运动路径长为5 2
12
【例2】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE.将
CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值
1.如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运
动，连接PD.以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边三角形DPF.当点P从点E
运动到点A时，点F运动的路径长是
8
.
第1题图
20
2.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB
2.AQ∶AP＝k；
于k·OP；
3.∠PAQ＝α＝0°
3.△AMQ∽△AOP，相似比为k
6
类型
条件
建模过程
基本结论
1.点P取任意位置（A，P，O三点共线除外），连接
点在圆
上运动
构图步骤
AO，PO；
2.过点Q作QM∥PO交AO于点M；
3.以点M为圆心，QM的长为半径的圆即为点Q的运动轨迹
7
类型
条件
A. π
3
8
3
B. π
4
3
4 3
C. π
3
D. π
26
A ）
23
.
5.如图，☉O是正方形ABCD的外接圆，AB＝2，E是劣弧AD上的任意一点，连接BE，作
CF⊥BE于点F，连接AF.当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，AF长的取值范围
－1≤AF≤2 .
为
第5题图
24
6.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，E是正方形内一动点，OE＝2，
图115图2方法归纳点在直线上运动时求最小值的解题策略
1.画出初始位置图形；
2.画出终止位置（或任意位置）图形；
3.画出从动点路径所在的直线；
4.过目标定点向从动点路径所在直线作垂线段，即得最小值.
16
▶类型2：点在圆上运动
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心，4为
cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边
CD交于点E，则点E相应运动的路径长为
（
－ ）
cm.
22
▶类型2：点在圆上运动
4.如图，点P（3，4），☉P的半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），M是☉P上的动点，
C是MB的中点，则AC的取值范围是
1.5≤AC≤3.5
第4题图
是
1
.
13
思路点拨
判断出主动点E，从动点F，定点C
↓
主动点E在直线AD上运动
↓
主从联动原理——从动点F在直线FF'上运动
↓
由垂线段最短——当DF⊥FF‘时，DF有最小值，如图2.
↓
14
由旋转的性质
及对称的性质——∠FBD＝30°，BD＝2
↓
由三角函数——在Rt△BFD中，DF＝1
↓
即得DF的最小值为1
（2）“主动点”在圆上运动，“从动点”的运动轨迹也是圆.
3.两个定量：已知动点P，Q，定点A，若点P为“主动点”，点Q为“从动点”，则
（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量，即∠PAQ是定值；
（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量，
即AP ∶AQ是定值.
2
类型
点在直
线上运
动
条件
建模过程
基本结论
的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值是
第2题图
21
.
3.如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5 cm，BC＝2 cm，点M，N分别在边AB，CD上，
CN＝1 cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上.当点B'恰好落在
边CD上时，线段BM的长为
半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，则线段CM长度的最大值为（
A.7
B.8
C.9
D.10
17
A ）
思路点拨
取AB的中点E，连接ME，CE，AD
↓
1
ME＝ AD＝2 主动点D在以点A为圆心，
2
4为半径的圆上运动
↓
从动点M在以点E为圆心，
2为半径的圆上运动
↓
当C，E，M三点共线时，CM的长有最大值
第七章
图形的变化
微专题七
主从联动模型
1.定义：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同，
即为主从联动轨迹问题，称为主从联动模型，也称为“瓜豆模型”.本专题主要针对：①
点在直线上运动；②点在圆上运动两种类型进行探究.
