函数的奇偶性

函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()
()()0,
1(()0)()
f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()
()()01(()0)()
f x f x f x f x f x -+-==-≠，
； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；
（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.
若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；
若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；
若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.
（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()
1()
f x f x -=±是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2
-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()f x =；
(5)22-(0)
()(0)
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数． 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2
-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2
-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且
()(2)-2f x x x
∴==
+
(-)--()f x f x x
∴===，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)
11
(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22
f x
g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是
函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)23()3
x
f x x =+；
(2)()|1||1|f x x x =++-；
(3)222()1
x x
f x x +=+；
(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0
(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪
==⎨⎪-++>⎩
. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33
x x
f x f x x x --=
=-=--++，()f x ∴是奇函数．
（2）()f x 的定义域是R ，
又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数． （3）2
2
()()()11f x x x x x -=-+-+=-+
()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2
+2(-x)-1=x 2
-2x-1=-(-x 2
+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2
+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶
函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】
【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.
A ．()f x +|g(x)|是偶函数
B ．()f x -|g(x)|是奇函数
C ．|()f x | +g(x)是偶函数
D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A
例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数
【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出
()()f x f x -=-.
设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，
()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.
【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与
()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.
举一反三： 【变式
1】 已知函数
(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有
121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.
【答案】偶函数 【解析】令
120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得
()()2(0)()f x f x f f x +=
由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=
∴()f x 是偶函数.
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ．
【答案】 -1
【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．
()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+
()(),()()f x f x g x g x -=--=-，
()()4H x H x ∴+-=．
当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：
0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时
()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为
-3+2=-1．
举一反三：
【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3
-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3
a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23
a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3
-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.
例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2
()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．
【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪
==⎨⎪-++<⎩
【解析】
()f x 是定义在R 上的奇函数，
()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，
2
()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦
=2
31x x -++
又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．
2231,0,
()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪
∴==⎨⎪-++<⎩
【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）． 举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，
求
()f x 的解析式.
（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，
求()g x 的解析式.
【答案】（1）2
231(0)
()31(0)
x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)
()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩
（）
例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．
【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．
【答案】1
[1,)2
-． 【解析】
由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，
故|1|||
(1)()(|1|)(||)|1|2||2
m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪
-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩
，解得
1
12
m -≤<．
故m 的取值范围是1
[1,)2
-．
【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2
(1)f x -的单调递增区间． 【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。

复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵()f x 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴()f x 在（－∞，0]上是增函数． 设u=1―x 2，则函数2
(1)f x -是函数()f u 与函数u=1―x 2的复合函数．
∵当0≤x ≤1时，u 是减函数，且u ≥0，而u ≥0时，()f u 是减函数，根据复合函数的性质，可得2
(1)f x -是增函数．
∵当x ≤－1时，u 是增函数，且u ≤0，而u ≤0时，()f u 是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．
同理可得当－1≤x ≤0或x ≥1时，2
(1)f x -是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]． 【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u 的取值范围．本例中，x ≥1时，u 仍是减函数，但此时u ≤0，不属于()f u 的减区间，所以不能取x ≥1，这是应当特别注意的．
例7. 设a 为实数，函数f(x)=x 2
+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。