2.模型特点：（1）“主动点”在直线上运动，“从动点”的运动轨迹也是直线；
1.P是主动点，Q是
1.点Q和点P的运动轨迹
从动点，A是定点；
都是直线，且与点P的
2.AQ∶AP＝k；
轨迹平行；
3.∠PAQ＝α＝0°
2.QQ'＝k·PP'
3
类型
条件
建模过程
1.△AQQ'∽△APP'，相似比
为k（当k＝1时，
△AQQ'≌△APP'）；
2.点Q的运动轨迹是直线；
3.QQ'＝k·PP'（当k＝1时，
2.确定主动点（P）的起止位置，求出主动点的路径长（PP'）；
3.计算从动点（Q）、主动点（P）在起始位置时与定点的距离比（k）；
4.根据已知条件，画出主动点（P）、从动点（Q）的终止位置，从动点
直线 构图
（Q）、主动点（P）的起止位置分别与定点（A）构成的两个三角形相似
上运 步骤
（△AQQ'∽△APP'），当k＝1时，两个三角形全等（△AQQ'≌△APP'）；
5.根据从动点的路径长∶主动点的路径长＝k（QQ'∶PP'＝k），从而求出
从动点的路经长.（当k＝1时，从动点的路径长＝主动点的路径长，即QQ'
＝PP'）
5
类型
点在圆
上运动
条件
建模过程
基本结论
1.P是主动点，Q
1.点Q和点P的运动轨迹都是
是从动点，A是
圆，且运动轨迹长度之比为k；
定点；
2.点Q的运动轨迹圆的半径等
建模过程
基本结论
1.点Q和点P的运动轨迹都是圆，且运
动轨迹长度之比为k（点Q与点P的关
系相当于伸缩＋旋转）；
1.P是主动点，
点在圆
上运动
Q是从动点，A
2.点Q的运动轨迹圆的半径等于k·OP；
3.△AMQ∽△AOP，相似比为k（当k＝1
时，△AMQ≌△AOP）；
是定点；
2.AQ∶AP＝k；
4.△AMQ与△AOP的对应线段所在的直
连接DE.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得线段DF，连接AE，CF，OF，则线段OF长的
最小值为 2 －2 .
第6题图
25
7.如图，△ABC内接于☉O，BC＝12，∠A＝60°，D为弧BC上一动点，BE⊥OD于点E.当
点D从点B逆时针沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（
第7题图
8 3
9
▶类型1：点在直线上运动
【例1】如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上一动点，以CD为一边作正方形CDEF.当
点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为 5 .
10
思路点拨
判断出主动点D，从动点E，
定点C
四边形DCFE是
正方形
↓
↓
主动点D的运动起止位置
的路径长为AB＝5
从动点E的运动
线所夹的较小角都等于α（或180°－
α）
3.∠PAQ＝α
8
类型
条件
建模过程
基本结论
1.点P取任意位置（A，P，O三点共线除外），连接
点在圆
上运动
AO，PO；
构图步骤
2.在AP上截取AQ'＝AQ，作Q'M'∥PO交AO于点M'；
3.将线段AM'绕点A逆时针旋转α得到AM，连接QM；
4.以点M为圆心，QM的长为半径的圆即为点Q的运动轨迹
↓
1
CE＝ AB＝5，ME＝2
2
↓
CMmax＝CE＋ME＝7
18
方法归纳
点在圆上运动时求最值问题的解题策略
1.画出初始位置图形；
2.画出终止位置（或任意位置）图形；
3.画出从动点路径所在的圆或弧；
4.连接目标定点与从动点的圆心，当目标定点、从动点与从动点圆心三点共线时，目标
线段有最值.
19
▶类型1：点在直线上运动
QQ'＝PP'）；
4.点P，Q的运动轨迹所在
的直线所夹的较小角为α或
180°－α（当α＝90°时，
QQ'⊥PP'）
1.P是主动点，Q
点在 是从动点，A是
直线 定点；
上运 2.AQ∶AP＝k；
动
基本结论
3.∠PAQ＝α（0°
＜α＜180°）
4
类型 条件
点在
建模过程
基本结论
1.确定主动点（P）、从动点（Q）和定点（A）；
路径为GE（如图）
↓
△GBC和△EDC都是等腰直角三角形
11
↓
＝ ＝
2，∠BCD＝∠GCE
↓
△BCD∽△GCE
↓
GE＝ 2BD＝5 2
↓
即得点E的运动路径长为5 2
12
【例2】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE.将
CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值
1.如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运
动，连接PD.以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边三角形DPF.当点P从点E
运动到点A时，点F运动的路径长是
8
.