【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a ≠0时，函数为非奇非偶函数.
当min 131-()|-;;242a f x a a a ≤=
>+时，2min 11
-()|122
a f x a <≤=+时，. 【解析】当a=0时，f(x)=x 2
+|x|+1 当a ≠0时，f(x)=x 2
+|x-a|+1
(1)当x a ≥时，2
13()()-2
4
f x x a =++
①[)1
13
()(-)-,2
2
4
a f x a f a ≤-+∞=时，函数在，上的最小值为 且1f(-)f(a).2
≤
②[)1(),2
a f x a >-+∞时，函数在上单调递增，
[)(),f x a ∴+∞在上的最小值为f(a)=a 2+1.
(2)当x a <时，2
2
13()-1()2
4
f x x x a x a =++=-++ ①(]1
()-,2
a f x a ≤
∞时，函数在上单调递减， (]()-f x a ∴∞在，上的最小值为2()1f a a =+
②(]1()-2a f x a >∞时，在，上的最小值为131
()()().242
f a f f a =+≤，且 综上：min min 1313
-()|-;()|;2424
a f x a a f x a ≤=>=+时，时，
2min 11
-()|122
a f x a <≤=+时，. 举一反三：
【变式1】 判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．
【答案】当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，函数()f x 是奇函数． 【解析】对a 进行分类讨论． 若0a =，则()||||0f x x x =-=．
x R ∈，∴定义域R 关于原点对称，∴函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．
当0a ≠时，
()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数．
综上，当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数； 当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．
例8. 对于函数()f x ，若存在x 0∈R ，使00()f x x =成立，则称点（x 0，x 0）为函数()f x 的不动点． （1）已知函数2
()()(0)f x ax bx b a =+-≠有不动点（1，1），（―3，―3），求a ，b 的值； （2）若对于任意的实数b ，函数2
()()(0)f x ax bx b a =+-≠总有两个相异的不动点，求实数a 的取
值范围；
（3）若定义在实数集R 上的奇函数()g x 存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数． 【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．
【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax 2+bx ―b=x 的根，
由违达定理1133b a b a -⎧
-=-⎪⎪⎨⎪-=-
⎪⎩
⇒a=1，b=3．
（2）由已知得：ax 2+bx ―b=x （a ≠0）有两个不相等的实数根，
∴Δ1=(b －1)2+4ab ＞0对于任意的实数b 恒成立． 即b 2+(4a －2)b+1＞0对于任意的实数b 恒成立．
也就是函数2
()(42)1f b b a b =+-+的图象与横轴无交点． 又二次函数()f b 的图象是开口向上的抛物线， 从而Δ2=(4a ―2)2―4＜0，即|4a ―2|＜2，∴0＜a ＜1． ∴满足题意的实数a 的取值范围为（0，1）． （3）∵()g x 是R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-.
令x=0，得(0)(0)g g =-，∴(0)0g =．∴（0，0）是()g x 的一个不动点． 设（x 0，x 0）（x 0≠0）是()g x 的一个不动点，则00()g x x =．
又000()()g x g x x -=-=-，∴（―x 0，―x 0）也是()g x 的一个不动点． 又∵x 0≠－x 0，∴()g x 的非零不动点是成对出现的．
又（0，0）也是()g x 的一个不动点，∴若()g x 存在n 个不动点，则n 必为奇数．
【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x 的方程()f x x =的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．
【巩固练习】
1． 函数1
()(0)f x x x x
=-
≠是( ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
2．若函数2
y x bx c =++是偶函数，则有 ( )
A.,b R c R ∈∈
B. ,0b R c ∈=
C. 0,0b c ==
D. 0,b c R =∈ 3．设函数3
()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A ．)2()1()2
3(f f f <-<- B ．)2()2
3
()1(f f f <-<-
C ．)23()1()2(-<-<f f f
D ．)1()2
3
()2(-<-<f f f
5．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( ) A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5-
C ．减函数且最大值是5-
D ．减函数且最小值是5-
6．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数.
7．设函数()f x 的图象关于y 轴对称，且()f a b =，则()f a -= . 8．如果函数2
()f x x a x
=-
+为奇函数，那么a = . 9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，()f x 在[]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递减，则不等式()0f x ≥的解集为 ．
10．若函数2
()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是____________. 11．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ____________.
12．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()
2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，试判断()(),f x h x 的奇偶性.
13．设函数)(x f 是偶函数，且在(),0-∞上是增函数，判断)(x f 在()0,+∞上的单调性，并加以证明.
14．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)1212,0,()x x x x ∈+∞≠ ，有
2121
()()0f x f x x x -<-成立，试比较(2),(1),(3)f f f -的大小.
【巩固练习】
1．函数2()||f x x x =+的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于x 轴对称
D ．不具有对称轴
2．已知函数)127()2()1()(2
2+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3．设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）
A.-3
B.3
C.-5
D. 5
4．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( )
A ．增函数且最小值是5-
B ．增函数且最大值是5-
C ．减函数且最大值是5-
D ．减函数且最小值是5-
5．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数.
6．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则( )
A ．)2()2()3(f f f <<
B ．)2()3()2(f f f <<
C ．)2()2()3(f f f <<
D ．)3()2()2(f f f <<
7．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2
52()23
(2++-a a f f 与的大小关系是( )
A ．)23(-f >)252(2++a a f
B ．)23(-f <)2
52(2
++a a f
C ．)23(-f ≥)252(2++a a f
D ．)23(-f ≤)252(2++a a f 8．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）．
A ．()f x 为奇函数
B ． ()f x 为偶函数
C ．()1f x +为奇函数
D ．()1f x +为偶函数
9．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2
-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = .
10．若函数2()1
x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为 . 11．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-= .
12．已知函数2
()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -，则()f x 的值域 ． 13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明．
(1)()f x = (2) 2,1,1(),112
2,1
x x f x x x x +<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎪⎩
14．已知奇函数()f x 在（-1，1）上是减函数，求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．
15．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,a b R ∈都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+．
（1）求(0),(1)f f 的值；
（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论．
16．设奇函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，若不等式2(6)(2)0f ax f x ++-<对于任意[]2,4x ∈都成立，求实数a 的取值范围．。