第1题图
20
2.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB
2.AQ∶AP＝k；
于k·OP；
3.∠PAQ＝α＝0°
3.△AMQ∽△AOP，相似比为k
6
类型
条件
建模过程
基本结论
1.点P取任意位置（A，P，O三点共线除外），连接
点在圆
上运动
构图步骤
AO，PO；
2.过点Q作QM∥PO交AO于点M；
3.以点M为圆心，QM的长为半径的圆即为点Q的运动轨迹
7
类型
条件
A. π
3
8
3
B. π
4
3
4 3
C. π
3
D. π
26
A ）
23
.
5.如图，☉O是正方形ABCD的外接圆，AB＝2，E是劣弧AD上的任意一点，连接BE，作
CF⊥BE于点F，连接AF.当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，AF长的取值范围
－1≤AF≤2 .
为
第5题图
24
6.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，E是正方形内一动点，OE＝2，
图115图2方法归纳点在直线上运动时求最小值的解题策略
1.画出初始位置图形；
2.画出终止位置（或任意位置）图形；
3.画出从动点路径所在的直线；
4.过目标定点向从动点路径所在直线作垂线段，即得最小值.
16
▶类型2：点在圆上运动
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心，4为
cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边
CD交于点E，则点E相应运动的路径长为
（
－ ）
cm.
22
▶类型2：点在圆上运动
4.如图，点P（3，4），☉P的半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），M是☉P上的动点，
C是MB的中点，则AC的取值范围是
1.5≤AC≤3.5
第4题图
是
1
.
13
思路点拨
判断出主动点E，从动点F，定点C
↓
主动点E在直线AD上运动
↓
主从联动原理——从动点F在直线FF'上运动
↓
由垂线段最短——当DF⊥FF‘时，DF有最小值，如图2.
↓
14
由旋转的性质
及对称的性质——∠FBD＝30°，BD＝2
↓
由三角函数——在Rt△BFD中，DF＝1
↓
即得DF的最小值为1
（2）“主动点”在圆上运动，“从动点”的运动轨迹也是圆.
3.两个定量：已知动点P，Q，定点A，若点P为“主动点”，点Q为“从动点”，则
（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量，即∠PAQ是定值；
（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量，
即AP ∶AQ是定值.
2
类型
点在直
线上运
动
条件
建模过程
基本结论
的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值是
第2题图
21
.
3.如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5 cm，BC＝2 cm，点M，N分别在边AB，CD上，
CN＝1 cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上.当点B'恰好落在
边CD上时，线段BM的长为
半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，则线段CM长度的最大值为（
A.7
B.8
C.9
D.10
17
A ）
思路点拨
取AB的中点E，连接ME，CE，AD
↓
1
ME＝ AD＝2 主动点D在以点A为圆心，
2
4为半径的圆上运动
↓
从动点M在以点E为圆心，
2为半径的圆上运动
↓
当C，E，M三点共线时，CM的长有最大值
第七章
图形的变化
微专题七
主从联动模型
1.定义：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同，
即为主从联动轨迹问题，称为主从联动模型，也称为“瓜豆模型”.本专题主要针对：①
点在直线上运动；②点在圆上运动两种类型进行探究.
2.模型特点：（1）“主动点”在直线上运动，“从动点”的运动轨迹也是直线；
1.P是主动点，Q是
1.点Q和点P的运动轨迹
从动点，A是定点；
都是直线，且与点P的
2.AQ∶AP＝k；
轨迹平行；
3.∠PAQ＝α＝0°
2.QQ'＝k·PP'
3
类型
条件
建模过程
1.△AQQ'∽△APP'，相似比
为k（当k＝1时，
△AQQ'≌△APP'）；
2.点Q的运动轨迹是直线；
3.QQ'＝k·PP'（当k＝1时，
2.确定主动点（P）的起止位置，求出主动点的路径长（PP'）；
3.计算从动点（Q）、主动点（P）在起始位置时与定点的距离比（k）；
4.根据已知条件，画出主动点（P）、从动点（Q）的终止位置，从动点
直线 构图
（Q）、主动点（P）的起止位置分别与定点（A）构成的两个三角形相似
上运 步骤
（△AQQ'∽△APP'），当k＝1时，两个三角形全等（△AQQ'≌△APP'）；